精品解析：山东菏泽市牡丹区2025-2026学年七年级下学期期中数学试题

七年级数学试题 2026.4 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面四个图形中，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 3. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 线段可以度量 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 4. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 某种彩票的中奖率是，则购买该种彩票100张会中奖 B. 如果，那么 C. 对顶角相等 D. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 5. 产自中国的“手撕钢”，厚度仅米，约是纸厚度的六分之一，达到世界领先水平，目前广泛应用于手机折叠屏、航天压力传感器、汽车制造等高端领域，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 若等式成立，则括号内所填的代数式是（ ） A. B. C. D. 7. 图1为我国高铁座位的实物图，图2是它的示意图，座椅靠背与地面垂直，小桌板与地面平行，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 在综合实践课上，老师要求验证纸条两边与是否平行，甲、乙、丙三位同学按照如图所示的方式折叠，并测量出部分数据，关于三人的方案及数据，下列判断正确的是（ ） ， A. 甲、乙、丙都可行 B. 只有甲、乙可行 C. 只有乙、丙可行 D. 只有乙可行 9. 如图所示为一组太阳能电池板的简化网格示意图，其中深色区域表示光伏吸收区，若一个小球在板面上自由滚动，并随机停留在某个方格内，那么它最终停留在光伏吸收区的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，点E在的延长线上，连接交于点F，对于给出的四个条件：①；②；③；④．其中能判断的是（ ） A. ①或② B. ①或④ C. ②或④ D. ②或③ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，直接填写答案．） 11. 已知 ，，则 的值为 ______． 12. 实践课上，小明在一张面积为的矩形卡片上绘制了图1所示的青岛市地形图，他想知道该地形图的面积，采取了以下办法：将矩形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝矩形区域抛掷小球，记录落在该地形图上的次数（球抛在地形图最外围的界线上或矩形区域外不计入试验结果），并将若干次试验结果绘制成图2所示的折线统计图，据此估计该地形图的面积约为______． 13. 如图，直线，点E，F分别在直线，上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点H，画射线交于点C，若，则的度数为______ 14. 如图，此为计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的“雷区”中，随机埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗“地雷”．小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字2，它表示与这个方格相邻的8个小方格（图中黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着2颗“地雷”．小明在A区域外的“雷区”踩了一个小方格，这个小方格正好有“地雷”的概率为________． 15. 如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 =__________． 16. 如图，，平分，，，；则下列结论：①；②平分；③，④，其中正确结论是________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 计算：． 19. 下面是小明同学进行一道整式计算的过程： 计算：． 解：原式第①步 第②步 第③步 第④步 （1）小明第一步用到的乘法公式用字母表示为____，第二步用到的乘法公式用字母表示为____； （2）小明第_____步开始出现错误，错因是_____． （3）请你写出正确的计算过程． 20. 学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图，长为，宽为的长方形是某校劳动实践基地的示意图，学校计划在该长方形的两角处分别隔出一个边长为a和b的正方形区域，用于摆放劳动教育相关资料，其他区域（图中阴影部分）用于实际劳动展示区． （1）用含a、b的式子表示实际劳动展示区的面积（结果化为最简）； （2）若米，米，求实际劳动展示区的面积． 21. 如图，∠AFD＝∠1，AC∥DE． （1）试说明：DF∥BC； （2）若∠1＝70°，DF平分∠ADE，求∠B的度数． 22. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据： 摸球的次数 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数 4 7 10 28 45 98 127 252 摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.245 0.254 0.252 （1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近_____（精确到0.01）； （2）试估算盒子里白球有_____个； （3）若要使摸出白球的概率降为0.2，则需向盒子中再增加几个黑球？ （4）某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一结果的试验最有可能的是_____（填写所有正确结论的序号）． ①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”． ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． 23. 数学课上，老师用图1中的一张边长为a的正方形纸片A，1张边长为b的正方形纸片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题： （1）由图1和图2可以得到的等式为（用含a，b的等式表示） ； （2）请你帮助小明计算，并用图1中的三种纸片拼出一个面积为的大长方形验证计算结果的正确性（画出图形，标注相应的字母）； （3）如图3，，分别表示边长为m，n的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，，．求图中阴影部分的面积． 24. 【问题背景】 如图①，在同一平面内，a、b、c三根木棒钉在一起， 【实践操作】 （1）木棒a、c固定不动，木棒沿顺时针方向至少旋转__________，使得（如图②）； （2）如图③，当木棒时，将一个三角板ABC放在与之间（其中，），并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，请你求出的度数； （3）现将图①中的木棒a、b同时沿顺时针的方向转动一周，速度分别为每秒和每秒，当一根木棒停止旋转时，另一根也同时停止转动．在旋转的过程中，存在某一时刻使得，请你直接写出是在第几秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学试题 2026.4 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ ， ∴A运算错误，不符合题意； ∵ ， ∴B运算正确，符合题意； ∵ ， ∴C运算错误，不符合题意； ∵ ， ∴D运算错误，不符合题意. 故选：B． 2. 下面四个图形中，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的定义．对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角．结合对顶角的定义，逐项分析四个图形中的与是否满足“两边互为反向延长线且有公共顶点”的条件，即可确定哪一组角是对顶角． 【详解】解：根据对顶角的定义可知，只有选项中的与是对顶角，其他都不是， 故选：． 3. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 线段可以度量 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故选A． 4. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 某种彩票的中奖率是，则购买该种彩票100张会中奖 B. 如果，那么 C. 对顶角相等 D. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 【答案】C 【解析】 【分析】根据必然事件的定义，必然事件是指在一定条件下一定发生的事件，逐一判断各选项，选出一定发生的事件即可． 【详解】解：选项A，购买中奖率为的彩票100张，不一定中奖，属于随机事件，不符合要求， 选项B，若，则或，不一定有，属于随机事件，不符合要求， 选项C，对顶角相等是已证明的定理，一定成立，属于必然事件，符合要求， 选项D，掷一枚质地均匀的硬币，可能正面向上也可能反面向上，属于随机事件，不符合要求． 5. 产自中国的“手撕钢”，厚度仅米，约是纸厚度的六分之一，达到世界领先水平，目前广泛应用于手机折叠屏、航天压力传感器、汽车制造等高端领域，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，科学记数法要求形式为，其中，为整数． 将转换为，小数点移动5位，故． 【详解】解：． 故选：B． 6. 若等式成立，则括号内所填的代数式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将等式右侧的多项式用平方差公式分解，即可得到所求代数式． 【详解】∵， 根据平方差公式， 可得， ∴括号内所填的代数式是． 7. 图1为我国高铁座位的实物图，图2是它的示意图，座椅靠背与地面垂直，小桌板与地面平行，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于点，先由平行线的性质求解，再由三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点，由题意得 ∵， ∴， ∵， ∴． 8. 在综合实践课上，老师要求验证纸条两边与是否平行，甲、乙、丙三位同学按照如图所示的方式折叠，并测量出部分数据，关于三人的方案及数据，下列判断正确的是（ ） ， A. 甲、乙、丙都可行 B. 只有甲、乙可行 C. 只有乙、丙可行 D. 只有乙可行 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理分别对三位同学的方式折叠判断即可． 【详解】解：甲：∵， ∴， 同理可得，， ∴ ∴，故甲可行； 乙：如图， 由折叠得， ∵ ∴ ∴，故乙可行； 丙：由无法判断与是否平行，故丙不可行； 综上所述，只有甲、乙可行． 9. 如图所示为一组太阳能电池板的简化网格示意图，其中深色区域表示光伏吸收区，若一个小球在板面上自由滚动，并随机停留在某个方格内，那么它最终停留在光伏吸收区的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何概率，用到的知识点为：几何概率相应的面积与总面积之比． 先求得光伏吸收区的面积，再求得总面积，然后利用几何概率的求解方法求解即可． 【详解】解：由图可知，总面积为， 其中光伏吸收区的面积为， 小球最终停留在光伏吸收区的概率是， 故选：C． 10. 如图，在四边形中，点E在的延长线上，连接交于点F，对于给出的四个条件：①；②；③；④．其中能判断的是（ ） A. ①或② B. ①或④ C. ②或④ D. ②或③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，解题关键是明确平行线的判定方法． 根据各个小题中的条件和平行线的判定方法，可以判断各个小题中的结论是否符合题意． 【详解】解：， ，不能判断，故①不符合题意； ， ，故②符合题意； ， ， ，故③符合题意； ， ，不能判断，故④不符合题意； ∴能判断的是②或③， 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，直接填写答案．） 11. 已知 ，，则 的值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法进行计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 12. 实践课上，小明在一张面积为的矩形卡片上绘制了图1所示的青岛市地形图，他想知道该地形图的面积，采取了以下办法：将矩形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝矩形区域抛掷小球，记录落在该地形图上的次数（球抛在地形图最外围的界线上或矩形区域外不计入试验结果），并将若干次试验结果绘制成图2所示的折线统计图，据此估计该地形图的面积约为______． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，由频率估计概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 由题意可得小球落在该地形图上的概率为0.5，设该地形图的面积为，则，求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得：小球落在该地形图上的概率为0.5， 设该地形图的面积为， 则， 解得：， ∴该地形图的面积大约为， 故答案为：100． 13. 如图，直线，点E，F分别在直线，上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点H，画射线交于点C，若，则的度数为______ 【答案】##40度 【解析】 【分析】由作图可得平分，再根据角平分线的定义以及平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可得，平分， ∴， ∵， ∴． 14. 如图，此为计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的“雷区”中，随机埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗“地雷”．小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字2，它表示与这个方格相邻的8个小方格（图中黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着2颗“地雷”．小明在A区域外的“雷区”踩了一个小方格，这个小方格正好有“地雷”的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 根据概率公式，用地雷的颗数除以小方格总数即可 【详解】解：∵在个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗地雷． ∴小明如果踩在图1中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是； 故答案为：． 15. 如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 =__________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的应用以及通过图形面积关系求解差值，解题的关键是明确与两个正方形面积的关系，再结合已知条件计算． 根据图形可知为边长为m的正方形面积减去重叠部分面积，为边长为n的正方形面积减去重叠部分面积，故等于两个正方形面积之差；利用平方差公式结合已知和计算差值． 【详解】解：由图形可知，，． 则． 根据平方差公式 已知 所以． 故答案为：． 16. 如图，，平分，，，；则下列结论：①；②平分；③，④，其中正确结论是________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得；平行线的性质可得，求得，根据角平分线的定义求得；求得，，即可得到，推得平分；根据题意求得，即可得到． 【详解】解：∵，， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴；故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分；故②正确； ∵， ∴， ∴；故④正确． 故正确结论是①②③④． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 9 【解析】 【分析】分别计算乘方、零指数幂和负整数指数幂，再依次进行加减运算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 19. 下面是小明同学进行一道整式计算的过程： 计算：． 解：原式第①步 第②步 第③步 第④步 （1）小明第一步用到的乘法公式用字母表示为____，第二步用到的乘法公式用字母表示为____； （2）小明第_____步开始出现错误，错因是_____． （3）请你写出正确的计算过程． 【答案】（1）； （2）三；括号前面是负号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号 （3） 解： ． 【解析】 【分析】（1）第一步用的是平方差公式，第二步用的是完全平方公式； （2）第三步去括号时出现错误； （3）正确去括号，合并同类项即可得出答案． 【小问1详解】 解：小明第一步用到的乘法公式用字母表示为， 第二步用到的乘法公式用字母表示为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图，长为，宽为的长方形是某校劳动实践基地的示意图，学校计划在该长方形的两角处分别隔出一个边长为a和b的正方形区域，用于摆放劳动教育相关资料，其他区域（图中阴影部分）用于实际劳动展示区． （1）用含a、b的式子表示实际劳动展示区的面积（结果化为最简）； （2）若米，米，求实际劳动展示区的面积． 【答案】（1） （2）475平方米 【解析】 【分析】此题考查了多项式乘以多项式的应用，代数式求值，解题的关键是正确列式． （1）用大长方形的面积减去两个小正方形的面积列式即可； （2）将米，米代入求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵米，米， ∴（平方米）． 21. 如图，∠AFD＝∠1，AC∥DE． （1）试说明：DF∥BC； （2）若∠1＝70°，DF平分∠ADE，求∠B的度数． 【答案】 （1）证明：∵AC∥DE， ∴∠C＝∠1， 又∵∠AFD＝∠1， ∴∠C＝∠AFD， ∴DF∥BC． （2）∠B的度数为70° 【解析】 【分析】（1）由∠AFD＝∠1，AC∥DE，根据平行线的性质可得到∠AFD＝∠C，即可根据平行线的判定定理得出DF∥BC； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义可求出∠B的度数． 【详解】解：（1）略 （2）∵∠1＝70°，DF∥BC， ∴∠EDF＝∠1＝70°， 又∵DF平分∠ADE， ∴∠ADF＝∠EDF＝70°， ∵DF∥BC， ∴∠B＝∠ADF＝70°． 故∠B的度数为70°． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，平行线的性质和判定是解此题的关键． 22. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据： 摸球的次数 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数 4 7 10 28 45 98 127 252 摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.245 0.254 0.252 （1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近_____（精确到0.01）； （2）试估算盒子里白球有_____个； （3）若要使摸出白球的概率降为0.2，则需向盒子中再增加几个黑球？ （4）某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一结果的试验最有可能的是_____（填写所有正确结论的序号）． ①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”． ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． 【答案】（1） 0.25 （2） 5 （3） 5 （4） ①④ 【解析】 【分析】（1）根据表格得出答案； （2）用总数乘以频率可得答案； （3）设增加x个黑球，根据题意可得，求出解； （4）先分别求出每个试验的概率，再判断即可． 【小问1详解】 解：随着摸到白球的次数增加，摸到白球的频率在0.25附近， 所以当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.25； 【小问2详解】 解：， 所以盒子里白球有5个； 【小问3详解】 解：设增加x个黑球，根据题意，得 ， 解得， 经检验是方程的解且符合题意， 所以需向盒子中增加5个黑球； 【小问4详解】 解：从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率是，所以①符合题意； 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数小于3的概率是，所以②不符合题意； 投掷一枚均匀的硬币，落到桌子上恰好是正面朝上的概率是，所以③不符合题意； 甲，乙，丙，丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽中甲的概率是，所以④符合题意， 所以符合这一结果的试验最有可能的是①④． 23. 数学课上，老师用图1中的一张边长为a的正方形纸片A，1张边长为b的正方形纸片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题： （1）由图1和图2可以得到的等式为（用含a，b的等式表示） ； （2）请你帮助小明计算，并用图1中的三种纸片拼出一个面积为的大长方形验证计算结果的正确性（画出图形，标注相应的字母）； （3）如图3，，分别表示边长为m，n的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，，．求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）； （2）， 如图所示， （3） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式． （1）图形整体面积等于各部分面积之和； （2）根据多项式乘多项式的乘法法则计算，然后画图验证即可； （3）根据多项式乘多项式的乘法解决此题． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：由题意得，，． ， ． ． 阴影部分面积． 24. 【问题背景】 如图①，在同一平面内，a、b、c三根木棒钉在一起， 【实践操作】 （1）木棒a、c固定不动，木棒沿顺时针方向至少旋转__________，使得（如图②）； （2）如图③，当木棒时，将一个三角板ABC放在与之间（其中，），并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，请你求出的度数； （3）现将图①中的木棒a、b同时沿顺时针的方向转动一周，速度分别为每秒和每秒，当一根木棒停止旋转时，另一根也同时停止转动．在旋转的过程中，存在某一时刻使得，请你直接写出是在第几秒． 【答案】（1） （2） （3）在旋转的过程中，存在某一时刻使得，的值为或. 【解析】 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，一元一次方程的应用. （1）直接利用平行线的性质求解即可. （2）如图，过作，证明，再进一步求解即可. （3）如图，设旋转的时间为，则最长旋转时间为，情况①：由题意可得：，，可得，，情况②：如图，，，可得，，证明，再进一步可得答案. 【小问1详解】 解：如图， ∵，， ∴， ∴木棒a、c固定不动，木棒沿顺时针方向至少旋转，使得. 【小问2详解】 解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴. 【小问3详解】 解：情况①：如图，设旋转的时间为，则最长旋转时间为， 由题意可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 情况②：如图，，， 由题意可得：，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 综上：在旋转的过程中，存在某一时刻使得，的值为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $