精品解析：山西朔州市朔城区第七中学校2025-2026学年下学期八年级期中评估 数学 试题

八年级期中评估 数学 下册第十九～二十一章 说明：共三大题，23小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的取值范围，利用二次根式被开方数为非负数的性质列不等式求解即可. 【详解】∵二次根式在实数范围内有意义 ∴被开方数满足 移项得 . 2. 下列图形中，内角和与外角和相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式和多边形的外角和等于求解即可． 【详解】解：多边形的外角和等于不变； A、三角形的内角和为： ，不符合题意； B、四边形的内角和为：，符合题意； C、五边形的内角和为： ，不符合题意； D、六边形的内角和为： ，不符合题意． 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项即可． 【详解】解：对A选项，满足最简二次根式的两个条件，因此是最简二次根式，故A符合题意； 对B选项，，被开方数含能开得尽方的因数，因此不是最简二次根式，故B不符合题意； 对C选项，，被开方数含能开得尽方的因数，因此不是最简二次根式，故C不符合题意； 对D选项，的被开方数含有分母，因此不是最简二次根式，故D不符合题意． 4. 如图，在中，，点E在上，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，等边对等角进行求解即可. 【详解】解：∵在中，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴. 5. 如图，在中，，，D是的中点，则的长为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出，从而得出，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴，负值舍去， ∵D是的中点， ∴． 6. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次根式乘除法则，按照同级运算从左到右的顺序计算，最后化简即可得到结果． 【详解】解： ． 7. 如图，用10张直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 观察图形可知，第1个直角三角形的斜边长为，第2个直角三角形的斜边长为，以此类推，第个直角三角形的斜边长为，进行求解即可. 【详解】解：由图可知，第1个直角三角形的两条直角边长均为1， 根据勾股定理，其斜边长为； 第2个直角三角形的一条直角边长为1，另一条直角边长为第1个三角形的斜边长， 其斜边长为； 第3个直角三角形的斜边长为；   由此规律可知，第个直角三角形的斜边长为； 图中共有10张直角三角形纸片，  是第10个直角三角形的斜边，  . 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A的坐标为，点C在y轴的正半轴上，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长，交轴于点D，根据菱形的性质得出，，根据点A的坐标为，求出，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：延长，交轴于点D，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，， ∵点C在y轴的正半轴上， ∴轴， 即轴， ∵点A的坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 9. 如图，在菱形中，，点E在上．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明四边形为正方形，得出，根据勾股定理求出，根据求出结果即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ． 10. 勾股定理是人类伟大的科学发现之一，在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理，但在毕达哥拉斯出生之前，这一定理早已被人们所利用，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究作出过贡献．对于勾股定理的证明，有几百种方法，可见这条定理多么地吸引着人们，其中在古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中有一种证明勾股定理的方法，内容如下：如图，在中，，四边形，，分别是在其三边上所作的正方形，连接，，过点C作，垂足为J，延长交于点K，可得到，这样就可以完成勾股定理的证明．对于该证明过程，下列结论错误的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质可证明，从而判断A选项正确．根据，，结合得到，从而判断B选项，D选项，同理可判断C选项． 【详解】解：∵四边形，是正方形， ∴，，， ∴， 即， ∴．故A选项正确． ， ， ，， ∴， 中边上的高等于， ， ， ．故B选项正确． 同理可证．故C选项正确． 由上可知，故D选项错误． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 在平行四边形中，对角线与交于点．添加一个条件：________，则可判定四边形是矩形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形的判定定理是解题的关键． 根据矩形的判定定理回答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 若添加条件，则对角线相等，根据矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”，可得四边形是矩形． 故答案为：． 12. 若，化简______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可. 【详解】, 故答案为 【点睛】考查二次根式的化简，注意 13. 如图1，苯是石油化工的基本原料，苯的产量和生产的技术水平是一个国家石油化工发展水平的标志之一．苯（分子式为，C表示碳原子，H表示氢原子）的环状结构中的6个碳原子组成了一个正六边形．如图2，在正六边形中，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形的性质，推出为含30度角的直角三角形，进行求解即可. 【详解】解：如图， 由题意，，正六边形的每个内角的度数为，图形关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 14. 我国清代数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④……；⑤11，60，61．根据上述规律可知第④组勾股数为______． 【答案】9，40，41 【解析】 【分析】观察已知勾股数，可得出第一个数为连续奇数，得到第④组勾股数的第一个数，再根据后两个数为差为1的连续正整数，设未知数后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，第组勾股数的第一个数为，因此第④组勾股数的第一个数字为， 设第二个数字为，则第三个数字为， 由勾股定理，得： ， 即， 整理得：， 解得：， 因此：， 故第④组勾股数为9，40，41． 15. 如图，在边长为5的菱形中，对角线交于点O，，E，F分别是的中点，P是上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质可知点与点关于对称，作点关于的对称点，则在上，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为的最小值，连接，利用三角形中位线定理和勾股定理求出的长度即可 . 【详解】解:四边形是菱形，边长为5， ，，， 在中，， 作点关于的对称点，连接交于点，此时最小，最小值为的长度，  点与点关于对称，，  点在上，且，  是的中点，  ，  ， ， 连接， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴， 在中，，  的最小值为. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算及求线段长度： （1）计算：． （2）如图，在中，．求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴． 17. 已知一个正多边形木架的每个内角与相邻外角的度数比为． （1）求这个正多边形木架的边数． （2）若要使该正多边形木架不变形，至少要钉上m根木条，请直接写出m的值． 【答案】（1）10 （2）7 【解析】 【分析】（1）设出外角的度数，利用外角与相邻内角和为求得外角度数，除以这个外角度数即得所求的多边形的边数； （2）根据三角形的稳定性，多边形从一个顶点出发可以画的对角线条数，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设这个正多边形的每个外角为，则每个内角为， 由题意得：， 解得：， ， 故这个正多边形木架的边数为10． 【小问2详解】 解：∵三角形具有稳定性， ∴要使该正多边形木架不变形，需要将这个正多边形木架变成多个三角形， ∵从多边形一个顶点出发，连接其所有不相邻的顶点，可以将多边形分割成多个三角形， ∴从十边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，将十边形分成八个三角形， 即要使该正多边形木架不变形，至少要钉上7根木条． 18. 太原市某学校为了促进学生全面发展，增强学生劳动实践能力，在校园内开辟了一块如图所示的三角形菜园，其中，，． （1）该菜园的边与是否垂直？请判断并说明理由． （2）现要扩大该菜园，在边的延长线上找一点D，使边的长为，求的长． 【答案】（1） 解：垂直，理由如下： ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）由勾股定理可得，进而求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 在中，，， ∴， ∴． 19. 如图，在中，，分别是，的中点，连接，是上一点，且点到，的距离相等，连接，过点作交于点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若四边形B的周长为，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵在中，点、分别是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 点到，的距离相等， 平分， ， ， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形的中位线定理，得到，结合，证明四边形平行四边形，平行结合角平分线，推出，即可得证； （2）根据三角形的中位线定理，得到，结合菱形的性质，线段的和差关系，求出的长，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：，四边形是菱形， ∵菱形的周长为， ∴，， ∴， ∴， ∴． 20. 已知． （1）计算： ， ． （2）求代数式的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据分母有理化的方法，二次根式混合运算法则，结合完全平方公式，进行计算即可； （2）将，代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ． 21. 阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 垂等四边形 【定义理解】对角线互相垂直且相等的四边形叫作垂等四边形． 例如，如图1，在正方形中，且，∴正方形是垂等四边形． 【问题解决】问题1：如图2，若四边形是垂等四边形，，则四边形的面积为 ． 问题2：如图3，，，求证：四边形是垂等四边形． 证明：∵， ∴，即． ∵， ∴四边形是平行四边形（依据）， ∴，， ∴， …… 任务： （1）问题1中的四边形的面积为 ；问题2中的依据是 ． （2）补全问题2的求证过程． （3）如图4，已知线段AC，请在图4中作垂等四边形，其中四边形的对角线相交于点O，．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一种即可） 【答案】（1）；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （2） 补全问题2的求证过程如下： 在中，，， ， ，， ． ， ． ， ， 即且， 四边形是垂等四边形． （3） 如图， 【解析】 【分析】（1）先连接，再根据题意进行解答即可； （2）根据等角对等边、三角形内角和定理以及垂直的判定，进行解答即可； （3）根据线段的垂直平分线的尺规作图，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，连接， 由题可知，，， 四边形的面积为； 问题2中的依据是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 先作线段的垂直平分线，与交于点，再分别作线段、的垂直平分线，分别与、交于点，；在的垂直平分线上，截取，；顺次连接，，，，则四边形即为所求． 22. 如图，在矩形中，E，F分别为边，上的点，，，相交于点G，过点C作，交的延长线于点H，且． （1）求证：四边形是正方形． （2）已知，． ①连接，求的长． ②请直接写出与之间的距离． 【答案】（1） 解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先证明，得出，再根据有一组邻边相等的矩形为正方形，即可证明矩形为正方形； （2）①过点D作于点M，根据，，求出，，用等积法求出，，根据勾股定理求出，求出，根据勾股定理求出即可； ②过点C作于点N，证明，得出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①过点D作于点M，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， ∴， 同理得：， 在中，根据勾股定理得： ， ∴， 在中，根据勾股定理得：； ②过点C作于点N，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 即与之间的距离为． 23. 综合与探究 问题情境：如图1，在矩形中，，，点E和点P分别在边和上，将矩形沿直线折叠． （1）若顶点C恰好落在顶点A处，求的长． 特例探究： （2）如图2，若点C恰好落在边的中点处，连接，设与交于点F，求的长． 拓展延伸： （3）如图3，F为的中点，点C恰好落在（含端点）上的点处，当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质得，，设，则，在中，由列方程求解即可； （2）先求出，再根据折叠的性质得，， ，，设，则，在中，由， 解得，最后在中，利用勾股定理计算； （3）由F为的中点，得到，则，即中，当为直角三角形时，或，此时是等腰直角三角形，据此列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，，， ∴，， 根据折叠的性质得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即； 【小问2详解】 解：∵点是的中点， ∴， 在中，， 根据折叠的性质得，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 在中，； 【小问3详解】 解：∵矩形中，，，F为的中点， ∴，，， ∴， ∴， 根据折叠的性质得，， 设，则， ∵中， ∴当为直角三角形时，或， 当时，，则，，即可得到，解得； 当时，，则，即可得到，解得； 综上所述，当为直角三角形时，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级期中评估 数学 下册第十九～二十一章 说明：共三大题，23小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 2. 下列图形中，内角和与外角和相等的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，点E在上，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，D是的中点，则的长为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 4 6. 计算：（ ） A. B. C. D. 7. 如图，用10张直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A的坐标为，点C在y轴的正半轴上，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，点E在上．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 10. 勾股定理是人类伟大的科学发现之一，在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理，但在毕达哥拉斯出生之前，这一定理早已被人们所利用，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究作出过贡献．对于勾股定理的证明，有几百种方法，可见这条定理多么地吸引着人们，其中在古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中有一种证明勾股定理的方法，内容如下：如图，在中，，四边形，，分别是在其三边上所作的正方形，连接，，过点C作，垂足为J，延长交于点K，可得到，这样就可以完成勾股定理的证明．对于该证明过程，下列结论错误的是（） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 在平行四边形中，对角线与交于点．添加一个条件：________，则可判定四边形是矩形． 12. 若，化简______. 13. 如图1，苯是石油化工的基本原料，苯的产量和生产的技术水平是一个国家石油化工发展水平的标志之一．苯（分子式为，C表示碳原子，H表示氢原子）的环状结构中的6个碳原子组成了一个正六边形．如图2，在正六边形中，，则的长为______． 14. 我国清代数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④……；⑤11，60，61．根据上述规律可知第④组勾股数为______． 15. 如图，在边长为5的菱形中，对角线交于点O，，E，F分别是的中点，P是上的动点，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算及求线段长度： （1）计算：． （2）如图，在中，．求的长． 17. 已知一个正多边形木架的每个内角与相邻外角的度数比为． （1）求这个正多边形木架的边数． （2）若要使该正多边形木架不变形，至少要钉上m根木条，请直接写出m的值． 18. 太原市某学校为了促进学生全面发展，增强学生劳动实践能力，在校园内开辟了一块如图所示的三角形菜园，其中，，． （1）该菜园的边与是否垂直？请判断并说明理由． （2）现要扩大该菜园，在边的延长线上找一点D，使边的长为，求的长． 19. 如图，在中，，分别是，的中点，连接，是上一点，且点到，的距离相等，连接，过点作交于点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若四边形B的周长为，，求的长． 20. 已知． （1）计算： ， ． （2）求代数式的值． 21. 阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 垂等四边形 【定义理解】对角线互相垂直且相等的四边形叫作垂等四边形． 例如，如图1，在正方形中，且，∴正方形是垂等四边形． 【问题解决】问题1：如图2，若四边形是垂等四边形，，则四边形的面积为 ． 问题2：如图3，，，求证：四边形是垂等四边形． 证明：∵， ∴，即． ∵， ∴四边形是平行四边形（依据）， ∴，， ∴， …… 任务： （1）问题1中的四边形的面积为 ；问题2中的依据是 ． （2）补全问题2的求证过程． （3）如图4，已知线段AC，请在图4中作垂等四边形，其中四边形的对角线相交于点O，．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一种即可） 22. 如图，在矩形中，E，F分别为边，上的点，，，相交于点G，过点C作，交的延长线于点H，且． （1）求证：四边形是正方形． （2）已知，． ①连接，求的长． ②请直接写出与之间的距离． 23. 综合与探究 问题情境：如图1，在矩形中，，，点E和点P分别在边和上，将矩形沿直线折叠． （1）若顶点C恰好落在顶点A处，求的长． 特例探究： （2）如图2，若点C恰好落在边的中点处，连接，设与交于点F，求的长． 拓展延伸： （3）如图3，F为的中点，点C恰好落在（含端点）上的点处，当为直角三角形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $