第三单元长方体正方体应用题（专题训练）-2025-2026学年五年级下册数学西南大学版

**基本信息** 聚焦长方体正方体体积与表面积的实际应用，通过24道梯度题构建“公式应用-变式迁移-生活建模”的完整训练体系，强化空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |体积计算|8题（题1/6/8/12）|单位换算+排水法+公式逆用|从基础体积公式（V=Sh）到不规则物体体积（水面上升法），构建“直接计算-间接推导”逻辑链| |表面积计算|7题（题4/10/13/17）|实际面取舍+展开图还原|结合无盖/局部粉刷情境，强化“表面积公式-实际需求”的关联，培养应用意识| |综合应用|9题（题2/3/24）|体积与表面积综合+动态变化分析|通过截高/拼合/横竖放置等变式，深化“立体图形特征-数量关系”的转化思维，发展推理意识|

第三单元长方体正方体应用题 1．一根长为4米的长方体钢材，横截面是一个正方形。量得这个正方形的边长为1.2分米，这根钢材的体积是多少立方分米？ 2．一个正方体的体积是长方体体积的2倍，如果把它们拼摆在一起，正好能拼成一个新的长方体。新长方体的表面积比原来长方体的表面积增加了64平方厘米。新长方体的体积是多少立方厘米？ 3．一个长方体表面积是130平方厘米，底面积是20平方厘米，底面周长是18厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 4．欢欢家要粉刷长8米、宽5米、高3米的客厅，门窗面积为14平方米。如果要粉刷屋顶和四面墙壁，平均每平方米用涂料250克，那么至少需要多少千克涂料？ 5．一个水池长60米，宽35米，深2.5米，现改建成游泳池，在四壁和底面涂上一层水泥，涂水泥的面积是多少平方米？这个游泳池最多能装水多少立方米？ 6．五年级一次实践操作课，小军将一个棱长6分米的正方体石块浸没到一个长方体水槽里，水面上升了4分米，然后放入一个铁块并浸没，水面又上升了0.9分米，求铁块的体积。 7．下图是一个长方体的展开图，计算原长方体的表面积是多少平方米。 8．下图是一个玻璃鱼缸，长、宽分别是12分米、8分米。当石块沉入前玻璃缸中水的高度是5分米，石块完全沉入水中，水面升高2分米，请你计算出这个石块的体积。 9．给一个新修的长方体水池注水，这个长方体水池的长25米，宽18米，深6米，现在需要给水池注入5米的水深，如果每时注水150立方米，需要多少时间？ 10．一个长方体玻璃鱼缸，长50厘米，宽40厘米，高30厘米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方米？ （2）往水里放入鹅卵石、水草和鱼，水面上升了2.5厘米。这些鹅卵石、水草和鱼的体积一共是多少立方厘米？ 11．如下图，一个长方体，高截去2厘米，表面积就减少40平方厘米，剩下的部分正好成为一个正方体，原来长方体的体积是多少立方厘米？ 12．把一个棱长是30厘米的正方体容器装满水，然后倒入长50厘米，宽20厘米，高30厘米的长方体容器中，这时的水位高多少厘米？ 13．一间教室长9米，宽6米，高3米，现在要在它的四壁距地面1.2米以下的高度贴瓷砖，如果每平方米瓷砖的费用是120元，则需要花费多少元？ 14．小雨家的鱼缸是一个长方体，长是3分米，宽是2分米，高是2分米。如果用容积为800毫升的大杯往鱼缸里加水，使水深达到1.2分米，那么要加多少杯水？ 15．李叔叔要砌一堵长15米，高3米，厚2分米的墙。这堵墙的体积是多少立方米？如果每立方米用砖525块，那么需要多少块砖？ 16．将一块长9厘米，宽7厘米，高8厘米的长方体木块截成体积最大的正方体木块，截成的正方体木块的体积是多少立方厘米？ 17．灯笼又称为彩灯，起源于西汉时期，寓意团团圆圆、红红火火。王叔叔要制作一个长方体灯笼，长4.5分米，宽2分米，高4分米的长方体框架（上、下都是空的）。王叔叔至少需要多少平方分米的绸布？ 18．一个成年人平均每分呼吸16次，每次吸入0.5立方分米的空气。一个成年人每时吸入多少立方分米的空气？合多少立方米？ 19．下图是由一些小正方体积木堆成的。在这个基础上（原来的积木不动）要把它堆成一个正方体，至少需要多少块小正方体积木？（不考虑完全被遮住的小正方体） 20．张亮想按照如图方式，在盒子上扎根带子，另外要剩25厘米用来打蝴蝶结。张亮需要的带子长多少厘米？ 21．外卖给我们的生活带来了很大的便利，这种便利离不开外卖人员的辛苦付出。淘气的叔叔是一个外卖骑手，下图是他的外卖保温包的示意图，做一个这样的保温包至少需要多少平方厘米的材料？（重叠部分忽略不计） 22．希望小学有一间长18米、宽12米、高3.5米的会议室。 （1）这间会议室的占地面积有多大？ （2）现在要给会议室的四周和屋顶粉刷墙，（扣除门、窗、黑板面积共15平方米），这间会议室粉刷的面积是多少平方米？ 23．如图是全运会济南赛区奥体中心游泳馆的主游泳池，它长50米、宽25米、深2米。 （1）建造奥体中心游泳池至少需要挖土多少立方米？ （2）如果要给这个游泳池注1.8米深的水，已知每小时能注水150立方米。需要几小时注完？ 24．如图是一个长方体水箱横着放（图1）和竖着放（图2）的示意图。（水箱厚度忽略不计。） （1）竖着放后，水面高度为多少分米？ （2）在图2的水箱中放入一个石块，而且完全浸没，这时水面刚好上升到水箱顶部。该石块的体积有多大？ 第4页，共7页 第3页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． 57.6立方分米 【分析】根据长方体体积公式“体积＝底面积×高”，本题中底面积为横截面的正方形面积，高为钢材的长度。需注意单位统一：钢材长度4米需转化为分米，再计算体积。 【详解】4米＝40分米 （平方分米） （立方分米） 答：这根钢材的体积是57.6立方分米。 2．96立方厘米 【分析】一个正方体的体积是长方体体积的2倍，如果把它们拼摆在一起，正好能拼成一个新的长方体，说明长方体有两个面是正方形，新长方体的表面积比原来长方体的表面积增加的部分就是正方体4个面的面积，据此求出正方体一个面的面积，进而得出正方体棱长，再根据正方体的体积公式V＝a3，求出正方体体积，然后用正方体的体积除以2，求出原来长方体的体积，再把正方体和长方体的体积相加，求出新长方体体积即可。 【详解】64÷4＝16（平方厘米） 16＝4×4 所以正方体棱长是4厘米。 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 64＋64÷2 ＝64＋32 ＝96（立方厘米） 答：新长方体的体积是96立方厘米。 3．100立方厘米 【分析】根据题意，要求长方体的体积，必须要知道长方体的长、宽和高，用表面积减去上下两个底面面积，可求出剩下的四个侧面面积：分别为长乘高的两个面和宽乘高的两个面，则侧面积表示为：S＝2ah＋2bh，底面周长可以表示为：（a＋b）×2，将侧面积公式变形为：S＝2h（a＋b），用四个面的面积除以底面周长可以求出长方体的高，再根据体积公式：V＝Sh求出长方体体积即可。 【详解】130－20×2 ＝130－40 ＝90（平方厘米） 90÷18＝5（厘米） 20×5＝100（立方厘米） 答：这个长方体体积为100立方厘米。 4．26千克 【分析】屋顶是一个长为8米、宽为5米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，求出屋顶的面积；客厅的四面墙壁包括两个长为8米、宽为3米的长方形和两个长为5米、宽为3米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，分别求出两个长方形的面积，再相加求出客厅的四面墙壁的面积；最后用屋顶的面积加上客厅的四面墙壁的面积，再减去门窗面积就是需要粉刷的墙面的总面积，再乘平均每平方米需要的涂料的克数，最后再把克化为千克即可解答。 【详解】8×5＋8×3×2＋5×3×2－14 ＝40＋24×2＋15×2－14 ＝40＋48＋30－14 ＝104（平方米） 104×250＝26000（克） 26000克＝26千克 答：至少需要26千克涂料。 5．2575平方米；5250立方米 【分析】要计算涂水泥的面积也就是计算水池的底面积和四壁的面积，底面积＝长×宽，两面长壁的面积＝2×（长×深），两面宽壁的面积＝2×（宽×深），那么四壁的面积＝（长×深＋宽×深）×2，游泳池的容积＝长×宽×高。 【详解】60×35＝2100（平方米） （60×2.5＋35×2.5）×2 ＝（150＋87.5）×2 ＝237.5×2 ＝475（平方米） 2100＋475＝2575（平方米） 60×35×2.5＝5250（立方米） 答：涂水泥的面积是2575平方米；这个游泳池最多能装水5250立方米。 6．48.6立方分米 【分析】根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体石块的体积；正方体石块浸没到一个长方体水槽里，水面第一次上升部分的体积等于正方体的体积，根据长方体体积公式：体积＝底面积×高，底面积＝体积÷高；用正方体的体积÷水面上升的高度，求出这个长方体水槽的底面积；放入体块并浸没，水面第二次上升部分体积等于铁块的体积，用长方体水槽的底面积×上升的高度，即可求出铁块的体积。 【详解】6×6×6÷4×0.9 ＝36×6÷4×0.9 ＝216÷4×0.9 ＝54×0.9 ＝48.6（立方分米） 答：铁块的体积是48.6立方分米。 7．3.76平方米 【分析】根据长方形的特点，一个长方体最多有三组数据，即长方体的长、宽、高，它们可以互不相同，观察图形可知，长方体的长是10分米，宽是8分米，高是6分米，根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答，注意单位名数的换算。 【详解】（10×8＋10×6＋8×6）×2 ＝（80＋60＋48）×2 ＝（140＋48）×2 ＝188×2 ＝376（平方分米） 376平方分米＝3.76平方米 答：原长方体的表面积是3.76平方米。 8．192立方分米 【分析】根据题意，把石块沉入玻璃缸中，水面升高2分米，那么石块的体积等于水上升部分的体积； 水上升部分是一个长12分米、宽8分米、高2分米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这个石块的体积。 【详解】12×8×2 ＝96×2 ＝192（立方分米） 答：这个石块的体积是192立方分米。 9．15小时 【分析】先根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出注入水的体积，再除以每小时的注水量求出需要的注水时间，据此解答。 【详解】25×18×5÷150 ＝450×5÷150 ＝2250÷150 ＝15（小时） 答：如果每时注水150立方米，需要15小时。 10．（1）0.74平方米；（2）5000立方厘米 【分析】（1）根据玻璃鱼缸是无盖的，根据无盖长方体的表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，把数代入公式即可求解；最后再根据1平方米＝10000平方厘米转换单位即可。 （2）根据不规则物体体积的计算方法：容器的底面积×水面上升的高度＝物体的体积，把数代入公式即可求解。 【详解】（1）50×40＋（50×30＋40×30）×2 ＝2000＋（1500＋1200）×2 ＝2000＋2700×2 ＝2000＋5400 ＝7400（平方厘米） 7400平方厘米＝0.74平方米 答：做这个鱼缸至少需要玻璃0.74平方米。 （2）50×40×2.5 ＝2000×2.5 ＝5000（立方厘米） 答：这些鹅卵石、水草和鱼的体积一共是5000立方厘米。 11．175立方厘米 【分析】根据题意，剩下的部分正好成为一个正方体，则原来长方体的长等于原来长方体的宽；原来长方体的长＋2厘米＝原来长方体的高；减少的表面积的长等于原来长方体的长，宽等于原来长方体的宽，高等于2厘米的长方体的侧面积；由于原来长方体的长＝原来长方体的宽，所以四个面的面积相等，用减少的面积÷4，求出一个面的面积，再用一个面的面积÷2，求出原来长方体的长，进而求出原来长方体的宽和高；根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】40÷4÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 原来长方体的长是5厘米，宽是5厘米，高是5＋2＝7（厘米）。 5×5×7 ＝25×7 ＝175（立方厘米） 答：原来长方体的体积是175立方厘米。 12．27厘米 【分析】已知棱长为30厘米的正方体容器装满水，先根据正方体的体积公式V＝a3，求出水的体积； 然后把这些水倒入一个长方体容器中，则水的体积不变，长方体容器的底面积＝长×宽，根据长方体的高＝体积÷底面积，即可求出此时水的高度。 【详解】30×30×30＝27000（立方厘米） 27000÷（50×20） ＝27000÷1000 ＝27（厘米） 答：这时的水位高27厘米。 13．4320元 【分析】要在它的四壁距地面1.2米的高度贴瓷砖，瓷砖面积就是指长9米，宽6米，高1.2米的长方体的侧面积，即（长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，求出面积，再乘每平方米瓷砖的费用，即共花费的钱数。 【详解】（9×1.2＋6×1.2）×2 ＝（10.8＋7.2）×2 ＝18×2 ＝36（平方米） 36×120＝4320（元） 答：需要花费4320元。 14．9杯 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，计算出当水深达到1.2分米时，此时鱼缸里水的体积，用这部分水的体积除以800，所得结果即为需要加多少杯水，注意单位的换算。 【详解】3×2×1.2 ＝6×1.2 ＝7.2（立方分米） 7.2立方分米＝7200立方厘米＝7200毫升 7200÷800＝9（杯） 答：要加9杯水。 15．9立方米，4725块 【分析】根据题意这个墙是长方体，长是15米，高是3米，宽是2分米，要将宽换算单位，1米＝10分米，则2分米＝0.2米。再根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这个墙的体积。每立方米用砖525块，则需要的砖的数量＝每立方米的砖数×墙的体积。 【详解】2分米＝0.2米 15×3×0.2＝9（立方米） 9×525＝4725（块） 答：这堵墙的体积是9立方米，需要4725块砖。 16．343立方厘米 【分析】由题意知：因9＞8＞7，所以只能以长方体的宽7厘米做为最大正方体的棱长。再根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，将数值代入计算即求得正方体木块的体积。 【详解】7×7×7 ＝49×7 ＝343（立方厘米） 答：截成的正方体木块的体积是343立方厘米。 17．52平方分米 【分析】一个长方体灯笼，上、下都是空的，说明这个长方体只有2个长高面和2个宽高面，根据无上下两个底面时，长方体的表面积＝长×高×2＋宽×高×2进行计算。 【详解】 （平方分米） 答：王叔叔至少需要52平方分米的绸布。 18．480立方分米；0.48立方米 【分析】1小时＝60分钟，用16乘60计算出每时呼吸的次数，再乘0.5，所得结果即为每时吸入多少立方分米的空气，1立方米＝1000立方分米，据此进行单位的换算。 【详解】16×60×0.5 ＝960×0.5 ＝480（立方分米） 480立方分米＝0.48立方米 答：一个成年人每时吸入480立方分米的空气，合0.48立方米。 19．54块 【分析】观察图形可知，图中一共有6＋4＝10个小正方体，最长的棱长是4个小正方体组成的，所以拼组后的大正方体的棱长最小由4个小正方体组成，由此利用正方体的体积公式求出所需要的小正方体的总个数，再减去图中已有的10个小正方体即可进行选择。 【详解】观察图形可知，图中一共有6＋4＝10个小正方体，拼组后的大正方体的棱长至少需要4个小正方体，所以拼组这个大正方体至少需要： 4×4×4 ＝16×4 ＝64（块） 64－10＝54（块） 答：至少还需要54块小正方体积木。 20．77厘米 【分析】根据图形可知，所需带子的长度等于2条长棱＋两条宽棱＋4条高棱＋打结用的25厘米。由此列式解答。 【详解】12×2＋8×2＋3×4＋25 ＝24＋16＋12＋25 ＝40＋12＋25 ＝52＋25 ＝77（厘米） 答：张亮需要的带子长77厘米。 21．10138平方厘米 【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，用（50×37＋50×37＋37×37）×2即可求出做一个这样的保温包至少需要的材料面积。 【详解】（50×37＋50×37＋37×37）×2 ＝（1850＋1850＋1369）×2 ＝5069×2 ＝10138（平方厘米） 答：做一个这样的保温包至少需要10138平方厘米的材料。 22．（1）216平方米 （2）411平方米 【分析】（1）求教室的占地面积就是求长方体的底面积，利用“长方形的面积＝长×宽”求出教室的占地面积； （2）求这间会议室粉刷的面积，就是求长方体5个面的面积和，再减去门窗的面积，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】（1）18×12＝216（平方米） 答：这间会议室的占地面积是216平方米。 （2）18×12＋（18×3.5＋12×3.5）×2－15 ＝216＋（63＋42）×2－15 ＝216＋105×2－15 ＝216＋210－15 ＝426－15 ＝411（平方米） 答：这间会议室粉刷的面积是411平方米。 23．（1）2500立方米 （2）15小时 【分析】（1）要求建造奥体中心游泳池至少需要挖土多少立方米，把这个中心游泳池看作一个无盖的长方体，相当于求这个长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数值计算即可解答。 （2）根据长方体的体积公式，求出注入的水的总体积，再除以150，所得结果即为需要几小时注完。 【详解】（1）50×25×2＝2500（立方米） 答：建造奥体中心游泳池至少需要挖土2500立方米。 （2）50×25×1.8÷150 ＝2250÷150 ＝15（小时） 答：需要15小时注完。 24．（1）6分米； （2）40立方分米 【详解】（1）首先计算水箱横放时水的体积，根据图1，水箱的尺寸为长8分米、宽5分米、高4分米。水的高度是3分米（因为只有这部分被水填满）。当水箱竖直放置时图2，水的体积不变，发生变化的底面积变为5分米×4分米，所以图2水箱水的高度＝水的体积÷底面积。 （2）当放入石块后，水面上升到水箱顶部，这意味着石块的体积等于水箱剩余空间的体积。水箱的总高度是8分米，而水的高度是6分米，所以剩余空间的高度是8－6＝2分米。石块的体积可以通过计算剩余空间的体积得到。 【解答】（1）8×5×3÷（5×4） ＝40×3÷20 ＝120÷20 ＝6（分米） 答：水面高度为6分米。 （2）5×4×（8－6） ＝20×2 ＝40（立方分米） 答：该石块的体积有40立方分米。 答案第4页，共10页 答案第5页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $