湖南常德市临澧县第一中学2026届高三年级阶段性检测数学试卷

临澧一中2026届高三年级阶段性检测卷数学参考答案 2026.05.04 1.D 2.C3.B 4.C 5.B 6.C7.A 8.B 9.ABD 10.BCD 11.BCD 12.1413.0 14.6-9 7.记AC∩BD=O,P在平面ABC上的射影为点F,则F在AE上，连接CF, 由PF⊥平面ABC,PA=PC,可得AF=CF,又BO是线段AC的中垂线，所以F在BO上， 即AE∩BO=F,因为三棱锥P-ABC外接球的表面积为8π，所以该球的半径为√互， 又OP=OA=OC=OB,所以OP=OA=OC=OB=√2： 因为E为BC的中点，O为AC的中点，所以F为△ABC的重心， 所以Or=名OB=5，,4B=BC=2,Pr=VOp-0r=4, 3 所以三棱锥P-ABC的体积V-号SePF-}×2受2×号各 2 8.b+2ccosA=0,..sin B+2sin CcosA=0,sin AcosC+3sinCcosA=0,..tanA=-3tanC, m8=-m4+0)-h股1c≤g9,4若 此时amC=5,C-晋，A-=子：c=4,b=c=2,a=25,周长=4+25 3 10.对于A,依题意，经智能检测系统筛选合格的条件下，通过人工抽检合格的概率 大于直接进入人工抽检合格的概率，即P(B|A)>PB),A错误； 对于B,由A中结论PB|)>PB)可得P(A)·PB|A)>PA)·P(B),得P(AB)>PA)·P(B), P(AB)+P(AB)=P(A).P(BIA)+P(A).P(BA)=P(A), 于是PAB)>PB)-[P(AB)+PAB],即P(AB)-P(AB)P(B)>P(B)P(AB), 因此P0P8,即PB、P.则PAB>P4),B正确 P(B)之1-P(B)P(B)>P(B 对于C,P5.16<5<5.32)=P5.20-0.04<5<5.20+3×0.04=P-o<5<u+3o) -Pu-g<5L+o)+Pu-3o<5<L+30）≈06827+09973=0.84，C正确： 2 对于D,m~B(M,0.84),P(m=45)=C5×0.845×0.16M-45,设f(x)=C×0.845×0.16-45, 由fx+-Cx084"×0.164 f-C08401g=016x名>1，解得x<194526,f)>62. 21 由f田=Cx0.845x016-s 用f-C×084x016=016×x45<1解得x>3-=53+号，即f6)>f64. 所以P(m=45)取得最大值时，M的估计值为53，D正确 11.设公共值a+ln(a-1)=b+n(b+1)=c+c=k,先确定定义域：a>1,b>-1c>0, 构造函数p()=t+l(t>0),求导得g(0)=1+}>0,因此p()在(0，+)上单调递增， a+h(a-1)=k→(a-1)+ln(a-1)=k-1→p(a-1)=k-1, b+ln(b+1)=k→(b+1)+n(b+1)=k+1→p(b+1)=k+1,c+lnc=k→p(c)=k, 由p(t)单调性可得：p(a-1)=k-1<p(c)=k<p(b+1)=k+1三a-1<c<b+1: 选项A:令a→1，则p(a-1)=k-1→-0→k→-0， 进而b+1→0一b→-1，此时a+b→1+(-1)=0<2，因此A错误： 选项B:p(t)单调性可知a-1<b+1,移项得a-b<2,因此B正确； 选项C:a>b,整理原式得：a-b=n(台》，假设a≤b,则左边a-b≤0， 得n(会出)s0→斗≤1→b+1≤a-1→a-b≥2>0，与假设矛盾，因此必有a>≥b,C正确： a-1 选项D:要证a+b>2c,即证(a-1)+(b+1)=a+b>2c, 令x=a-1,x2=b+1,已知x<c<x2且p(x)+p(x2)=2p(c), 要证x+x,>2c,即证x2>2c-x1,构造函数F(x)=p(x)+p(2c-x)(0<x<c), 求号相：)功：)三 因为x<c,所以c-x>0,分母x(2C-x)>0,因此F'(x)>0,即F(x)在(0，c)上单调递增， 得：F(x)<F(c)=2p(c)=p()+p(x),消去p()得p(2c-x)<p(x,), 由0单调性得2c-x<x2,即x+x,>2c,即a+b>2c,因此D正确. 13.因为sin(75°+k)=cos(15°-k),所以￡=(sin(15°-P),cos(15°-k),cos6。=sin(15°-k) cos8+cos,++cos8。=2sim(15°-kA)=sin14+sin13++sinl+sin0°+sin(-1P）++sin(-14)=0- 14将≥6meN)门选修课霸号为121a,设X为篇门误是香被选中，又=化深深装法中 则X=名+X+X,又比=小=1-心化-0=1-会】 =1--3) n2 则B(=B(X)+B(x)++B(X)=1-a-3=6-9 另解：当作超几何分布，设Y表示两人选的相同课数量，则X=6-Y, 先让甲选三门，把这三门当做次品，再让乙选，乙选到甲已经选了的课程的个数为Y, Y服从超几何，其中NnM=3,3,所以E,EX-=E(6-Y-6 15.(1)取AB中点O,因为PA=PB,O是AB的中点，所以AB⊥PO 又CA=CB,O是AB的中点，所以AB⊥CO.又CO∩PO=O,CO,POc平面POC, 所以AB⊥平面POC,又PCc平面POC,所以PC⊥AB.(6分) (2)因为平面PAB⊥平面ABC,且平面PAB∩平面ABC=AB,AB⊥PO,可得PO⊥平面ABC 如图，以O为原点，以OA,0C,OP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系 则o@o叭，A3ao小（宁a叭，c9,小aa9)则西-（-9），o=09、9) 设平面PBC的法向量为n=(k,z,由PCn=0,得 -号x-3:=0 2 PB.=0 受90 取x=5,y==-1,得=(V3,-1-1) 由“=4C,得：=（是誓小所以是复9）： 元A 设PE与平面PBC所成角为8，则sin6= PE列=3 P同3 因此直线PE与平面PBC所成角的正弦值是号.(13分) 16.(1)当a=1时，则f(x)=e+x-1,故f'(x)=-e+1,故f"(-1)=1-e,f(-1)=e-2, 因此所求切线方程y-(e-2)=(1-e)(x+1),即y=(1-e)x-1.(5分) (2)由题意定义域为R,f'(x)=-ex+a, (i)若a≤0，则f'(x)≤0恒成立，可知f(x)在R上递减，无极值，不合题意.(7分) (i)若a>0,令f'(x)>0,解得x>-lna:令f"(x)<0,解得x<-na: f(x)在(-m,-na)递减，(-na,+o)内递增，则f(x)有极小值f(-na)=a-ana-a,无极大值， 所以f(-lna)=a-alna-d>0,即a2+lna-1<0,(10分) 令g(a)=d2+lna-1,a>0,则g'(a)=2a+>0,可知g(a)在(0，+∞)内单调递增，且g()=0, 不等式a2+na-1<0等价于g(a)<g(),解得0<a<1,所以实数a取值范围为(0,1)(15分) 17.(1)圆C2:(x-2)2+y-22=1,圆心C2(22),半径r=1· 由题意可知直线1的斜率k存在，设直线1的方程为y-3=k(x+3),即c-y+3k+3=0. 由于直线1与圆C,相切，所以d=出-1，解得k-0或音 Vk2+1 所以直线1的方程为y=3或5x+12y-21=0;6分》 (2)记点A关于x轴的对称点为A,则A(-3,-3)由于反射光线所在直线经过点A,且斜率存在， 设反射光线所在直线：y+3=k(x+3),即c-y+3k-3=0.又圆C的圆心为Cn(2,m),半径r=1, 直线r与圆C,相切，则d= -=-3=1,9分)整理得24k2-100n+3)k++6+8=0: VE2+1 则两条切线的奉之积华贸8,1分所以号动s1中22分剂 94 a 8=安+这++日-1哈君+2馆35别 18.(1)设A(),B(x,)则a 1,得5-生+乃发=0，即长.+及=- a2 x-x2x+x a2 y1+y2 因为M为AB的中点，所以M(李，士】 2 所以直线OM的斜率化=2二=乃+立， X1+x2X1+x2 2 所以秋=叁尖士长=-会，所以-尽=子：即a=少 水1-x2X+x2 a a2 因为椭圆E的焦距为25，所以2c=25,c=√5，又因为c=√-b=√4b2-b2=√3b, 解得a=2b=1,所以椭圆E的方程为千+2=1,6分) VA (2)设直线1的方程为y=c-4.设A(x,),B(x2,y2),如图： 将y=c-4代入方程号+y2=1,消)得0+4)x-32+60=0, △=(-32k)2-240×（1+42)=64k2-240>0,解得k2>15. 4 则+=张：=100分别 若∠A0B=时，有QA.OB=0,即x,+yy,=0,X,+(-4)(-4)=0, 即1+k)4k(K+5)+16=0,所以60+）2+16=0 1+4k21+42 化简整理得=19，解得k=±9，符合：(8分) 若∠0B=受时，则k=-1,即冬”4-1，所以=-y- 又因为聋+听=1，联立方程组解得y=-子或y=2(舍去)， 3 所以5=±25，所以：+4.号。 3 草，符合但分别 若∠01=受时，则k。k=-1,即是少4-1，所以g-时-4 22 又因为至+好=1，联立方程组解得，=-号或y=2（舍去)， 4 所以5=士25，所以k=4+4 =5,符合.(10分) 3 综上，k=士V9或k=士W5.(1分) (3)由直线1的方程y=c-4,知P(告0)因为点C为点A关于x轴的对称点，所以C(,), 所以直线BC的方程为+=_￥，令y=0,得点Q的横坐标为。=十4， 为+乃x2-x 片+y2 因为y1=x-4,y=2-4, 120k128k 所以天=到-2山装+-k, c-4+2-4 k(x+x2)-8 32k2 1+W28 所以o叫oQ=,。{个=4为定值7分) 19.(1)初始状态X,=2,即2个在线、3个宕机、第1个月选中在线节点的概率为号，此时X=2: 选中宕机节点的概率为子，其中修复成功的概率为p=},此时X=3:修复失败的概率为号，此时X=2 3 所以P(X=2)=号+2×号=号，P(x=3)=房×}=月 P(x:=3到X=2)=房×3=号，P(X,=3X=3)=是+号×号贵 所以P(X2=3)=P(X=2)P(x2=31X=2)+P(X=3)P(X,=31X=3) 号×5+号×号-去+号-器-}故当卫-号时，P(x,=)子5分) (2)证明：由题意知X1=2,3,4,5, 所以PX-2)-PX,=2到号+-pm]--号)P(X,=2 P(x=3列=[号+号0-0]P(X=)+号pP(X=2)=1-号P(x=3)+号P(X,=2): P(x=4到-[号+-p叫]Px,=4)+号P(x.=)-（1-号P(K=4+2琴Px,-3), P(K=5)=[3+ga-p)]P(K.=5)+3pP(X,=4)=P(K.-5)+号P(X=4, 所以E(X)=2.P(X1=2)+3P(X=3)+4.P(X+1=4)+5.P(X=5) (2+号)Px=2+3+号P(x=)+4+rx=0+5(x-列 所以E(x)-1-号E(X)（2+号)Px.=2++号P(x-)+4+号PX=4到+5Px,-) -1-号2Px.=2+3P(X=)+4P(X.=4+5P(X=5刃 =p[P(X.=2)+P(x.=3)+P(Xm=4)+P(X.=5] 因为P(X=2)+P(Xn=3)+P(X。=4)+P(X,=5)=1, 所以E(X)（1-号)F(X)-p:所以E(x)-（1号)E(x)+p1分) 3)因为B(X)-1-号E(X)+p,设(X+A-（1-号)E(x)+刘 所以(X)+1=（1号)(x)+-号，所以-号=p:=-5,(X)-5（-号a(X)-5],所以 {(K,)-5}是以1-号为公比的等比数列， E(X)=2,B(K)-5=-3,B(X)=2[号+-p川]小+3xp=2+p 故(x)5=p331号)所以(x)-5=[(x)-1-号=-1-号 所以(X)5-号 第a个月的街言机节点数5-(X)-5-5-0-号门--号 每台岩机节点每月损失2万元，故第n个月的经济损失的期望为2×31-号)-6号) 设从第1个月开始的n个月的经济损失的总期望为L, (万元).(17分) 1-1-号)临澧一中2026届高三年级阶段性检测卷 数 学 (考试时间：120分钟满分：150分组卷：苏颜) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={xx2≤4x,x∈N},集合B={xlog(2-4)s2},则A∩B=() A.3 B.(2,3] C.{0,1,2,3} D.{3 2.已知向量ā=(1，m+4),6=(4,2),若a+b=a-,则d个=() A.5 B.3 c.5 D.5 3.已知复数z满足：(：-1)2+1=0，则=() A.1 B.√2 C.3 D.2 4.某学校从周一至周五中选择2天开展社会实践活动，周一和周二不能同时被选中，则不同 的选择方案有() A.7种 B.8种 C.9种 D.10种 5.用模型y=ae“拟合一组数(x,y)(i=1,2,10),若x+x++x。=10,yy,y。=e0, 设：=1ny,得变换后的线性回归方程为：=bx+4,则ak=() A.12 B.3e4 C.4e3 D.7 6.已知y=f(x)six是定义在R上的偶函数，且f(x+2)+f(x-2)=0,若f)=3,则 f(2027)=() A.0 B.1 C.3 D.-3 7.如图，在正方形ABCD中，E为BC的中 点，将△ACD沿直线AC折起至△ACP处， 使得点P在平面ABC上的射影在直线AE 上，若三棱锥P-ABC外接球的表面积为 8π，则三棱锥P-ABC的体积为() 8 B.1 D. 高三数学【第1页共4页】 8.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bc=4,b+2 ccos4=0,则当角 B取得最大值时，△4BC的周长为() A.6 B.4+2W3 C.4+2W2 D.6+2W2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下面说法正确的是() A.设x,B是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，若m⊥，m上B,n⊥a,则 n⊥B B.命题x≥1，x2≥1的否定形式是3x≥1，x2<1” C.已知aER,则“a>1”是1<1的必要不充分条件 D.数据1,2,4,5,6,12,18,20的上四分位数是15 10.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中 部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验记A 表示事件某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工 艺后，该款芯片的某项质量指标5服从正态分布N（5.20,0.04),现从中随机抽取M个，这M个芯 片中恰有m个的质量指标位于区间[5.16,5.32，则下列说法正确的是() 附：若X~N4,o2),则P(u-o≤X≤u+σ)≈0.6827，P(u-2o≤X≤+2o)≈0.9545， P(u-3o≤X≤u+3o）≈0.9973 A.P(B A)<P(B) B.P(A B)>P(A B) C.P(5.16≤5≤5.32)≈0.84 D.P(m=45)取得最大值时，M的估计值为53 11.已知a+n(a-1)=b+n(b+1)=c+1nc,则( A.a+b>2 B.a-b<2 C.azb D.a+b>2c 高三数学【第2页共4页】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设公差不为零的等差数列{a}的前n项和为Sn,且Ss=5(a3+a,+a),则k= 13.在角日，02，…，日29的终边上分别有一点，P,,P9,若点P的坐标为 (sin(15°-k),sin(75°+k),1≤k≤29，k∈N,则cos日+cos巳2++cos02)= 14.甲和乙各自从n(n≥6，n∈N)门选修课中任意选取3门，记X为被甲或乙选中的选修课 数量，则X的数学期望E(X)为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC,△ABC和△PAB都 是边长为1的正三角形 (I)证明：PC⊥AB: 2若AE=4C,求直线PE与平面P8C所成角的正弦值 l6.已知函数f(x)=e'+ax-a3(a∈R) (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(-1，f(-1)处的切线方程： (2)若函数f(x)有极小值，且极小值大于0，求实数a的取值范围.（其中e≈2.71828是自然对 数的底数) 17.已知圆Cn:(x-2)2+(y-m)2=1,n∈N外有一点A(-3,3) (1)当n=2时，过点A作直线1，当直线1与圆C,相切时，求直线1的方程： (2)自点A发出的光线经过x轴反射后与Cn相切，记与Cn相切的两条反射光线所在直线的斜 率之积为a,数列 的前n项和为Sn,求证：Sn<7, a 高三数学【第3页共4页】 18.已知椭圆卫： 厅+1Q>b>0)的焦距为23，过点D0,④的直线L5E交于A,B 点，M为AB的中点，O为坐标原点设1的斜率为，直线oM的斜率为K,k'-】 4 ()求椭圆E的方程： (2)若△OAB为直角三角形，求k的值： (3)直线1交x轴于点P,点A关于x轴的对称点为C,直线BC交x轴于点Q,探究： OPOQ是否为定值？ 19.某智慧城市在主干道部署了5个独立边缘计算节点.初始时有2个节点在线（假设在线的 不再宕机)，3个为宕机（停摆，不能正常工作）每个月系统随机等概率地巡查1个节点： 若该节点为宕机，则修复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功 的概率均为p(0<p<I):若该节点已在线，则仅进行维护.用Xn表示第个月后在线节点 数，E(X)表示其数学期望 (1)当p=3时，求P(x,=3): Q证明：(x)=1-号(X)+p (3)已知每个宕机节点每个月会造成2万元的经济损失，初始月份不考虑损失，求从第1个月 开始的n个月内的经济损失的总期望 高三数学【第4页共4页】