2026年中考数学胡不归问题专练

**基本信息** 聚焦胡不归问题，通过构造对称、旋转及三角函数转化线段，系统训练“PA+kPB”最小值求解，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础模型|选择10+填空9|构造含特殊角直角三角形转化系数，对称转移线段|以三角形、四边形为载体，通过三角函数（30°/45°/60°）将“kPB”转化为垂线段，结合两点之间线段最短| |综合应用|解答8|旋转构造全等，二次函数背景下动线问题|融合坐标系、二次函数，通过旋转（如60°旋转构等边三角形）转移线段，利用几何性质与代数运算结合求解|

2026年中考数学胡不归问题专练 一．选择题（共10小题） 1．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=4，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 2．如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，AB=2，点E为BD上动点，连接AE，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 3．如图，已知AE∥CD，AB=2，∠CBE=2∠A=60°，P是线段AC上的任意一点，则BP+CP的最小值为（　　） A． B．2 C． D． 4．如图，△ABC中，AB=AC=15，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（　　） A．3 B．6 C．5 D．10 5．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是边BC的中点，P是对角线BD上的一个动点，连接AE，AP，若AP+BP的最小值恰好等于图中某条线段的长，则这条线段是（　　） A．AB B．AE C．BD D．BE 6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+3x-4的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则PQ+PC的最小值是（　　） A．6 B．2+ C．2+3 D．3 7．如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为4，P为OB上一动点，则AP+OP的最小值为（　　） A．4 B．5 C．2 D．3 8．如图．在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（0，3），点C坐标为（2，0），点B为线段OA上一个动点，则AB+BC的最小值为（　　） A． B．5 C．3 D．5 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=与x轴的正半轴交于点A，B点为抛物线的顶点，C点为该抛物线对称轴上一点，则3BC+5AC的最小值为（　　） A．24 B．25 C．30 D．36 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB的最小值是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共9小题） 11．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=2，点D是AC边上一动点，则的最小值为 ______． 12．如图，△ABC中，AB=AC=10，∠A=30°．BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则的最小值是 ______． 13．如图，△ABC中，AB=AC=20，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是 ______． 14．如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则线段AP+BP+PD的最小值为______． 15．如图，在菱形ABCD中，AB=AC=10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM=2，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是　 ______． 16．如图，在菱形ABCD中，两条对角线，BD=4，点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则的最小值为______． 17．如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠ABC=60°，在线段AD上取一点E，使DE=1，连接BE，点M，N分别是线段AE，BE上的动点，连接MN，则的最小值为 ______． 18．在菱形ABCD中，∠ADC=120°，AB=6，连接AC，点M为线段AC上一动点（不与点A，点C重合），点N在线段BC上，且，则的最小值为 ______． 19．如图，在正方形ABCD中，点M，N分别在边AB，BC上（不与顶点重合），且满足AM=BN，连结AN，DM交于点P．E，F分别是边AB，BC的中点，连结PE，PF，若正方形的边长为8，则的最小值为 ______． 三．解答题（共8小题） 20．如图，△ABC在平面坐标系内，点A（0，3），C（2，0）．点B为y轴上动点，求AB+BC的最小值． 21．如图，四边形ABCD是边长为的正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小； ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并求出这个最小值． 22．如图，二次函数y1=k（x+2）（x-4）的图象与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C．经过点B的直线y2=-x+b与二次函数图象的另一交点为D，交y轴于E． （1）求b的值； （2）连接OD，若△OBE与△OED的面积之比为4：5，求二次函数的表达式； （3）在（2）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中所用时间最少？ 23．如图，△ABC是等边三角形． （1）如图1，AH⊥BC于H，点P从A点出发，沿高线AH向下移动，以CP为边在CP的下方作等边三角形CPQ，连接BQ．求∠CBQ的度数； （2）如图2，若点D为△ABC内任意一点，连接DA，DB，DC．证明：以DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形； （3）在（1）的条件下，在P点的移动过程中，设x=AP+2PC，点Q的运动路径长度为y,当x取最小值时，写出x,y的关系，并说明理由． 24．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED． （1）求证：四边形OCED是菱形； （2）连接AE，若AB=6cm,BC=cm. ①求sin∠EAD的值； ②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间． 25．（1）如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=2，若D是BC边上的动点，求2AD+DC的最小值． （2）如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D，E 分别是BC，AC上的两个动点，且DE=4，P是DE的中点，连接PA，PB，求PA+PB的最小值． 26．如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，3），点A为x轴负半轴上一点，AM⊥BC于点M交y轴于点N，满足4CN=5ON．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C． （1）求抛物线的函数关系式； （2）连接AC，点D在线段BC上方的抛物线上，连接DC、DB，若△BCD和△ABC面积满足S△BCD=S△ABC，求点D的坐标； （3）如图2，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以秒个单位的速度运动到C后停止．若点P在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点F的坐标． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点E． （1）连接BD，点P是线段BD上一动点（点P不与端点B、D重合），过点P作PQ⊥BD，交抛物线于点Q（点Q在对称轴的右侧），过点Q作QF⊥x轴，垂足为F，交BD于G，点M是线段OC上一动点，当△PQG周长取得最大时，求FG+GM+MC的最小值； （2）在（1）中，当△PQG周长取得最大，FG+GM+MC取得最小值时，把点M向下平移个单位得到点M'，连接AM'，把△AOM'绕点O逆时针旋转一定的度α（0＜α＜360°），得到△A'OM''，其中边A'M''交坐标轴于点I．在旋转过程中，是否存在点I，使得∠M''=∠M''OI？若存在，请直接写出所有满足条件的点M''的坐标；若不存在，请说明理由． 2026年中考数学胡不归问题专练 (参考答案) 一．选择题（共10小题） 1、D 2、C 3、A 4、B 5、B 6、D 7、A 8、A 9、A 10、C  二．填空题（共9小题） 11、； 12、5； 13、8； 14、6； 15、4； 16、2； 17、； 18、12； 19、2；  三．解答题（共8小题） 20、解：如图，取D（-3，0），连接AD，作BE⊥AD，CE′⊥AD于E′交y轴于B′． ∵A（0，3），C（2，0）， ∴OD=3，OA=3，OC=2，CD=5， ∴tan∠DAO==， ∴∠DAO=30°， ∴EB=AB， ∴AB+BC=EB+CB， ∴当E与E′重合，B与B′重合时，EB+BC最短，最小值即为CE′的长， 在Rt△CDE′中，CE′=CD•sin60°=， ∴AB+BC的最小值为． 21、（1）证明：∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN， ∴BM=BN，∠MBN=60°， ∵△ABE是等边三角形， ∴BA=BE，∠ABE=60°， ∵∠ABM+∠ABN=60°，∠EBN+∠ABN=60°， ∴∠ABM=∠EBN， 在△AMB和△ENB中， ， ∴△AMB≌△ENB（SAS）； （2）解：①连接AC，AC与BD相交于点O，如图1， ∵四边形ABCD是边长为的正方形， ∴AC=×=2，点O为BD的中点， ∵AM+CM≥AC（当M点在AC上时取等号）， ∴当M点在BD的中点时，AM+CM的值最小，最小值为2； ②∵△BMN为等边三角形， ∴BM=MN， ∵△AMB≌△ENB， ∴EN=AM， ∴当点E、N、M、C共线时，AM+BM+CM的值最小，如图2， 作EH⊥BC于H， ∵∠ABE=60°，∠ABC=90°， ∴∠EBH=30°， 在Rt△EBH中，EH=BE=， BH=EH=， 在Rt△EHC中，CH=BH+BC=+， ∴CE2=CH2+EH2=（+）2+（）2=4+2=（+1）2， ∴CE=+1， ∴当M点在CE上时，AM+BM+CM的值最小，这个最小值为+1． 22、解：（1）∵二次函数y1=k（x+2）（x-4）的图象与x轴从左至右依次交于A，B两点， ∴k（x+2）（x-4）=0 ∴x1=-2，x2=4 ∴A（-2，0），点B（4，0） ∵直线y2=-x+b经过点B ∴0=-4+b ∴b=4 （2）设点D（m,n） ∵直线y2=-x+4经过点E ∴E（0，4） ∵△OBE与△OED的面积之比为4：5， ∴（×4×4）：[×4×（-m）]=4：5 ∴m=-5 ∵点D在直线直线y2=-x+4上， ∴n=5+4=9 ∴点D（-5，9） ∵点D在二次函数y1=k（x+2）（x-4）上 ∴9=k×（-3）×（-9） ∴k= ∴二次函数解析式为：y1=（x+2）（x-4）=x2-x-， （3）如图，过点D作DP∥x轴，过点A作AG⊥DP于点G，过点F作FH⊥DP于点H， ∵点E（0，4），点B（4，0） ∴OE=OB=4 ∴∠OBE=45° ∵DP∥x轴， ∴∠HDF=∠OBE=45° ∵FH⊥DP ∴∠HFD=∠HDF=45° ∴DH=HF ∴DF=HF 由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=+=AF+HF， 即运动的时间值等于折线AF+FH的长度值． 由垂线段最短可知，折线AF+FH的长度的最小值为DP与x轴之间的垂线段AG的长． ∴AG与BD的交点为点F ∴点F的横坐标为-2， ∴y=2+4=6 ∴点F坐标为（-2，6）． 23、（1）解：如图1中 ∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC， ∴∠CAP=∠BAC=30°，CA=CB，∠ACB=60°， ∵△PCQ是等边三角形， ∴CP=CQ，∠PCQ=∠ACB=60°， ∴∠ACP=∠BCQ， ∴△ACP≌△BCQ， ∴∠CBQ=∠CAP=30°． （2）证明：如图2中，将△ADC绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，连接DQ． ∵△ACD≌△ABQ， ∴AQ=AD，CD=BQ， ∵∠DAQ=60°， ∴△ADQ是等边三角形， ∴AD=DQ， ∴DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形（图中△BDQ）． （3）如图3中，作PE⊥AB于E，CF⊥AB于F交AH于G． ∵PE=PA， ∴PA+2PC=2（PA+PC）=2（PE+PC）， 根据垂线段最短可知，当E与F重合，P与G重合时，PA+2PC的值最小，最小值为2CF． 由（1）可知△ACP≌△BCQ，可得BQ=PA， ∴PA=BQ=AG=CG=y,FG=y, ∴x=2（y+y）， ∴y=x. 24、（1）证明：∵四边形ABCD是矩形． ∴OD=OB=OC=OA， ∵△EDC和△ODC关于CD对称， ∴DE=DO，CE=CO， ∴DE=EC=CO=OD， ∴四边形CODE是菱形． （2）①设AE交CD于K． ∵四边形CODE是菱形， ∴DE∥AC，DE=OC=OA， ∴== ∵AB=CD=6， ∴DK=2，CK=4， 在Rt△ADK中，AK===3， ∴sin∠DAE==， ②作PF⊥AD于F．易知PF=AP•sin∠DAE=AP， ∵点Q的运动时间t=+=OP+AP=OP+PF， ∴当O、P、F共线时，OP+PF的值最小，此时OF是△ACD的中位线， ∴OF=CD=3．AF=AD=，PF=DK=1， ∴AP==， ∴当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，AP的长为cm,点Q走完全程所需的时间为3s. 25、解：（1）过点C作射线CE，使∠BCE=30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，如图①， 在Rt△DFC中，∠DCF=30°， ∴DF=DC， ∵2AD+DC=2（AD+DC）=2（AD+DF）， ∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长， 此时，∠B=∠ADB=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AD=BD=AB=2， 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=2， ∴BC=4， ∴DC=BC-BD=4-2=2， ∴2AD+DC=2×2+2=6， ∴2AD+DC的最小值为6． （2）如图，在CB上取一点F，使得CF=，连接PF，AF． ∵∠DCE=90°，DE=4，DP=PE， ∴PC=DE=2， ∵=，=， ∴=， ∵∠PCF=∠BCP， ∴△PCF∽△BCP， ∴==， ∴PF=PB， ∴PA+PB=PA+PF， ∵PA+PF≥AF，AF===， ∴PA+PB≥， ∴PA+PB的最小值为． 26、解：（1）∵C（0，3）， ∴OC=3， ∵4CN=5ON， ∴ON=， ∵∠OAN=∠NCM， ∴△AON∽△COB， ∴=，即=，解得OA=1， ∴A（-1，0）， 设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4）， 把C（0，3）代入得a•1•（-4）=3，解得a=-， ∴抛物线解析式为y=-（x+1）（x-4）=-x2+x+3； （2）设直线BC的解析式为y=mx+n, 把C（0，3），B（4，0）代入得，解得， ∴直线BC的解析式为y=-x+3， 作DQ∥y轴交BC于Q，如图1，设D（x,-x2+x+3），则Q（x,-x+3）， DQ=-x2+x+3-（-x+3）=-x2+3x, ∴S△BCD=S△CDQ+S△BDQ=•4•（-x2+3x）=-x2+6x, ∵S△BCD=S△ABC， ∴-x2+6x=××（4+1）×3， 整理得x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3， ∴D点坐标为（1，）或（3，3）； （3）作CG∥x轴交抛物线于G点，作FH⊥CG于H，如图， ∵∠HCF=∠CBO， ∴sin∠HCF==sin∠CBO=， ∴CF=FH， ∴点P沿着线段FC以每秒个单位的速度运动到C后停止时，相当于点P沿着线段FH以每秒1个单位的速度运动到H后停止， ∴当H、F、E共线时，点P在整个运动过程中用时最少，此时EH=3， ∴最少时间为3秒，此时点F的坐标为（2，）． 27、解：（1）由已知可求A（-2，0），B（4，0），C（0，），D（1，3）， ∵PQ⊥BD，QF⊥x轴， ∴∠PQG=∠DBO， 在Rt△DBE中，∠DBE=60°， ∴∠PQG=60°， ∴GP=PQ，QG=2PQ， ∴△PQG周长=PQ+PQ+2PQ=3PQ+PQ=（3+）PQ， ∴当PQ最大时，△PQG周长最大； 设Q（m,-m2+m+）， ∵BD的直线解析式为y=-x+4， ∴PQ的直线解析式为y=x-m2+m+， ∴P（m2-m+1，-m2+m+3）， ∴PQ=（-m2+5m-4）， ∴当m=时，PQ有最大值 ∴F（，0），G（，）， ∴FG=， 过点C作与x轴为60°的直线，则该直线解析式为y=x+， 过点G作该直线的垂线与y轴交于点M，与该直线交于点T， ∵∠TCM=30°， ∴TM=CM， ∴FG+GM+MC=FG+GM+TM=FG+TG， ∴FG+GM+MC的最小值为FG+TG； 直线GM的解析式为y=-x+， ∴T（-，）， ∴GT=， ∴FG+TG=+=， ∴FG+GM+MC的最小值为； （2）∵M（0，）， ∴M'（0，2）， ∵tan∠AM'O=， ∴∠AM'O=∠M''=30°， ①当∠α=30°时，∠M''=∠M''OI=30°， 此时A'M''∥OM'，I不存在；     ②当∠α=60°时，∠M''=∠M''OI=30°， 如图1：过点M''作x轴垂线M''S， ∵∠OA'A=60°，OA=OA'， ∴∠M''AS=60°，AA'=2， ∵AM'=A'M''=4， ∴M''A=2， ∴AS=1，M''S=， ∴M''（-3，）； ③当∠α=240°时，∠M''=∠M''OI=30°， 如图2：过点M''作x轴垂线M''R， ∵∠IOM''=120°， ∴∠ROM''=30°， ∵OM'=OM''=2， ∴RM''=，OR=3， ∴M''（3，-）； ④当∠α=150°时，∠M''=∠M''OI=30°， 如图3：过点M''作M''G⊥x轴交于点G， 在△OGM''中，M''O=2，∠GOM''=60°， ∴OG=，GM''=3， ∴M''（-，-3）； ⑤当∠α=300°时，∠M''=∠M''OI=30°， 如图4：过点M''作M''H⊥x轴交于点H， 在△OHM''中，M''O=2，∠M''OH=60°， ∴M''H=3，OH= ∴M''（，3）； 综上所述：满足条件的M''点为（-3，）或（3，-）或（，3）或（-，-3）． 学科网（北京）股份有限公司 $