精品解析：2026年福建省福建省南平市新光学校等校中考二模九年级数学试卷

数 学 本试卷共6页，满分150分． 注意事项： 1.答题前，考生务必在试卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案写在答题卡相应位置上． 3.作图可先使用2B铅笔画出，确定后用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. 0.213 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数，根据无限不循环小数叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解：在，，0.213，中，无理数是； 故选A． 2. 方斗杯是明代嘉靖时期流行的杯形之一，造型别致．如图1，中国国家博物馆藏有一例黄地绿彩云龙纹方斗杯，图2为其示意图，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图进行求解即可． 【详解】解：它的主视图是． 3. 二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，2﹣x≥0， 解得x≤2． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 4. 一木工有四根长分别为30厘米、50厘米、60厘米、90厘米的木条，要选其中三根木条钉成一个三角木架，木工的选法有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，即可得出答案． 【详解】解：①选30厘米、50厘米、60厘米， ∵， ∴选30厘米、50厘米、60厘米能钉成一个三角木架，符合题意； ②选30厘米、50厘米、90厘米， ∵， ∴选30厘米、50厘米、90厘米不能钉成一个三角木架，不符合题意； ③选30厘米、60厘米、90厘米， ∵， ∴选30厘米、60厘米、90厘米不能钉成一个三角木架，不符合题意； ④选50厘米、60厘米、90厘米， ∵， ∴选50厘米、60厘米、90厘米能钉成一个三角木架，符合题意； 综上所述，木工的选法有2种． 5. 将一把直尺按如图所示叠放在一块三角形木板上，直尺的一边经过三角形的顶点，并与交于点，直尺的另一边分别交，于点，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质，得的度数，由，利用三角形外角的性质，即可计算出的度数． 【详解】由题可得， ， ， ， ． 6. 《九章算术》中记载了一道题，大意是：兔子和狗在同一起点，兔子先出发100步，然后狗出发，狗跑了250步后，距离兔子还有30步，问：如果狗和兔子都不停的话，狗再跑多少步可以追到兔子？若设狗再跑x步可以追到兔子，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列方程，审清题意、找到等量关系成为解题的关键． 根据题意可得狗与兔子的速度比为，设狗再跑x步可追上兔子，此时兔子跑的步数为步，据此列出方程即可解答． 【详解】解：根据题意列方程为，即． 故选A． 7. 已知关于x的一元二次方程，其中a在数轴上的对应点如图所示，则该方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【详解】解：由数轴得，， ∵一元二次方程为， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 8. 2025年11月9日，第十五届全国运动会正式在广州开幕．运动会后某校兴趣小组统计了九年级三个班级所有同学在运动会期间的平均观看时间，结果如下表： 班级 1班 2班 3班 运动会期间平均观看时间 4 2 3 并计算出这三个班级在运动会期间平均观看时间为，则1班、2班和3班的学生人数可能分别为（ ） A. 40人、40人、40人 B. 44人、36人、40人 C. 45人、35人、40人 D. 34人、46人、40人 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数的定义求解即可． 【详解】解：观察A，B，C，D四个选项，可以发现总人数都是120人， ∴3个班级的平均人数为40人，我们将人数看成权，对于选项A，权相等，平均观看时间为，不符合题意； ∵平均观看时间小于， ∴2班的权重应该比1班的大， 从4个选项来看，只有D符合． 9. 如图，的内接四边形的对角线经过圆心O，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据为的直径，得出，根据已知可得，进而根据 同弧所对的圆周角相等，即可求解。 【详解】∵为的直径， ∴． ∵， ∴． ∵与所对的弧均为， ∴． 10. 已知抛物线与x轴交于，两点，且点，都在抛物线上，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 无论a为何值， D. 无论a为何值， 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质判断即可 【详解】解：∵已知抛物线与x轴交于，两点， 根据抛物线与x轴交点的横坐标，得出抛物线的对称轴， ∴抛物线对称轴是直线， ∴点D是抛物线的顶点， ∵不确定a大于还是小于0，根据点D横坐标与抛物线的对称轴，判断点D为顶点；a的大小不确定，需分类讨论． ∴抛物线开口方向不确定，是这个二次函数的最值，但不确定是最大值还是最小值， ∴和的大小关系不能确定，故C，D选项错误； 由于是这个二次函数的最值，只要C不是顶点，即， ，都有， 当时，开口方向仍有两种可能， ∴和的大小关系不能确定，故A选项错误； 当时，抛物线开口向下，是这个二次函数的最大值，故，B选项正确． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行，其中无人机智能作战群的精准飞行成为亮点之一．若无人机在飞行过程中，上升8米记作米，那么下降10米记作______米． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，上升记为正数，下降与上升是相反意义的量，因此下降记为负数，即可得到结果． 【详解】解：上升米记作米， 下降米记作米． 12. 不等式2x＋3＞1的解集为______． 【答案】x＞-1 【解析】 【分析】根据不等式的解法即可． 【详解】解：∵2x＋3＞1 移项得：2x＞-2 化系数为1得：x＞-1 故答案为：x＞-1． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，属于基础题，解题的关键是熟知一元一次不等式的基本解法． 13. 为加强对学生的法治教育，弘扬法治精神，维护宪法权威，某校开展了“宪法宣传周”系列教育活动．活动结束后，进行了“法治知识”测评，下面是随机抽取的6名学生的测试成绩（分）统计图，则这6名学生成绩的中位数为______分． 【答案】90 【解析】 【分析】从折线统计图中提取6名学生的成绩数据．取排序后第3和第4个数据，计算它们的平均数，该平均数就是中位数． 【详解】解：将这6名学生的测试成绩（分）按照从小到大的顺序排列为80，85，90，90，95，100，第3个数和第4个数均为90，故中位数为（分）． 14. 如图，已知四边形是菱形，连接，过点分别作于点于点，连接，若，则菱形的面积为_____． 【答案】80 【解析】 【分析】连接，证明四边形是矩形，得到，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 15. 如图，已知矩形的顶点均在反比例函数的图象上，其中顶点A，B在第一象限（点B在点A右侧），顶点C，D在第三象限（点C在点D右侧），若点A的坐标为，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由矩形及反比例函数的轴对称性可得，A，B两点关于直线对称， ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为． 16. 在物理学中，速度具有大小和方向．如图1，点O受到两个速度，的影响，其大小分别用线段的长度表示，其方向分别用画有箭头的有向线段表示，以线段为邻边作平行四边形，则对角线的长度和方向表示与的合速度v（即实际速度）的大小和方向，这种求与合速度v的方法称为平行四边形法则．如图2，若小河的水流速度为，方向为正东，小船在静水中的航行速度为，两个速度的方向所成的角为，且，小船的实际速度为．根据平行四边形法则，下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号） ①若，不变，变大，则小船的实际速度v变大； ②； ③若小船沿正北方向行进，则． 【答案】①③ 【解析】 【分析】①当，不变，变大，即线段的长度变大为的长度，则小船的实际速度v的大小从的长度变大为的长度；当或360时，与在同一方向上，此时，当时，与在相反方向上，此时，其余情况时，；③如若小船沿正北方向行进，此时． 【详解】解：①如图①，当，不变，变大，即线段的长度变大为的长度，则小船的实际速度v的大小从的长度变大为的长度，故①正确； ②∵， ∴当或时，与在同一方向上，此时， 当时，与在相反方向上，此时， 其余情况时，， 综上所述，，故②不正确； ③如图②，若小船沿正北方向行进，此时， 则，故③正确；综上所述，①③正确． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，绝对值，负整式指数幂，然后计算即可得答案． 【详解】 ． 【点睛】本小题考查二次根式的化简、绝对值的意义、负指数幂等基础知识，熟练掌握运算法则是解题关键． 18. 如图，在中，点D，E分别在边上，连接相交于点O，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】先推导出，再证明，则，即可解答． 【详解】略 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】根据解分式方程的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】解：方程两边同乘，得 ， 去括号，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 20. 如图，将绕点B顺时针旋转得到，其中点D与点A是对应点，点E与点C是对应点，且点D恰好落在的延长线上，点E恰好落在的延长线上． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：由旋转的性质，得，，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）4 【解析】 【分析】（1）由旋转性质得：，，对应角相等；由等腰三角形性质推出：；结合外角性质、，推出；由等角对等边得，证明是等腰三角形． （2）由旋转性质和三角形内角和，证得，结合公共角，推出；由相似三角形周长比等于相似比，得；设，则，；利用列方程，解得，得；由旋转性质，得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由旋转的性质，得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴． 21. 如图，已知和射线，，． （1）在射线上求作点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的作图条件下，若，求证：． 【答案】（1） 解：如图①，点E即为所求作； （2） 证明：如图②，过点B作交的延长线于点F， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 连接交于点H， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴即， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）延长，作出，与的交点即为点E； （2）过点B作交的延长线于点F，推导出为等腰直角三角形，得到，，连接交于点H，推导出垂直平分，得到，继而推导出，得到，则，得到，可推导出，即可解答． 【小问1详解】 解：如图①， 理由如下：∵，， ∴； 【小问2详解】 略 22. 某超市在“五一劳动节”期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸球抽奖机会，摸球规则：不透明的奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黑球和2个白球，顾客不放回地随机进行两次摸球，且每次只摸出1个球，摸球抽奖活动分别设置一、二、三等奖． （1）某购物满300元的顾客参与抽奖，求第一次摸到黑球的概率； （2）请你设置摸球获奖（一、二、三等奖）的规则，使得获一等奖的概率小于获二等奖的概率，获二等奖的概率小于获三等奖的概率． 【答案】（1） （2）示例规则：若两次摸出1个红球和1个黑球则获一等奖，若两次摸出1个红球和1个白球则获二等奖，其余情况获三等奖，规则不唯一，满足概率要求即可。 【解析】 【分析】（1）根据概率公式计算即可 （2）先计算不同结果的概率，再按照题目要求的概率大小关系设计兑奖方案 【小问1详解】 解：不透明的奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黑球和2个白球，共4个球， 第一次摸到黑球的概率是； 【小问2详解】 解：列表： 红 黑 白1 白2 红 红，黑 红，白1 红，白2 黑 黑，红 黑，白1 黑，白2 白1 白1，红 白1，黑 白1，白2 白2 白2，红 白2，黑 白2，白1 共有12种等可能的情况，其中两次摸出1个红球和1个黑球的有2种，两次摸出1个红球和1个白球的有4种，两次摸出1个黑球和1个白球的有4种，两次都摸出白球的有2种， ∴两次摸出1个红球和1个黑球的概率是， 两次摸出1个红球和1个白球的概率是， 其余情况的概率是， 设计方案：若两次摸出1个红球和1个黑球则获一等奖，若两次摸出1个红球和1个白球则获二等奖，其余情况获三等奖， 23. 二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离为4． （1）求a，b应满足的数量关系； （2）已知二次函数的图象上任意两点，满足：若，则总有． ①求该二次函数的表达式； ②试说明：对于该二次函数图象上两点，（其中且），都有． 【答案】（1） （2）①； ②∵点，均在二次函数的图象上，且纵坐标相同， ∴由二次函数的对称性得这两点关于对称轴直线对称，则， ∴， ∴， ∵点在图象上， ∴， ∴， 等式左边 ∴． 【解析】 【分析】（1）先确定轴下方的抛物线上必有2个点到x轴的距离为，那么轴上方的抛物线上只有1个点到x轴的距离为，令，则，即，那么该方程有2个相等的实数根，据此即可求解； （2）①先确定出抛物线的对称轴为直线，则，那么，再结合即可求解； ②根据二次函数的对称性可得，则，由点在图象上，得到，故，再代入证明即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∵ ∴，抛物线开口向下， ∴抛物线与轴有2个交点， ∴轴下方的抛物线上必有2个点到x轴的距离为， ∵二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离为4 ∴轴上方的抛物线上只有1个点到x轴的距离为， 令，则，即 故， ∴； 【小问2详解】 解：①若，则总有 ∴都大于2或者都小于2时，， 而 说明函数在范围内随着的增大而减小，在的范围内，随着的增大而增大，这样才能保证 ∴对称轴为直线， ∴，则， 而， ∴， 又 ∴解得， ∴抛物线表达式为； ②略 24. 阅读材料，回答问题． 主题 “错”中取义——“非法约分”的规律探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生，他在查看约分的作业本时，发现不可思议却又约分正确的练习题：，，小明称之为“非法约分”，据此，他提出猜想：若一个分数“约去”分子和分母中相同的数字，则得到的数与原分数值相等． 分析问题 问题. 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例． 解决问题 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情，并举例验证猜想，为了研究分子、分母均为两位数且“非法约分”正确的一般结构，进而推广到其他分数的情形，规定：分子、分母均为两位数且“非法约分”正确的分数的分子、分母分别为，，且该分数的“非法约分”表示为：． 提出并证明了以下命题． 命题：若分数，则必有或时，有序数对有且仅有对． 证明：依题意知，，整理，得…（*）， 当时，，显然成立； 当时，，所以矛盾，舍去； 当时，，所以矛盾，舍去； 当时，因为，所以不是9的倍数，由（*）得为的倍数，所以，或， 若，则由（*）得，，由得，不是整数，舍去； 若，则由（*）得， ① ； 若，则由（*）得， ② ． 综上所述，应满足或时，有序数对有且仅有对． 故命题成立． 推广延伸 问题.若把的分子、分母中相同数字“拉长”至个得到分数，则它的“非法约分”是否正确？证明你的结论． （1）解决问题； （2）请把①②所缺的证明过程补充完整； （3）解决问题． 【答案】（1） 解：小明的猜想不正确，理由如下： 反例：，“非法约分”后为，而， ∴小明的猜想不正确； （2） 解：①， 由是整数知，或， 所以或， 故为或； ②， 由是整数知，，，，， 因为，， 所以或， 所以或， 故为或； （3） 解：正确，证明如下： ， 而按“非法约分”规则，， 故的“非法约分”正确． 【解析】 【分析】（）举反例即可判断求解； （）仿照前面的推论补充证明过程即可； （）求出化简后的结果，再求出“非法约分”的结果即可求证； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 如图，在中，，分别是半径及其延长线上的点，交于点，且，连接． （1）如图1，求证：为的切线； （2）如图2，是经过点的弦． ①求证：； ②连接交于点，连接．求证：． 【答案】（1） 证明：如下图所示，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又为的半径， 为的切线； （2） ①证明：如下图所示，延长交于点，连接，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②证明：如下图所示，由（1）知， ， 在中， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）连接，则，由可得，根据可证，根据相似三角形的性质可得，从而可证为的切线； （2）①延长交于点，连接，，由勾股定理得：，等量代换可得，可证，根据相似三角形的性质可证结论成立； ②由（1）知，由三角形内角和定理可得，从而可得，等量代换可证结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数 学 本试卷共6页，满分150分． 注意事项： 1.答题前，考生务必在试卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案写在答题卡相应位置上． 3.作图可先使用2B铅笔画出，确定后用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. 0.213 D. 2. 方斗杯是明代嘉靖时期流行的杯形之一，造型别致．如图1，中国国家博物馆藏有一例黄地绿彩云龙纹方斗杯，图2为其示意图，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 一木工有四根长分别为30厘米、50厘米、60厘米、90厘米的木条，要选其中三根木条钉成一个三角木架，木工的选法有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 5. 将一把直尺按如图所示叠放在一块三角形木板上，直尺的一边经过三角形的顶点，并与交于点，直尺的另一边分别交，于点，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中记载了一道题，大意是：兔子和狗在同一起点，兔子先出发100步，然后狗出发，狗跑了250步后，距离兔子还有30步，问：如果狗和兔子都不停的话，狗再跑多少步可以追到兔子？若设狗再跑x步可以追到兔子，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的一元二次方程，其中a在数轴上的对应点如图所示，则该方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 8. 2025年11月9日，第十五届全国运动会正式在广州开幕．运动会后某校兴趣小组统计了九年级三个班级所有同学在运动会期间的平均观看时间，结果如下表： 班级 1班 2班 3班 运动会期间平均观看时间 4 2 3 并计算出这三个班级在运动会期间平均观看时间为，则1班、2班和3班的学生人数可能分别为（ ） A. 40人、40人、40人 B. 44人、36人、40人 C. 45人、35人、40人 D. 34人、46人、40人 9. 如图，的内接四边形的对角线经过圆心O，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线与x轴交于，两点，且点，都在抛物线上，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 无论a为何值， D. 无论a为何值， 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行，其中无人机智能作战群的精准飞行成为亮点之一．若无人机在飞行过程中，上升8米记作米，那么下降10米记作______米． 12. 不等式2x＋3＞1的解集为______． 13. 为加强对学生的法治教育，弘扬法治精神，维护宪法权威，某校开展了“宪法宣传周”系列教育活动．活动结束后，进行了“法治知识”测评，下面是随机抽取的6名学生的测试成绩（分）统计图，则这6名学生成绩的中位数为______分． 14. 如图，已知四边形是菱形，连接，过点分别作于点于点，连接，若，则菱形的面积为_____． 15. 如图，已知矩形的顶点均在反比例函数的图象上，其中顶点A，B在第一象限（点B在点A右侧），顶点C，D在第三象限（点C在点D右侧），若点A的坐标为，则点B的坐标为______． 16. 在物理学中，速度具有大小和方向．如图1，点O受到两个速度，的影响，其大小分别用线段的长度表示，其方向分别用画有箭头的有向线段表示，以线段为邻边作平行四边形，则对角线的长度和方向表示与的合速度v（即实际速度）的大小和方向，这种求与合速度v的方法称为平行四边形法则．如图2，若小河的水流速度为，方向为正东，小船在静水中的航行速度为，两个速度的方向所成的角为，且，小船的实际速度为．根据平行四边形法则，下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号） ①若，不变，变大，则小船的实际速度v变大； ②； ③若小船沿正北方向行进，则． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 如图，在中，点D，E分别在边上，连接相交于点O，，．求证：． 19. 解方程：． 20. 如图，将绕点B顺时针旋转得到，其中点D与点A是对应点，点E与点C是对应点，且点D恰好落在的延长线上，点E恰好落在的延长线上． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的长． 21. 如图，已知和射线，，． （1）在射线上求作点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的作图条件下，若，求证：． 22. 某超市在“五一劳动节”期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸球抽奖机会，摸球规则：不透明的奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黑球和2个白球，顾客不放回地随机进行两次摸球，且每次只摸出1个球，摸球抽奖活动分别设置一、二、三等奖． （1）某购物满300元的顾客参与抽奖，求第一次摸到黑球的概率； （2）请你设置摸球获奖（一、二、三等奖）的规则，使得获一等奖的概率小于获二等奖的概率，获二等奖的概率小于获三等奖的概率． 23. 二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离为4． （1）求a，b应满足的数量关系； （2）已知二次函数的图象上任意两点，满足：若，则总有． ①求该二次函数的表达式； ②试说明：对于该二次函数图象上两点，（其中且），都有． 24. 阅读材料，回答问题． 主题 “错”中取义——“非法约分”的规律探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生，他在查看约分的作业本时，发现不可思议却又约分正确的练习题：，，小明称之为“非法约分”，据此，他提出猜想：若一个分数“约去”分子和分母中相同的数字，则得到的数与原分数值相等． 分析问题 问题. 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例． 解决问题 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情，并举例验证猜想，为了研究分子、分母均为两位数且“非法约分”正确的一般结构，进而推广到其他分数的情形，规定：分子、分母均为两位数且“非法约分”正确的分数的分子、分母分别为，，且该分数的“非法约分”表示为：． 提出并证明了以下命题． 命题：若分数，则必有或时，有序数对有且仅有对． 证明：依题意知，，整理，得…（*）， 当时，，显然成立； 当时，，所以矛盾，舍去； 当时，，所以矛盾，舍去； 当时，因为，所以不是9的倍数，由（*）得为的倍数，所以，或， 若，则由（*）得，，由得，不是整数，舍去； 若，则由（*）得， ① ； 若，则由（*）得， ② ． 综上所述，应满足或时，有序数对有且仅有对． 故命题成立． 推广延伸 问题.若把的分子、分母中相同数字“拉长”至个得到分数，则它的“非法约分”是否正确？证明你的结论． （1）解决问题； （2）请把①②所缺的证明过程补充完整； （3）解决问题． 25. 如图，在中，，分别是半径及其延长线上的点，交于点，且，连接． （1）如图1，求证：为的切线； （2）如图2，是经过点的弦． ①求证：； ②连接交于点，连接．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $