1.1集合 课件-2027届高三数学一轮复习

第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 1.1 集合 2027高考数学一轮总复习 1 内容索引 必备知识　回顾 课时作业 关键能力　提升 考试要求 三年考情 1.了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系,理解集合之间包含与相等的含义. 2.能求两个集合的并集、交集与补集. 3.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题,能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算. 2023 2024 2025 新课标Ⅰ卷T1 新课标Ⅰ卷T1 全国一卷T2 新课标Ⅱ卷T2   全国二卷T3 必备知识　回顾 1.集合与元素 (1)集合中元素的三个特性: 、 、 . (2)元素与集合的关系是 或 ,用符号 或 表示. (3)集合的表示法: 、 、 . (4)常见数集的记法 知识梳理 集合 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N+) Z Q R 确定性 互异性 无序性 属于 不属于 ∈ ∉ 列举法 描述法 图示法 必备知识 回顾 返回 2.集合的基本关系 (1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中 都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集,记作 (或B⊇A). (2)真子集:如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且 ,就称集合A是集合B的真子集,记作 (或B⫌A). (3)相等:若A⊆B,且 ,则A=B. 　 1.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 2.任何集合都是自身的子集. 任意一个元素 A⊆B x∉A A⫋B B⊆A 必备知识 回顾 返回 3.集合的基本运算 运算 表示 集合语言 图形语言 记法 并集 交集 补集 {x|x∈A,或x∈B} A∪B {x|x∈A,且x∈B} A∩B {x|x∈U,且x∉A} ∁UA 必备知识 回顾 返回 知识拓展 1.若集合A中有n(n≥1)个元素,则集合A有2n个子集,(2n-1)个真子集,(2n-1)个非空子集,(2n-2)个非空真子集. 2.若A⊆B,B⊆C,则A⊆C. 3.A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A. 4.∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). 5.card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B). 必备知识 回顾 返回 1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)集合{x∈N|x3=x}用列举法表示为{-1,0,1}. (　 　) (2){x|y=}={y|y=}={(x,y)|y=}. (　 　) (3)若1∈{x2,x},则x=-1或x=1.(　 　) (4)对任意集合A,B,都有(A∩B)⊆(A∪B).(　 　) 基础检测 × × × √ 必备知识 回顾 返回 2.(人教A版必修第一册P14习题1.3T6改编)已知全集U=A∪B={x∈N|0≤x≤10},A∩(∁UB)={1,3,5,7},则集合B= . 解析:因为U=A∪B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A∩ (∁UB) ={1,3, 5,7},所以∁UB⊆A,所以∁UB={1,3,5,7},故B=∁U(∁UB)={0,2,4, 6,8,9,10}. {0,2,4,6,8,9,10} 必备知识 回顾 返回 3.(人教A版必修第一册P35复习参考题1T9改编)已知集合A={1,3,a2},B={1,a+2},若A∪B=A,则实数a= . 解析:因为A∪B=A,所以B⊆A,所以a+2∈A.当a+2=3,即a=1时,A={1,3,1},不满足集合中元素的互异性,不符合题意;当a+2=a2时,a=-1(舍去)或a=2,此时A={1,3,4},B={1,4},符合题意.综上,实数a=2. 2 必备知识 回顾 返回 4.(人教A版必修第一册P9习题1.2T5(2)改编)已知集合A={x|0<x<a},B={x|0<x<2},若B⊆A,则实数a的取值范围为 . 解析:因为B⊆A,所以利用数轴分析法(如图),可知a≥2. [2,+∞) 必备知识 回顾 返回 关键能力　提升 考点1 集合的含义与表示 【例1】(1)(人教B版必修第一册P9练习BT4改编)已知集合A={2,|a+1|,a+3},且1∈A,则实数a的值为 . 【解析】由集合A={2,|a+1|,a+3},且1∈A,得|a+1|=1或a+3=1,解得a=0或a=-2.当a=0时,A={2,1,3},符合题意;当a=-2时,|a+1|=1且a+3=1,与集合中元素的互异性矛盾,不符合题意.故实数a的值为0. 0 关键能力 提升 返回 (2)已知a,b∈R,若={a2,a+b,0},则a2 027+b2 027的值为 . 【解析】由集合相等可知0∈,且a≠0,则=0,故b=0,a2=1,解得a=1或a=-1.根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,故a=-1,此时 a2027+b2 027=(-1)2 027+02 027=-1. -1 关键能力 提升 返回 解决与集合的基本概念有关问题的关键 (1)确定构成集合的元素是点、数,还是其他类型. (2)确定元素的特征属性. (3)根据元素的特征(满足的限制条件)构造关系式解决相应问题. 注意:集合中元素的互异性容易被忽略,求解问题时要特别注意. 规律总结 关键能力 提升 返回 【对点训练1(1)已知集合A={0,1,2},则集合B={(x,y)∣x≤y,x∈A,y∈A}中元素的个数是 (　 　) A.1　　　 B.3 C.6　　　 D.9 解析:由题可得B={(0,0),(0,1),(0,2),(1,1),(1,2),(2,2)},则集合B含有6个元素.故选C. C 关键能力 提升 返回 (2)(多选)(人教A版必修第一册P9习题1.2T1改编)下列结论错误的是(　 　) A.{y|y=x2+1,x∈R}={x|x=t2+1,t∈R} B.{y|y=x2+1,x∈R}={(x,y)|y=x2+1,x∈R} C.⌀={0} D.集合{a,b}的真子集为{a},{b} BCD 关键能力 提升 返回 解析:对于A,B,{y|y=x2+1,x∈R}=[1,+∞), {x|x=t2+1, t∈R}=[1,+∞), {(x,y)|y=x2+1,x∈R}表示函数y=x2+1的图象上的点的集合,故A正确,B错误;对于C,⌀⫋{0},故C错误;对于D,集合{a,b}的真子集为⌀,{a},{b}(易错:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集),故D错误.故选BCD. 关键能力 提升 返回 考点2 集合的基本关系 【例2】　(1)已知集合A=,B={x|-1≤x≤1},则(　 　) A.A=B B.A⊆B C.B⊆A D.A=⌀ 【解析】　因为A=={x|-1<x≤1}≠⌀,B={x|-1≤x≤1},所以A⊆B.故选B. B 关键能力 提升 返回 (2)已知集合A={x|1<x<2},B={x|1<x<m},若B⊆A,则实数m的取值范围是(　 　) A.(2,+∞) B.(1,2] C.(-∞,2] D.[2,+∞) 【解析】当B=⌀时,m≤1;当B≠⌀时,有解得1<m≤2.综上所述,实数m的取值范围是(-∞,2].故选C. C 关键能力 提升 返回 1.判断集合间关系的常用方法 规律总结 关键能力 提升 返回 2.已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析问题及对参数进行讨论.求得参数后,一定要把端点值代入进行验证,否则易增解或漏解. 注意:若B⊆A,则应分B=⌀和B≠⌀两种情况讨论. 关键能力 提升 返回 【对点训练2】　(1)(人教B版必修第一册P14练习BT2改编)集合M={x|x=5k-2,k∈Z},P={x|x=5n+3,n∈Z},S={x|x=10m+3,m∈Z}间的关系是 (　 　) A.M⊆P⊆S B.S=P⊆M C.S⊆P=M D.P=M⊆S 解析:任取a∈M,则a=5k1-2=5(k1-1)+3,k1∈Z,则a∈P,故M⊆P.任取b∈P,则b=5n1+3=5(n1+1)-2,n1∈Z,则b∈M,故P⊆M,则M=P.任取c∈S,则c=10m1+3=5·(2m1)+3,m1∈Z,则c∈P,故S⊆P,又8∈P,8∉S,所以S⫋P.所以S⊆P=M.故选C. C 关键能力 提升 返回 (2)已知集合A={1,2},B={x|mx-1=0},若A∩B=B,则符合条件的实数m的值组成的集合为(　 　) A. C. 解析:当m=0时,B=⌀,A∩B=B;当m≠0时,B=,由A∩B=B,得B⊆A,则=2,解得m=1或m=,所以实数m的值组成的集合为.故选C. C 关键能力 提升 返回 考点3 集合的运算 命题角度1　集合的基本运算 【例3】　(1)(2025·天津卷)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3}, B= {2,3,5},则∁U(A∪B)= (　 　) A.{1,2,4,5} B.{1,3,4} C.{1,2,3,5} D.{4} 【解析】　由A={1,3},B={2,3,5},得A∪B={1,2,3,5}.集合U={1,2,3, 4,5},故∁U(A∪B)={4}.故选D. D 关键能力 提升 返回 (2)(2025·河南许昌三模)已知集合A={x|x2-10x≤0},B=,则A∩B= (　 　) A.[-1,10] B.(0,1] C.(-∞,0) D.[1,10] 【解析】　由A={x|x2-10x≤0},得A={x|0≤x≤10}.由≤1,得≤1,即≤0,解得x≥1或x<0,所以B={x|x≥1或x<0},故A∩B={x|1≤x≤10}.故选D. D 关键能力 提升 返回 1.进行集合运算时,首先看集合能否化简,能化简的先化简,再研究其关系并进行运算. 2.对于集合的交、并、补运算,如果集合中的元素是离散的,那么可用Venn图表示;如果集合是数集且其中的元素是连续的,那么可用数轴表示,此时要注意端点值的取舍情况. 规律总结 关键能力 提升 返回 命题角度2　根据集合的运算求参数 【例4】　已知集合M={x|y=ln(m-x)},N={x|x2-3x+2≤0},若M∩N=⌀,则m的最大值为(　 　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 【解析】　M={x|y=ln(m-x)}={x|x<m},N={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2},数轴分析可知(如图), 因为M∩N=⌀,所以m≤1,则m的最大值为1.故选C. C 关键能力 提升 返回 利用集合的运算求参数的方法 (1)与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值的取舍. (2)若集合中的元素能一一列举,则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解. 注意:在求出参数后,注意对结果的验证(需满足集合中元素的互异性). 规律总结 关键能力 提升 返回 【对点训练3】　(1)(2025·全国一卷)已知集合U={x|x是小于9的正整数},A={1,3,5},则∁UA中元素的个数为(　 　) A.0 B.3 C.5 D.8 解析:因为U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5},所以∁UA={2,4,6,7,8},∁UA中元素的个数为5.故选C. C 关键能力 提升 返回 (2)已知集合A={x|x2+mx=0},B={1}.若A∪B={0,1},则m的值为(　 　) A.0 B.1 C.-1 D.0或-1 解析:由x2+mx=0可得x=0或x=-m,则当m≠0时,A={0,-m};当m=0时,A={0}.因为B={1},且A∪B={0,1},所以m=0或m=-1.故选D. D 关键能力 提升 返回 (3)(2025·浙江绍兴三模)设集合M={x|x2-x<0},N={x|-2<x<2},则(　 　) A.M∩N=⌀ B.M∩N=M C.M∪N=M D.M∪N=R 解析:由x2-x<0,得x(x-1)<0,解得0<x<1,则M={x|0<x<1},N={x|-2 <x<2},M∩N=M,M∪N=N.故选B. B 关键能力 提升 返回 考点4 集合的新定义问题 【例5】　(多选)给定n∈N*,若集合P⊆{1,2,3,…,n},且存在a,b,c,d∈P,满足a<b≤c<d,b-a=d-c,则称P为“广义等差集合”.记P中元素的个数为|P|,则 (　 　) A.{1,2,3}是“广义等差集合” B.{1,3,4,6}是“广义等差集合” C.若P不是“广义等差集合”,则当n=8时,|P|的最大值为4 D.若P不是“广义等差集合”,且|P|的最大值为4,则n可以是13 ABC 关键能力 提升 返回 【解析】　对于A,取a=1,b=c=2,d=3,b-a=d-c=1,符合“广义等差集合”的定义,故A正确;对于B,取a=1,b=3,c=4,d=6,b-a=d-c=2,符合“广义等差集合”的定义,故B正确;对于C,当n=8时,P⊆{1,2,3,…,8},若|P|=5,设P={a1,a2,a3,a4,a5},1≤a1<a2<a3<a4<a5≤8,由题意可知a2-a1,a3-a2,a4-a3,a5-a4两两不相同,则a5-a1=(a5-a4)+(a4-a3)+(a3-a2)+(a2-a1)≥1+2+3+4=10>7矛盾,|P|>5时同理,故|P|<5,当|P|=4时,取P={1,2,4,8},满足P不是“广义等差集合”,故|P|的最大值为4,故C正确;对于D,当n=13时,取P={1,2,4,8,13},这与|P|max=4矛盾,故D错误.故选ABC. 关键能力 提升 返回 解决以集合为背景的新定义问题的关键 (1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解集合新定义问题难点的关键所在. (2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质. 规律总结 关键能力 提升 返回 【对点训练4】　(多选)已知集合S={(x,y)|x>0,y>0,x+y=6,且xy-3k≥0,k>0},则称集合S为k-分集.下列说法正确的是 (　 　) A.当k=3时,{(3,3)}是唯一的k-分集 B.对任意k>3,总存在至少一个k-分集 C.若S是2-分集,则|x-y|≥2 D.若S是1-分集,则(x-2)2+(y-4)2<24 AD 关键能力 提升 返回 解析:由x>0,y>0,x+y=6得xy≤=9,当且仅当x=y=3时等号成立,即(xy)max=9.对于A,当k=3时,S={(x,y)|x>0,y>0,x+y=6,且xy≥9},又xy≤9,所以S={(x,y)|x=y=3}={(3,3)},故A正确;对于B,当k>3时,xy≥3k>9,不符合(xy)max=9,故B错误;对于C,当k=2时,xy≥6,则|x-y|=,故C错误;对于D,当k=1时,xy≥3,又x>0,y>0,x+y=6,所以x(6-x)≥3,解得3-,(x-2)2+(y-4)2=(x-2)2+(6-x-4)2=2(x-2)2≤2×(1+)2=14+4<24,故D正确.故选AD. 关键能力 提升 返回 容斥原理 1.链接教材:(人教A版必修第一册P35复习参考题1T11)学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人? 教材深研 关键能力 提升 返回 2.上述问题的解决方法被称为容斥原理,在人教A版必修第一册P15《阅读与思考》中有详细阐释,总结如下: (1)二元容斥原理: card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B); (2)三元容斥原理: card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C). 关键能力 提升 返回 【典例】　求精中学为丰富学生们的课余生活,开展了多种多样的学生社团活动,其中心理社、动漫社和地理社最受欢迎.高一某班有35名学生参加了这三个社团,其中有19人参加了心理社,有16人参加了地理社,有15人参加了动漫社,有6人参加了心理社和地理社,有5人参加了地理社和动漫社,已知每人至少参加一个社团,没有人同时参加三个社团,则只参加了一个社团的学生有(　 　) A.16人 B.18人 C.20人 D.24人 C 关键能力 提升 返回 【解析】设心理社为A,地理社为B,动漫社为C,则card (A∪B∪C) =35,card(A∩B∩C)=0,card(A)=19,card(B)=16,card(C)=15,card(A∩B)=6,card(B∩C)=5,得card(A∪B∪C) =card(A) +card(B) +card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C),即35=19+16+15-6-5-card(A∩C),得card(A∩C)=4,则只参加一个社团的人数为19-(4+6)+16-(6+5)+15-(4+5)=20.故选C. 关键能力 提升 返回 高考真题 教材典题 1.(2025·全国二卷)已知集合A={-4,0,1,2,8}, B={x|x3=x},则A∩B=(　 　) A.{0,1,2}　　　　　　B.{1,2,8} C.{2,8} D.{0,1} 1.(人教B版必修第一册P16例1)求下列每对集合的交集: (1)A={1,-3},B={-1,-3}; (2)C={1,3,5,7},D={2,4,6,8}; (3)E=(1,3],F=[-2,2). 考教衔接 D 解析:B={x|x3=x}={0,-1,1},故A∩B={0,1}.故选D. 关键能力 提升 返回 高考真题 教材典题 2.(2023·全国乙卷理)设全集U=R,集合M={x|x<1}, N={x|-1<x<2},则{x|x≥2}= (　 　) A. ∁U(M∪N)　　　　　　 B.N∪(∁UM) C. ∁U(M∩N) D.M∪(∁UN) 2.(人教A版必修第一册P14习题1.3T4)已知集合A={x|3≤x<7},B= {x|2<x<10},求∁R(A∪B),∁R(A∩B), (∁RA)∩B,A∪(∁RB). 解析:对于A,M∪N={x|x<2},则∁U(M∪N)= {x|x≥2},故A正确;对于B,∁UM={x|x≥1},则N∪(∁UM)={x|x> -1},故B错误;对于C,M∩N={x|-1<x<1},则∁U(M∩N) ={x|x≤-1或x≥1},故C错误;对于D,∁UN={x|x≤-1或x≥2},则M∪(∁UN)={x|x<1或x≥2},故D错误.故选A. A 关键能力 提升 返回 课时作业1 1.(5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2=8,x,y∈N*},则(　 　) A.(2,3)∈A B.(1,)∈A C.(2,-2)∈A D.(2,2)∈A 解析:对于A,22+32≠8,故A错误;对于B,C,∉N*,-2∉N*,故B,C错误;对于D,2∈N*,且22+22=8,故D正确.故选D. 基础巩固 D 返回 课时作业 2.(5分)(2026·天津静海区一模)给出下列命题:①π∈R;②{1,2 024}={x|x2-2 025x+2 024=0};③⌀⊆{0};④{(1,-2)}⊆{(x,y)|y=x2-x-2}.其中真命题的个数为(　 　) A.1　 　　 B.2 C.3　 　　 D.4 D 返回 课时作业 解析:显然π∈R,⌀⊆{0}(提示:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集),故①③正确;{x|x2-2 025x+2 024=0}={x|(x-1)·(x-2 024)=0}={1,2 024},故②正确;在y=x2-x-2中,当x=1时,y=-2,即有(1,-2)∈{(x,y)|y=x2-x-2},因此{(1,-2)}⊆{(x,y)|y=x2-x-2},故④正确.综上,真命题的个数为4.故选D. 返回 课时作业 3.(5分)设集合A={x∈N|-1<x<2},则A的真子集的个数为(　 　) A.8　 　　 B.7 C.4　　 　 D.3 解析:A={x∈N|-1<x<2}={0,1},因为集合A中有2个元素,所以真子集的个数为22-1=3.故选D. D 返回 课时作业 4.(5分)已知集合A={m|m=2n-1,n∈N*,m<20},则集合A中所有元素的和为(　 　) A.100 B.99 C.120 D.119 解析:A={m|m=2n-1,n∈N*,m<20}={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19},则集合A中所有元素的和为=100.故选A. A 返回 课时作业 5.(5分)(2026·T8联考)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B=,则A∪B=(　 　) A.[3,+∞) B.(-∞,-1]∪[,+∞) C.(-∞,-1]∪[3,+∞) D.[-1,] 解析:∵A={x|x≤-1或x≥3},B={x|x≥},∴A∪B={x|x≤-1或x≥}.故选B. B 返回 课时作业 6.(5分)(2025·北京昌平区二模)已知全集U=R,集合A={x|x≥2}, B={x|1<x<3},则(∁UA)∩B= (　 　) A.(1,2] B.(1,2) C.[2,3) D.(2,3) 解析:由A={x|x≥2},U=R,得∁UA={x|x<2}.又B={x|1<x<3},所以(∁UA)∩B=(1,2).故选B. B 返回 课时作业 7.(5分)(2025·浙江金华二模)设集合P={0,1,2},Q={x|x2-4>0},则 (　 　) A.P⊆Q B.Q⊆P C.∁RP⊆Q D.Q⊆∁RP 解析:因为Q={x|x2-4>0}=(-∞,-2)∪(2,+∞),∁RP=(-∞,0)∪(0,1) ∪(1,2) ∪(2,+∞),所以Q⊆ ∁RP.故选D. D 返回 课时作业 8.(5分)(2026·江苏南京一模)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|x+a≤0}.若A⊆B,则实数a的取值范围是 (　 　) A.(-∞,2) B.(-∞,2] C.(-∞,-2) D.(-∞,-2] 解析:由x2-4≤0可得A=[-2,2],由x+a≤0可得B=(-∞,-a].又A⊆B,所以2≤-a,即a≤-2.故选D. D 返回 课时作业 9.(8分,多选)(2025·河南开封二模)已知集合A={x|-3<2x-1<3},∁RB⊆A,则 (　 　) A.-1∉B B.2∈B C.-1∈A∪B D.2∈A∩B 解析:A={x|-3<2x-1<3}={x|-1<x<2}.对于A,若-1∉B,则-1∈∁RB,则根据∁RB⊆A有-1∈A,显然矛盾,故A错误;对于B,假设2∉B,则2∈∁RB,根据∁RB⊆A有2∈A,显然矛盾,则2∈B,故B正确;对于C,由A知,-1∈B,则 -1∈A∪B,故C正确;对于D,显然2∉A,必有2∉A∩B,故D错误.故选BC. BC 返回 课时作业 10.(8分,多选)已知全集U={x||x|<4,x∈Z},集合M={-1,2,a2},N= {-1,1,2,a},P={-3,-1,2,3},若M⊆N,则 (　 　) A.a的取值有3个 B.M∩P={-1,2} C.P∪N={-3,-1,0,1,2,3} D.(∁UM)∩(∁UP)所有子集的个数为4 BCD 返回 课时作业 解析:对于A,因为M={-1,2,a2},N={-1,1,2,a},且M⊆N,所以a2=1或a2=a,且a≠±1,a≠2,解得a=0,故a的取值只有1个,故A错误;对于B,M= {-1,2,0},P={-3,-1,2,3},则M∩P={-1,2},故B正确;对于C,N= {-1,1,2,0},P∪N={-3,-1,0,1,2,3},故C正确;对于D,U ={x||x|<4, x∈Z} ={x|-4<x<4,x∈Z}={-3,-2,-1,0,1,2,3},则∁UM={-3,-2,1,3},∁UP= {-2,0,1},则(∁UM)∩(∁UP)={-2,1},则(∁UM)∩(∁UP)的子集的个数为22=4,故D正确.故选BCD. 返回 课时作业 11.(8分,多选)(2026·海南海口模拟)已知集合A={x|1<x<4},B={x|x2-(a+1)x+a<0},则下列说法正确的是 (　 　) A.若A∪B=B,则a≥4 B.若A∪B=A,则1≤a≤4 C.若B⫋A,则1<a<4 D.若A∩B=⌀,则a<1 AB 返回 课时作业 解析:B={x|x2-(a+1)x+a<0}={x|(x-a)(x-1)<0}(一元二次不等式首先考虑分解因式变形).对于A,由A∪B=B,得A⊆B(含参数的集合所在位置决定它是否可为空集).因为A={x|1<x<4}≠⌀,所以B≠⌀(则a≠1),且B={x|1<x<a}(提示:A是B的子集,那么一定有a>1),所以由图1可得(集合A,B中不等式都不含端点,所以这里可以取等号,实际求解时可代入验证),解得a≥4,故A正确. 返回 课时作业 对于B,由A∪B=A,得B⊆A(提示:B是A的子集,应考虑空集情况).若B=⌀,则a=1,满足题意;若B≠⌀,则由集合A可知B={x|1<x<a},由图2可得解得1<a≤4.综上,a应满足1≤a≤4,故B正确. 返回 课时作业 对于C,由B⫋A,且A≠⌀,结合B的分析及图2可得a=1(B=⌀时)或(B≠⌀且A≠B,即两集合右端点不能相等),解得1≤a<4,故C错误.对于D,A∩B=⌀,当B=⌀,即a=1时,满足题意;当B≠⌀时,如图3,B={x|a<x<1}时满足题意,此时a<1.综上,a应满足a≤1,故D错误.故选AB. 返回 课时作业 12.(5分)(2025·湖南长沙二模)已知集合A={-1,2},B={x|mx+1=0},若A∪B =A,则m的可能取值组成的集合为 . 解析:∵A∪B=A,∴B⊆A.当B=⌀时,m=0.当-1∈B时,m=1;当2∈B时,m= -. 返回 课时作业 13.(5分)(2025·广东揭阳三模)已知集合A={x||x-1|>1},则(∁RA)∩N* = . 解析:因为A={x||x-1|>1}={x|x<0或x>2},所以∁RA={x|0≤x≤2},故(∁RA)∩N*={1,2}. 14.(5分)(2025·湖南长沙二模)已知全集U=A∪B= {x∈N| 0≤x≤ 4}, A∩(∁UB)={1,2,3},则集合B= . 解析:∵全集U=A∪B={x∈N|0≤x≤4}={0,1,2,3,4},∴∁UB⊆A.又A∩(∁UB)={1,2,3},∴∁UB={1,2,3},∴集合B={0,4}. {1,2} {0,4} 返回 课时作业 15.(5分)含有有限个元素的数集,定义其“交替和”如下:把集合中的数按从小到大的顺序排列,然后从最大的数开始交替地减加各数,例如{4,6,9}的“交替和”是9-6+4=7,而{5}的“交替和”是5,则集合M={x∈Z| -5≤x≤4}的所有非空子集的“交替和”的总和为(　 　) A.2 048 B.2 024 C.1 024 D.512 素养提升 A 返回 课时作业 解析:由题知M={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4},将集合M的子集两两配对(A,B),使4∈A,4∉B,且B∪{4}=A,则符合条件的集合对有29个.又由题设定义有集合A与集合B的“交替和”之和为4,所以“交替和”的总和为4×29=211=2 048.故选A. 返回 课时作业 16.(6分)(2025·广东深圳二模)已知集合A={2,3,4,5,6,7}的子集中含有3个元素的子集记为A1,A2,A3,…,Ai,i∈N*.记mi为集合Ai(i=1,2,3,…,n)中的最小元素,若mi=m1+m2+m3+…+mn,则mi=(　 　) A.55 B.70 C.89 D.630 A 返回 课时作业 解析:最小元素是2的有{2,3,4},{2,3,5},{2,3,6}, {2,3,7},{2,4,5}, {2,4,6},{2,4,7},{2,5,6},{2,5,7},{2,6,7},共10个;最小元素是3的有{3,4,5},{3,4,6},{3,4,7},{3,5,6},{3,5,7},{3,6,7},共6个;最小元素是4的有{4,5,6},{4,5,7},{4,6,7},共3个;最小元素是5的有{5,6,7},共1个.故mi=2×10+3×6+4×3+5×1=55.故选A. 返回 课时作业 本课结束 $