第一章　第1课时　集合课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件覆盖集合、函数、几何等核心模块，依据高考评价体系梳理“基础与创新融合，能力与素养并进”的考查要求，通过2025年全国卷题型分布分析，明确集合运算、三角函数等高频考点权重，归纳新情境题、探究开放题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+教材衔接+思维建模”策略，如以2025年全国一卷集合补集题为例，结合Venn图法培养数学思维，通过独立性检验案例强化数据意识。特设“易错点警示”和“跨模块整合训练”，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此实现精准复习，提升备考效率。

高考命题改革及备考导向分析 2025年全国一卷、二卷数学试题延续2024年高考数学改革的整体思路，试卷坚持考查知识、能力、素养，进一步落实教考衔接，引导教学既要夯实学生的基础知识，又要重视培养学生的探索性、创新性的思维品质，很好地发挥导向作用，助推教育改革持续深入． 2 3 题型 题号 分值 2025全国一卷 2025全国二卷 单 选 题 1 5 复数乘法、复数的概念 平均数求解 2 5 集合补集、集合中元素个数 复数的四则运算 3 5 双曲线离心率 集合的交运算 4 5 正切函数图象的对称性 分式不等式的解法 5 5 分段函数、函数性质 余弦定理的应用 6 5 新情境题、向量加法、向量的模 直线与抛物线的位置关系 7 5 直线与圆的位置关系、点线距 等差数列的通项公式与前n项和公式 8 5 对数运算 三角恒等变换 4 题型 题号 分值 2025全国一卷 2025全国二卷 多选题 9 6 空间中线线、线面位置关系的判断 等比数列的通项公式与前n项和公式 10 6 抛物线的定义及其几何性质 函数的性质与极值 11 6 三角恒等变换、解三角形 双曲线的性质 5 题型 题号 分值 2025全国一卷 2025全国二卷 填 空 题 12 5 导数的几何意义 平面向量的坐标运算、向量的模 13 5 等比数列前n项和公式与性质 函数的极值点 14 5 离散型随机变量的分布列 和数学期望、排列与组合 球与圆柱的位置关系 6 题型 题号 分值 2025全国一卷 2025全国二卷 解 答 题 15(1) 13 古典概型 三角函数的解析式 15(2) 独立性检验 三角函数的值域、单调区间 16(1) 15 由递推关系证数列是等差数列 椭圆的方程与几何性质 16(2) 错位相减法 直线与椭圆的位置关系、弦长公式 17(1) 15 面面垂直 线面平行的判定 17(2) 外接球球心位置、线线角 二面角正弦值的求解 7 题型 题号 分值 2025全国一卷 2025全国二卷 解 答 题 18(1) 17 椭圆方程 函数的极值与零点问题 18(2) 动点的轨迹问题、两动点间距离的最值问题 函数单调性的应用 19(1) 17 函数与导数的关系 二项分布 19(2) 三角函数的图象与性质 递推思想 19(3) 三角函数的图象与性质 不等式的性质 8 2025年高考试题的重要关注点 高考数学最大的“新”不在于形式上完全陌生的题目，而在于题目设计理念和考查侧重点的根本性转变． 9 新定义 题延续 　　新定义解答题是2024年新课标Ⅰ卷中出现的新题型，题目一般用抽象、简洁的语言给出新定义，考查的内在知识离不开高中数学基础知识，2025年全国二卷第19题是对2024年高考数学新定义问题的延续，是在2025年进行的新探索，试题要求学生能够创造性地分析问题，在新颖的情境中积极主动思考，建立新问题、新要求与已有知识的联系，形成解题思路． 10 探究 开放题 　　双空题(例如2024年新课标Ⅱ卷T14)、举例题(例如2022年新高考Ⅰ卷T14)、结构不良题(例如2022年新高考Ⅱ卷T21)、结论需要学生自行探索和表达题(例如2025年全国二卷T18(2)(ⅱ))，这些题型鼓励创新思维和深度思考，需要学生从不同知识背景进行多层次、多维度思考，从而得到不同解题途径和方法． 11 命题创 新设计 　　高考数学命题创新情境设计、内容设计和设问设计，破除套路，引导中学教学从总结解题技巧转变到培养学生数学思维．例如2025年全国一卷第8题在题目形式和语言叙述方面都进行了创新；第19题突破以往以幂、指、对数函数为情境设置函数与导数试题的模式，以三角函数设置情境，新颖独特．2025年全国二卷第18题研究极值点和零点的关系，在第(1)问确定二者的存在性和唯一性，做出铺垫，第(2)问引入辅助函数探索极值点和零点之间的关系，逻辑性强，设问具有一定的开放性． 12 重知识迁移，考应变能力 　　高考数学考查学生对知识的融会贯通和跨模块知识的整合水平，学生要举一反三，学会知识迁移．例如2025年全国一卷第6题，以帆船比赛为背景，以新的概念为载体，考查学生应用向量解决实际问题的能力；第16题，在常见的数列问题中融入函数与导数，考查了学生的应变能力． 13 1．发挥教材的核心作用，筑牢学习根基 考试命题常以教材内容为素材，很多高考题源于教材、异于教材、 高于教材，如2025年全国一卷高考真题与教材例题、习题之间的衔接关系： 14 2025年高考全国一卷数学试题与教材的衔接 题号 人教A版(2019)教材 1 必修第二册P70练习T1，P80练习T1 2 必修第一册P13例5 3 选择性必修第一册P124例3 4 必修第一册P214习题5.4T19 5 必修第一册P214习题5.4T18 6 必修第二册P4练习T3，P23习题6.2T16 7 选择性必修第一册P99习题2.5T13 8 必修第一册P140习题4.4T4 15 题号 人教A版(2019)教材 9 必修第二册P148练习T4，P162练习T4，P163习题8.6T4 12 选择性必修第二册P82习题5.2T11 13 选择性必修第二册P36例8 15 选择性必修第三册P133例4 16 选择性必修第二册P25习题4.2T7(1)，P40习题4.3T3 17 必修第二册P165习题8.6T21，选择性必修第一册P48复习参考题T8 18 选择性必修第一册P115习题3.1T4 16 2．设置现实生活情境，提升跨学科应用素养 案例1：2025·全国一卷T6 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速．视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反．如表中给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为(　　) 17 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 级数 名称 风速大小(单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 18 3．无图突出想象，载体传承创新 新高考卷立体几何题中“小题”一般不给图．以识图、画图、想象、用图等方式考查学生“心中构图”的空间想象能力． 新高考卷立体几何题主要以三棱柱、四棱柱(正方体)、三棱锥、四棱锥、四棱台、圆台、圆锥、球为背景命题． 新高考组合体及非规则几何体的载体，突出了割补思想的灵活，如案例2． 19 案例2： 20 4．考查用随机思想进行数据分析的意识 案例3：2025·全国一卷T15 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表： 组别 超声波检查结果 合计 正常 不正常 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1 000 21 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关． 附：χ2＝， α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 22 5．着重数学建模，考查用函数分析事物的意识 案例4：2023·新高考Ⅱ卷T19 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 23 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布．以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)； (2)设函数f (c)＝p(c)＋q(c)．当c∈[95，105]时，求f (c)的解析式，并求f (c)在区间[95，105]的最小值． 24 6．关注热点稳中求变，常考常新 案例5：2021·全国甲卷文科T12 设f (x)是定义域为R的奇函数，且f (1＋x)＝f (－x)，若f ＝(　　) A．－ 25 案例6：2023·新高考Ⅰ卷T11 已知函数f (x)的定义域为R，f (xy)＝y2f (x)＋x2f (y)，则(　　) A．f (0)＝0 B．f (1)＝0 C．f (x)是偶函数 D．x＝0为f (x)的极小值点 26 7．回归数学本质，注重数学思想 案例7：2024·新高考Ⅰ卷T11 设计一条美丽的丝带，其造型 可以看作图中的曲线C的一部分．已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于－2，到点F(2，0)的距离与到定直线x＝a(a<0)的距离之积为4，则(　　) A．a＝－2 B．点(2，0)在C上 C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点(x0，y0)在C上时，y0≤ 27 8．考查重点核心概念，注重主题板块知识融合 案例8：2024·新高考Ⅱ卷T19 已知双曲线C：x2－y2＝m(m>0)，点P1(5，4)在C上，k为常数，0<k<1．按照如下方式依次构造点Pn(n＝2，3，…)：过Pn-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Qn-1，令Pn为Qn-1关于y轴的对称点．记Pn的坐标为(xn，yn)． 28 (1)若k＝，求x2，y2；   (2)证明：数列{xn－yn}是公比为的等比数列；   (3)设Sn为△PnPn+1Pn+2的面积，证明：对任意正整数n，Sn＝Sn+1． 29 9．创新试题设计，增强探究开放，考查思维品质 案例9：2025·全国一卷T8 已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能为 (　　) A．x>y>z B．x>z>y C．y>x>z D．y>z>x 30 点评：该题可以根据函数等式的大小判断，考查学生的观察能力，可以直观地画出三个函数的大致图象得到三个参数的不同大小情况，也可以根据函数等式判断大小，还可以根据三个式子等于某些特殊值来排除选项，增强解法的开放性、多样性与灵活性，鼓励学生运用发散性思维多角度分析问题并解决问题． 31 案例10：2025·全国一卷T19 (1)求函数f (x)＝5cos x－cos 5x在区间的最大值； (2)给定θ∈(0，π)和a∈R，证明：存在y∈[a－θ，a＋θ]使得cos y≤ cos θ； (3)设b∈R，若存在φ∈R使得5cos x－cos(5x＋φ)≤b对x∈R恒成立，求b的最小值． 32 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 34 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 1．(2025·全国一卷)已知集合U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，3，5}，则∁UA中元素的个数为(　　) A．0　　B．3　　C．5　　D．8 难度：0.94 命题点：补集的概念及运算． √ C　[U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5}， 故∁UA＝{2，4，6，7，8}，故∁UA中有5个元素．故选C．] 第1课时　集合 35 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 2．(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x．则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 难度：0.94 命题点：全称量词命题的否定及其真假判断、存在量词命题的否定及其真假判断、判断命题的真假． √ 第1课时　集合 36 B　[对于命题p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故命题p是假命题，¬p是真命题；对于命题q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故命题q是真命题，¬q是假命题．综上，¬p和q都是真命题．故选B．] 37 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 3．(2025·全国二卷)不等式≥2的解集是(　　) A．{x|－2≤x≤1} B．{x|x≤－2} C．{x|－2≤x<1} D．{x|x>1} 难度：0.9 命题点：分式不等式及一元二次不等式的解法． √ C　[由≥2，得≥0，得≤0，得得－2≤x<1，故选C．] 第1课时　集合 38 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 4．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则 (　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 难度：0.65 命题点：基本不等式及其应用． √ √ 第1课时　集合 39 BC　[由x2＋y2－xy＝1，可得(x＋y)2－3xy＝1，而xy≤， 即1＝(x＋y)2－3xy≥(x＋y)2－， ∴(x＋y)2≤4，∴－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确； 由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤， ∴x2＋y2≤2，故C正确；取x＝，y＝－，则x2＋y2－xy＝1，且x2＋y2＝<1，故D错误．故选BC．] 40 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 1．重视基本运算 教材经典1．已知全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤10}，A∩(∁UB)＝{1，3，5，7}，试求集合B． [解]　∵U＝A∪B＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，A∩ (∁UB)＝{1，3，5，7}，∴ ∁UB＝{1，3，5，7}． 故B＝∁U (∁UB)＝{0，2，4，6，8，9，10}． 锚点：集合的交并补运算． 第1课时　集合 41 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 教材经典2．已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，是否存在实数a，使得A∪B＝A？若存在，试求出实数a的值；若不存在，请说明理由． [解]　∵A∪B＝A，∴B⊆A， ∴{1，a＋2}⊆{1，3，a2}， ∴∴a＝2， ∴存在实数a＝2，使得A∪B＝A． 锚点：集合的运算性质、集合元素的互异性． 第1课时　集合 42 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 2．落实核心概念 教材经典3．判断下列两个集合之间的关系： (1)A＝{x|x<0}，B＝{x|x<1}； (2)A＝{x|x＝3k，k∈N}，B＝{x|x＝6z，z∈N}； (3)A＝{x∈N*|x是4与10的公倍数}，B＝{x|x＝20m，m∈N*}． 第1课时　集合 43 [解]　(1)根据数轴可知，A＝{x|x<0}表示x＝0左边的数的集合，B＝{x|x<1}表示x＝1左边的数的集合，故A⫋B． (2)A＝{x|x＝3k，k∈N}表示3的整数倍…－6，－3，0，3，6…， B＝{x|x＝6z，z∈N}表示6的整数倍…－12，－6，0，6，12…．故B⫋A． (3)A＝{x∈N*|x是4与10的公倍数}，即20的正整数倍，B＝{x|x＝20m，m∈N*}也表示20的正整数倍．故A＝B． 锚点：集合间的关系． 44 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 教材经典4．判断下列命题的真假，并说明理由： (1)“a>b”是“ac2>bc2”的充分条件； (2)“x2≠1”是“x≠1”的必要条件； (3)“四边形为正方形”是“四边形为矩形”的充分不必要条件； (4)“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件； (5)“x＝1”是“(x－1)(x－2)＝0”的充要条件； (6)“x∈A∩B”的充要条件是“x∈A”． 第1课时　集合 45 [解]　(1)若a>b，当c＝0时，ac2＝bc2， 所以“a>b”不是“ac2>bc2”的充分条件， 所以命题为假命题． (2)若x≠1，则x2≠1不成立， 所以“x2≠1”不是“x≠1”的必要条件， 所以命题为假命题． 46 (3)若四边形为正方形，则该四边形为矩形， 若四边形为矩形，则该四边形不一定为正方形， 所以“四边形为正方形”是“四边形为矩形”的充分不必要条件，故命题为真命题． (4)若a>b，则a＋c>b＋c， 若a＋c>b＋c，则a>b， 所以“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件， 所以命题为真命题． 47 (5)若x＝1，则(x－1)(x－2)＝0， 若(x－1)(x－2)＝0，则x＝1或x＝2， 所以“x＝1”是“(x－1)(x－2)＝0”的充分不必要条件，所以命题为假命题． (6)若x∈A∩B，则x∈A．若x∈A，x并不一定属于A∩B，所以x∈A是x∈A∩B的必要不充分条件，所以命题为假命题． 锚点：充分、必要条件的判断． 48 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 3．培养思维品质 教材经典5．已知x∈(0，＋∞)，求y＝的最大值，以及y取得最大值时x的值． [解]　由题意知，y＝． ∵x∈(0，＋∞)，∴2x＋， 当且仅当2x＝，即x＝时，取等号． ∴当x＝时，y有最大值1－2． 锚点：利用基本不等式求最值． 第1课时　集合 49 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 教材经典6．学校举办运动会时，高一(1)班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 第1课时　集合 50 [解]如图． 设同时参加田径和球类比赛的有x人， 则28＝15＋8＋14－3－3－x，∴x＝3， 即同时参加田径和球类比赛的有3人， 而只参加游泳一项比赛的有15－3－3＝9(人)． 锚点：Venn图、容斥原理． 51 第1课时 集合 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 52 [考试要求]　 1．了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系． 2．理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 3．理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集． 4．能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算． 第1课时　集合 53 以题引理·激活思维 1．(人教B版必修第一册P9练习BT4改编)已知集合A＝{a－2，a2＋4a，12}，且－3∈A，则a＝(　　) A．－3或－1 B．－3 C．1 D．3 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 54 B　[因为集合A＝{a－2，a2＋4a，12}，且－3∈A， 则a－2＝－3或a2＋4a＝－3，所以a＝－1或a＝－3； 当a＝－1时，a－2＝a2＋4a，不合题意(舍)； 当a＝－3时，A＝{－5，－3，12}，符合题意． 故选B．] 55 2．(北师大版必修第一册P7练习T1改编)下列表达式中不正确的是(　　) A．1∈N B．⌀＝{0} C．2 } √ B　[对于A，1∈N，A正确；对于B，⌀中无任何元素，而{0}有一个元素0，B错误； 对于C，2∈R，C正确；对于D，数对(1，1)满足y＝，则D正确．故选B．] 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 56 3．(湘教版必修第一册P12习题1.1T3(2)改编)用列举法表示方程组的解集为　　　 　． {(1，4)}　[由故可表示为{(1，4)}．] {(1，4)} 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 57 4．(苏教版必修第一册P23本章测试T14改编)已知集合A＝{x|0<x<a}，B＝{x|1<x<2}，若B⊆A，则实数a的取值范围是　　 　　． [2，＋∞)　[由数轴可知a≥2．] [2，＋∞) 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 58 5．(人教A版必修第一册P14习题1.3T4改编)设全集为R，集合A＝{x|3≤x<9}，B＝{x|(x－2)(x－10)<0}，则∁R(A∪B)＝ 　　　 　，(∁RA)∩B＝　　 　　． {x|x≤2，或x≥10}　{x|2<x<3，或9≤x<10} 　[由题意，集合A＝{x|3≤x<9}，B＝{x|2<x<10}，可得A∪B＝{x|2<x<10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}， 又由∁RA＝{x|x<3，或x≥9}，所以(∁RA)∩B＝{x|2<x<3， 或9≤x<10}．] {x|x≤2，或x≥10} {x|2<x<3，或9≤x<10} 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 59 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的两种关系：属于和不属于，分别用符号__和__表示． (3)集合的三种常用表示方法：列举法、描述法和图示法． (4)五个特定的数集的表示 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N ____________ __ __ __ ∈ ∉ N*(或N+) Z Q R 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 60 2．集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中____________都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)． (2)真子集：如果集合A⊆B，但____元素x∈B，且______，就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B(或B⫌A)． (3)相等：若A⊆B，且______，则A＝B． 任意一个元素 存在 x∉A B⊆A 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 61 [二级结论]　(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (2)若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－2)个非空真子集． 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 62 3．集合的基本运算   并集 交集 补集 图形 表示 集合 表示 A∪B＝ __________ __________ A∩B＝ __________ __________ ∁UA＝ ______________________ {x|x∈A， 或x∈B} {x|x∈A， 且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 63 [二级结论] (1)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A． (2)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U (A∪B)；(∁UA)∪(∁UB)＝∁U (A∩B)． 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 64 求解集合问题的常用方法：列举观察法、元素特值法、数形结合法(借助数轴、Venn图)等． 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 65 考点一　集合的概念 [典例1]　(1)(2023·上海卷)已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P且x∉Q}，则M＝(　　) A．{1} B．{2} C．{1，2} D．{1，2，3} (2)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　) A．9 B．8 C．5 D．4 精研考点·提升素养 √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 66 (1)A　(2)A　[(1)∵P＝{1，2}，Q＝{2，3}，M＝{x|x∈P且x∉Q}，∴M＝{1}．故选A． (2)∵x2＋y2≤3，∴x2≤3， ∵x∈Z，∴x＝－1，0，1， 当x＝－1时，y＝－1，0，1； 当x＝0时，y＝－1，0，1； 当x＝1时，y＝－1，0，1． 所以共有9个．故选A．] 67 名师点评：解决集合含义问题的三个关键点 (1)弄清集合是数集、点集，还是其他集合； (2)确定元素的限制条件； (3)注意检验集合中的元素是否满足互异性． 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 68 【教用·备选题】 (2025·广东揭阳二模)已知集合A＝，则A中元素的个数为(　　) A．7　　　B．9　　　C．11　　　D．13 √ C　[∵x∈Z，y∈Z，∴x2≥0，y2≥0， 又≤1，∴≤1，可得x2≤4， ∴x可能取值为－2，－1，0，1，2， 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 69 当x＝－2时，代入≤1，得y2≤0，又y2≥0， ∴y＝0，此时得到元素(－2，0)； 当x＝－1时，代入≤1，得y2≤，∵y∈Z，∴y＝－1，0，1， 此时得到元素(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)； 当x＝0时，代入≤1，得y2≤3， ∴－．∵y∈Z，∴y＝－1，0，1， 此时得到元素(0，－1)，(0，0)，(0，1)； 70 当x＝1时，代入≤1，得y2≤，∵y∈Z，∴y＝－1，0，1， 此时得到元素(1，－1)，(1，0)，(1，1)； 当x＝2时，代入≤1，得1＋≤1， ∴y＝0， 此时得到元素(2，0)； 满足条件的元素分别为(－2，0)，(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，0)共11个．故选C．] 71 考点二　集合间的基本关系 [典例2]　(1)若集合A＝，则(　　) A．A⊆B B．B⊆A C．A＝B D．A∩B＝⌀ (2)(2026·辽宁重点高中联考)已知集合A＝{x|mx＝3}，B＝{1，3}，若A⊆B，则m的所有可能取值构成的集合的真子集个数为(　　) A．2 B．3 C．6 D．7 √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 72 (1)A　(2)D　[(1)因为集合A＝，B＝，所以A⊆B． 故选A． (2)当m＝0时，A＝⌀，A⊆B成立， 当m≠0时，A＝， 因为A⊆B，故A＝{1}或A＝{3}，此时m＝3或1， 综上，m∈{0，1，3}，故真子集个数为23－1＝7．故选D．] 73 名师点评：(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合间的关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题，注意区间端点是否能取到． 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 74 [巩固迁移] 1．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是__________________． [－1，＋∞)　[∵B⊆A，∴①当B＝⌀时，2m－1>m＋1，解得m>2； ②当B≠⌀时， 解得－1≤m≤2． 综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．] [－1，＋∞) 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 75 2．(人教A版必修第一册P9习题1.2T5(1)改编)已知＝{b}，其中a，b∈R，则b＝(　　) A．0 B． √ 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 76 B　[由题意知，b为方程ax2－4x＋1＝0的根． 当a＝0时，b＝； 当a≠0时，二次方程有两个相等的根，则有此时b＝． 故选B．] 77 【教用·备选题】 设集合A＝{x|1≤x≤3}，集合B＝{x|y＝}，若A⫋C⫋B，写出一个符合条件的集合C，则C＝____________________________． (写出一个即可) {x|1≤x≤4}(答案不唯一)　[A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x≥1}，若A⫋C⫋B，则可有C＝{x|1≤x≤4}(答案不唯一)．] {x|1≤x≤4}(答案不唯一) 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 78 考点三　集合的基本运算 [典例3]　(1)(2025·天津卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{2，3，5}，则∁U (A∪B)＝(　　) A．{1，2，3，4} B．{2，3，4} C．{2，4} D．{4} (2)(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝(　　) A．∁U (M∪N) B．N∪∁UM C．∁U (M∩N) D．M∪∁UN (3)(2024·九省联考)已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为________． √ √ 5 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 79 (1)D　(2)A　(3)5　[(1)由题可得A∪B＝{1，2，3，5}， 所以∁U (A∪B)＝{4}． 故选D． (2)由题意，M∪N＝{x|x<2}，又U＝R， 所以∁U (M∪N)＝{x|x≥2}，故选A． (3)由A∩B＝A，则A⊆B， 由≤m，得－m＋3≤x≤m＋3， 故有即m≥5， 即m的最小值为5．] 80 名师点评：集合基本运算的方法及注意点 (1)进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算； (2)对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况． 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 81 [巩固迁移] 3．已知集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，若A∩B＝⌀，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞) √ B　[因为集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，且A∩B＝⌀，则a－1≤1，解得a≤2．] 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 82 4．(2025·甘肃白银二模)已知全集U＝R，集合A＝{x||x－1|≥2}，B＝{x|x2－4x<0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{x|－1≤x<0} B．{x|3≤x<4} C．{x|0<x≤3} D．{x|x≥4} √ 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 83 B　[由题图知，阴影部分表示的集合为A∩B， |x－1|≥2⇔x－1≥2或x－1≤－2，x2－4x<0⇔0<x<4． A＝{x|x－1≥2，或x－1≤－2}＝{x|x≥3，或x≤－1}，B＝{x|0<x<4}，A∩B＝{x|3≤x<4}．故选B．] 84 5．全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4，6，7}，则A∪B＝ _____________________________． {1，2，3，5，8，9}　[由已知条件可得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，画出Venn图如图所示． 由图可得A∪B＝{1，2，3，5，8，9}．] {1，2，3，5，8，9} 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 85 【教用·备选题】 1．(2026·云南昭通模拟)已知集合A＝{x|x2＋x－2＝0}，集合B＝{1，a}．若A∪B＝{－2，1，2}，则实数a的值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 √ D　[集合A＝{x|x2＋x－2＝0}＝{－2，1}，集合B＝{1，a}．由A∪B＝{－2，1，2}，可知集合B必须包含元素2，即a＝2． 故选D．] 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 86 2．已知全集U＝N，集合A＝{x|x＝2k，k∈N}，B＝{x|x＝4k，k∈N}，则(　　) A．A∩B＝A B．A∩(∁UB)＝⌀ C．A∪(∁UB)＝U D．(∁UA)∪(∁UB)＝U √ C　[对于A，因为A＝{x|x＝2k，k∈N}，当k是偶数，令k＝2n，n∈N，此时A＝{x|x＝4n，n∈N}， 当k是奇数，令k＝2n－1，n∈N*，此时A＝{x|x＝4n－2，n∈N*}， 所以B⫋A，所以A∩B＝B，故A错误； 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 87 对于B，因为集合A表示非负偶数的集合，集合B表示能被4整除的非负整数的集合， ∁UB表示自然数中除去能被4整除的数的集合， 所以A∩(∁UB)≠⌀，故B错误； 对于C，因为B⫋A，所以A∪(∁UB)＝U，故C正确； 对于D，因为B⫋A，所以A∩B＝B．又因为(∁UA)∪(∁UB)＝∁U (A∩B)＝∁UB≠U，故D错误． 故选C．] 88 3．已知全集U＝＝{1，2}，(∁UM)∩N＝{4}，∁U (M∪N)＝{3}，则M∩N＝(　　) A．⌀　　　B． √ C　[如图，画出Venn图，并将条件中的集合标在图中，可知M∩N＝{5}，故选C．] 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 89 一、单项选择题 1．(2025·北京卷)已知集合M＝{x|2x－1>5}，N＝{1，2，3}，则M∩N＝(　　) A．{1，2，3} B．{2，3} C．{3} D．⌀ D　[因为M＝{x|2x－1>5}＝{x|x>3}， 所以M∩N＝⌀．故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课后作业(一)　集合 √ 16 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 90 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．(2025·浙江宁波三模)已知集合A＝{x∈Z|x2－x－2>0}，则∁ZA＝ (　　) A．{－1，0，1，2} B．{0，1，2} C．{1，2} D．{－1，0} √ A　[由A＝{x∈Z|(x＋1)(x－2)>0}＝{x∈Z|x<－1，或x>2}，所以∁ZA＝{x∈Z|－1≤x≤2}＝{－1，0，1，2}． 故选A．] 16 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 91 3．(2025·湖北武汉一模)已知集合A＝{－3，－2，0，2}，B＝{x|－1<x<4}，则A∩B的子集个数为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ B　[由A＝{－3，－2，0，2}，B＝{x|－1<x<4}， 则A∩B＝{0，2}，则A∩B子集的个数为4个，故选B．] 16 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 92 4．(2025·广东佛山二模)图中阴影部分用集合符号可以表示为 (　　) A．B∩(A∪C) B．B∩(A∩C) C．B∩∁U(A∪C) D．(A∪B)∩(B∪C) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ A　[在阴影部分区域内任取一个元素x，则x∈A∩B或x∈B∩C， 故阴影部分所表示的集合为B∩(A∪C)或(A∩B)∪(B∩C)，故A正确． 故选A．] 16 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 93 5．(2026·河南省实验中学模拟)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|x>1}，则(∁RA)∩B＝(　　) A．(1，2) B．(1，2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ D　[由x2－x－2<0，得－1<x<2，所以∁RA＝{x|x≤－1，或x≥2}，所以(∁RA)∩B＝[2，＋∞)． 故选D．] 16 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 94 6．(2026·湖南长沙模拟)若集合A＝{x|x>3}，B＝{x||x－1|∈A}，则A∪B＝(　　) A．{x|x>3} B．{x|x>－2} C．{x|x>1，或x<－2} D．{x|x>3，或x<－2} 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 D　[因为A＝{x|x>3}，B＝{x||x－1|∈A}， 所以B＝{x||x－1|>3}，解得B＝{x|x<－2，或x>4}， 所以A∪B＝{x|x>3，或x<－2}． 故选D．] 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 95 7．(2026·江苏连云港模拟)已知集合A＝{－1，0，2}，B＝{x|1－mx>0}，若A⊆B，则m的取值范围是(　　) A．(－1，＋∞) B． C． D．(－∞，－1)∪ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 96 C　[由题意，因为A⊆B， 则解得－1<m<． 故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 97 8．(2026·山东泰安模拟)已知全集为R，集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x>4}，则(　　) A．A∩B＝A B．A∪B＝R C．B∩(∁RA)＝B D．A∪(∁RB)＝A 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 98 C　[对于A选项，因为A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x>4}，所以A∩B＝⌀≠A，故A错误； 对于B选项，因为3∈R，但3∉A∪B，得A∪B≠R，故B错误； 对于C选项，由A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x>4}，则∁RA＝{x|x≤1，或x≥2}，所以B∩(∁RA)＝B，故C正确； 对于D选项，由B＝{x|x>4}，得∁RB＝{x|x≤4}， 又A＝{x|1<x<2}，所以A∪(∁RB)＝{x|x≤4}≠A，故D错误． 故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 99 二、多项选择题 9．(2025·河南开封二模)已知集合A＝{x|－3<2x－1<3}，∁RB⊆A，则(　　) A．－1∉B B．2∈B C．－1∈A∪B D．2∈A∩B 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 100 BC　[A＝{x|－3<2x－1<3}＝{x|－1<x<2}， 对于A，若－1∉B，则－1∈∁RB，则根据∁RB⊆A，有－1∈A，显然矛盾，故A错误； 对于B，假设2∉B，则2∈∁RB，根据∁RB⊆A有2∈A，显然矛盾，则2∈B，故B正确； 对于C，由A知，－1∈B，则－1∈A∪B，故C正确； 对于D，显然2∉A，必有2∉A∩B，故D错误． 故选BC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 101 10．设集合A＝，B＝{x|ax－1＝0}，若A∪B＝A，则a的值可以为(　　) A．1 B．0 C．－ D．－3 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 102 ABD　[A＝． 因为A∪B＝A，所以B⊆A， 当a＝0时，B＝⌀⊆A， 当a≠0时，B＝， 则＝1，所以a＝－3或a＝1， 综上所述，a＝－3或0或1． 故选ABD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 103 11．(人教A版必修第一册P15阅读与思考改编)某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1 500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1 500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1 500米”都参加的有3人，“400米和1 500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是(　　) A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1 500米比赛的有1人 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ √ 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 104 ABD　[根据题意，设A＝{x|x是参加100米的同学}， B＝{x|x是参加400米的同学}， C＝{x|x是参加1 500米的同学}， 则card(A)＝8，card(B)＝7，card(C)＝5， 且card(A∩B)＝4，card(A∩C)＝3，card(B∩C)＝3， 则card(A∩B∩C)＝12－[(8＋7＋5)－(4＋3＋3)]＝2， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人，只参加400米比赛的有2人，只参加1 500米比赛的有1人． 故选ABD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 105 三、填空题 12．(2025·山东潍坊一模)已知集合A＝{0，1，a＋2}，B＝{1，a2}，若A∪B＝A，则实数a＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 0或2　[因为A∪B＝A，所以B⊆A． 根据集合中元素的互异性，可知a2≠1⇒a≠1且a≠－1． 若a2＝0⇒a＝0，此时A＝{0，1，2}，B＝{0，1}，满足B⊆A． 若a2＝a＋2⇒a2－a－2＝0⇒(a－2)(a＋1)＝0⇒a＝2或a＝－1(舍去)． 此时A＝{0，1，4}，B＝{0，4}，满足B⊆A． 综上a＝0或2．] 0或2 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 106 13．已知集合A＝{1，2，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B的元素个数为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 2　[当x＝1，y＝1，2，4时，x－y分别为0，－1，－3，均不能满足x－y∈A，当x＝2，y＝1时，可满足x－y＝1∈A， 当x＝2，y＝2时，x－y＝0，当x＝2，y＝4时，x－y＝－2均不满足x－y∈A， 当x＝4，y＝2时，可满足x－y＝2∈A，当x＝4，y＝1时，x－y＝3，当x＝4，y＝4时，x－y＝0均不满足x－y∈A， 所以B＝{(2，1)，(4，2)}，故集合B的元素有2个．] 2 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 107 14．对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{x|x≥0}，B＝{x|y＝lg(9－x2)}，则B－A＝____________________，A*B＝_________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 {x|－3<x<0}　{x|－3<x<0，或x≥3}　[由题意，得A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3<x<3}，所以A－B＝{x|x≥3}，B－A＝{x|－3<x<0}． 因此A*B＝{x|x≥3}∪{x|－3<x<0}＝{x|－3<x<0，或x≥3}．] {x|－3<x<0} {x|－3<x<0，或x≥3} 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 108 15．若A，B，C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有(　　) A．A⊆C B．C⊆A C．A≠C D．A≠⌀ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 109 A　[∵A∪B＝B∩C， ∴(A∪B)⊆B，B⊆(B∩C)， ∴A⊆B，B⊆C，即A⊆B⊆C． 对于A，∵A⊆B⊆C，∴A⊆C，A正确； 对于B，当且仅当A＝B＝C时，C⊆A，B错误； 对于C，当A＝B＝C时，满足A⊆B⊆C，C错误； 对于D，当A＝⌀时，满足A⊆B⊆C，D错误． 故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 110 16．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，用U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如{1，3}表示的是从左往右第1个字符为1，第3个字符为1，其余均为0的6位字符串101 000，并规定空集表示的字符串为000 000． (1)若N＝{2，3，6}，则∁UN表示的6位字符串为____________； (2)若B＝{5，6}，集合A∪B表示的字符串为011 011，则满足条件的集合A的个数为____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 100 110 4 以题引理 精研考点 课后作业 第1课时　集合 111 (1)100 110　(2)4　[(1)因为U＝{1，2，3，4，5，6}，N＝{2，3，6}，所以∁UN＝{1，4，5}，所以∁UN表示的6位字符串为100 110． (2)因为集合A∪B表示的字符串为011 011，所以A∪B＝{2，3，5，6}，又B＝{5，6}，所以集合A可能为{2，3}，{2，3，5}，{2，3，6}，{2，3，5，6}，即满足条件的集合A的个数为4．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 112 谢 谢 ！ $