6.2.1 向量的加法运算 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2 平面向量的运算 6.2.1 向量的加法运算 【学习目标】 1. 理解向量加法的概念，了解向量加法的几何意义. 1. 掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则及其运算律. 1. 能熟练运用这两个法则作两个向量的加法运算，并能解决简单的实际问题. 【学习重点】 1. 向量加法的三角形法则和平行四边形法则. 2. 向量加法的交换律和结合律. 【学习难点】 1. 对向量加法几何意义的理解. 2. 向量共线时加法法则的应用. 学习任务一 向量加法的三角形法则与平行四边形法则 【合作探究】 1. 问题引入： · 唐僧从长安出发，先到新疆，再到天竺的位移可以看作两个位移的合成.若孙悟空直接从长安飞往天竺，两种走法的位移相同吗？ · 在物理中，位移的合成（如位移 与 的合位移 ）可以看作向量加法. · 数学上，如何定义两个向量的和？ 1. 向量加法的三角形法则： · 已知非零向量 ，，在平面内任取一点 ，作 ，，则向量 叫做 与 的和，记作 . · 特点：“首尾相接，起点指向终点”. 1. 向量加法的平行四边形法则： · 已知两个不共线的非零向量 ，，以同一点 为起点作 ，，以 ， 为邻边作平行四边形 ，则以 为起点的对角线 . · 特点：“共起点，作平行四边形的对角线”. 1. 比较两种法则： (1) 三角形法则适用于任意两个向量（包括共线）； (2) 平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量（共线时无法构成平行四边形）. (3) 两种法则在向量不共线时是等价的. 1. 向量共线时的加法： · 若 与 同向，则 与它们同向，模等于 ； · 若 与 反向，则 与模较大的向量同向，模等于 . 【自主梳理】 1. 三角形法则：（首尾相连）. 1. 平行四边形法则：以同一起点的两个向量为邻边作平行四边形，对角线即为和向量. 1. 零向量：. 1. 向量加法的几何意义：位移的合成、力的合成等. 学习任务二 向量加法的运算律 【合作探究】 1. 交换律：. · 用平行四边形法则可以直观验证：以 ， 为邻边的平行四边形中，对角线相同. 1. 结合律：. · 用三角形法则：分别计算两个不同顺序的加法，得到同一个向量. 1. 运算性质： (1) (2) （其中 是 的相反向量） 1. 练习： · 已知 ，， ，用两种方式求 和 ，并说明结果一致. 【自主梳理】 向量加法运算律： 1. 交换律： 2. 结合律： 3. 零向量性质： 学习任务三 向量加法的应用（作图与计算） 【合作探究】 1. 例1：根据下列条件，分别作出 的图形（文字描述作图步骤）： · (1) 与 不共线； · (2) 与 同向； · (3) 与 反向. · 解： · (1) 用三角形法则或平行四边形法则. · (2) 在一条直线上，首尾相接，方向相同. · (3) 在一条直线上，首尾相接，方向相反，模为差的绝对值. 1. 例2：已知向量 ， 的模和方向，计算 可能的最大值和最小值. · 解：最大值 ，最小值 . 1. 例（实际应用）：某人先从点 向东走 3 km 到点 ，再从 向北走 4 km 到点 .求此人从 到 的位移大小和方向. · 解：位移 ， · km，方向为东偏北，且东偏北夹角的正切值为 . · 用三角形法则作图. 【自主梳理】 向量加法在实际问题中的步骤： 1. 将实际问题中的位移、力等抽象为向量. 1. 选择合适的法则（三角形或平行四边形）作出和向量. 1. 利用几何或代数方法计算和向量的模和方向. 【自查自纠】（正误判断） 1. 的方向一定与 或 的方向相同. （ ） 1. 向量加法的三角形法则与平行四边形法则在向量不共线时等价. （ ） 1. . （ ） 1. 若 ，则 . （ ） 1. 两个向量相加，模可能小于每个向量的模. （ ） 答案：1.×（可能相反方向时和向量方向与模大的相同） 2.√ 3.√ 4.×（） 5.√ 【典例分析】 例1：已知 ， 为两个非零向量，且 ，. (1) 若 与 同向，求 ； (2) 若 与 反向，求 ； (3) 若 与 垂直，求 . 解： (1) 同向：. (2) 反向：. (3) 垂直：. 例2：已知 ，，，求 . 解：，可用三角形法则多次相加. 【习题巩固】 1. 下列等式中，正确的是（ ） · A.  B. · C.  D. 1. 已知 ， 满足 ，，且 与 的夹角为 ，则 等于（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 在平行四边形 中， 等于（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 若 ，，则 的取值范围是______. 1. （选做）一架飞机从机场向北飞行 200 km，然后改变方向向东飞行 150 km，求飞机位移的大小和方向. 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. A（，注意向量和为零向量，不是数字0） 1. A（） 1. A（平行四边形法则） 1. （最小值 ，最大值 ） 1. 位移大小 km，方向北偏东 ，且北偏东夹角的正切值为. 学科网（北京）股份有限公司 $