专题6.3 平面向量的减法运算导学案-2025-2026学年高一数学同步知识填空与考点专练（人教A版必修第二册）

该高中数学导学案以“平面向量的减法运算”为核心，围绕相反向量、减法定义、几何意义及三角形不等式构建知识体系，通过知识填空夯实基础，考点专练（运算、几何应用、最值问题）分层递进，达标检测巩固提升，形成“基础-应用-拓展”的完整学习路径。 亮点在于“考点分层+几何直观”的设计，通过经典例题与变式训练结合，如几何应用中利用平行四边形、菱形图形分析向量关系，培养数学思维与几何直观素养。达标检测限时训练提升解题能力，自检自纠帮助学生自查漏洞，为教师实施单元复习提供系统、针对性的教学支持。

专题6.3平面向量的减法运算 高中数学导学案 专题6.3平面向量的减法运算 一、知识填空 1.相反向量：与向量a长度 ，方向 的向量，叫做α的相反向量，记作 2.常用结论： (1)规定：零向量的相反向量仍是 (2)a和-a互为相反向量，于是-(-a)= (3)a+(-a)=(-a)+a= (4)如果a,b互为相反向量，那么a=-方，万=-a,a+i=一 3.向量的减法：求两个向量差的运算，a-方=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量 的 4.向量减法的作图方法： 已知向量a,五，在平面内任取一点O,作OA=a,O=b,则BA= 5.向量减法的几何意义： 如果把两个向量，b的起点放在一起，则一b可以表示为从向量b的 指向向量a的 的 n- 向量.如图所示：0 6、向量的三角形不等式：由向量的三角形法则，可以得到 (1)当a,6不共线时：a-1b<a±bKa+1: (2)当a,b同向时a+bHa+b1,a-b=|a-b列： (3)当a,b反向时：a-Ha+b1,a+b=ab列： 自检自纠：1.相等相反-a2.(1)零向量(2)a(3)0(4)03.相反向量4a-b 5.终点终点 1/10 专题6.3平面向量的减法运算 高中数学导学案 二、考点专练 目目 考点01 平面向量的减法及其运算律 【经典例题】 1.化简PM-PN+MN-NP所得的向量是() A.PM B.PN C.0 D.MN 2.(多选)下列能化简为PQ的是() A.QC-QP+Co B.B+(PA+B0)C.(4B+PC)+(BA-OC)D.PA+AB-BO 3.(多选)下列向量运算正确的有() A.AB+CD+BC-AD B.MC-NC-MN C.PA+AB-BO=PO D.AB-(AC-BD)-CD=0 4.(多选)化简下列各式，其结果为0的是() A.AB-(CB-CA)B.AB-AC+BD-CD C.O4-OD+AD D.NO+OP+MIN-MP 5.下列说法正确的是() A.两个方向相同的向量之差等于0 B.两个相等向量之差等于0 C.两个相反向量之差等于0 D.两个平行向量之差等于0 2/10 专题6.3平面向量的减法运算 高中数学导学案 6.下列等式：①0-a=-a;②-(-a)=a;③a+(-a)=0;④a+0=a;⑤a-b-a+(-b)；⑥a-a=0. 正确的个数是() A.3 B.4 C.5 D.6 【变式训练】 1.4B-AD+BC-DC=() A.2BD B.0 C.BD D.0 2.下列四个式子中可以化简为B的是() ①AC+CD-BD;②AC-CB:③OA+OB:④O死-OA A.①④ B.①② C.②③ D.③④ 3.(多选)下列各式中结果为零向量的为() A.04+OC+B0+CO B.AB+MB+BO+OM C.AB-(AC-BD)-CD D.AB+BC+CA 4.下列结果不是零向量的是() A.AB+CA+BC B.AB-(BC+CA C.CA-(CB-AB)D.AB-4C+BC 5.给出下列命题，正确的命题为() A.向量AB的长度与向量BA的长度相等 B.向量a与平行，则a与6的方向相同或相反 c.l同+5=a-eā与6方向相反 D.若非零向量ā与非零向量6的方向相同或相反，则a+b与a,b之一的方向相同 6.下列四个等式：①-(-a)=a;②0+a=a;③a+(-b)=a-b;④a-a=0.其中正确的为() A.①③④ B.①②④ C.①②③ D.②③④ 【巩固练习】 1.NM+BM+AB-AM=() A.NM B.MN C.AN D.BN 2.下列命题中一定正确的是() A.OA-OB=AB B.AB+BA=0 C.0-AB=0 D.4B+BC+CA=0 3.(多选)下列式子中，化简结果为AD的有() A.MB+DA+BM B.(AD+MB)+(BC+CM)C.AB+CD+BC D.OC+CD+AO 3/10 专题6.3平面向量的减法运算 高中数学导学案 4.(多选)下列所表示的向量式子中，化简后等于零向量的是() A.AB+BC+CA B.AB+BC+AC C.CB-AB-CA D.AM-OB+0A-BM 目目 考点02 平面向量加法的几何应用 【经典例题】 1.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则OP-OO=() G A.00 B.GH C.E五 D.OF 2.如图，设AB=a,AD=b,BC=c,则DC等于() A.a-B+c B.B-(a+c)C.a+B+c D.B-a+c 3.已知0为平行四边形ABCD所在平面上一点，且OA=ā，OB=b,OC-=c,OD=d,则() A.a+b+c+d=0 B.a-b-c+d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b+c-d=0 4.已知菱形ABCD的边长为2，则向量AB-BC+CD 4/10 专题6.3平面向量的减法运算 高中数学导学案 5.对于任意三个向量a,b,c,下列命题中正确的序号是 ①若a6,/c则a1c②a-≤同-月③la+s+|④若a,i满足园<，且a与万反向，则a>i 6.设ā=(AB+CD)+BC+DA,五是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为() ①a1i②a+i=a③a+i=方④la+bs+⑤la+b=+5⑥la+b>+5 A.①②⑥ B.①③⑥ C.①③⑤ D.②③④⑤ 【变式训练】 1.在平行四边形ABCD中，M为CD的中点.记AB=a,AD=b,则MB=() A.-8 B.-1a-6 C.ab D.-1a+6 2 2 2.如图，己知O为平行四边形ABCD内一点，OA=a,OB=i,OC=c,则OD等于() A.a-b+c B.a+b+c C.a-b-c D.a+B-c 3.如图，在△ABC中，AB=3AD,E是CD的中点.设CA=a,CB=b.则正确的是() A.aB=a-8 B.CD-1a+26 C.CE-1a+18 D.AD-18-a 3 2 3 33 4.已知OA=a,OB=i,OC=c,OD=d,且四边形ABCD为平行四边形，则() A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0 5.四边形ABCD中，O为任意一点，若OA-OB+OC-OD=0,则四边形ABCD一定是() A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形 5/10 专题6.3平面向量的减法运算 高中数学导学案 6.(多选)己知，6为非零向量，则下列命题中正确的是() A.若1a+b月a+b1,则a与b方向相同B.若|a+|b曰a-b,则a与b方向相反 C.若d+b曰a-b,则a与6模相等 D.若‖a-b=a-b,则a与方向相同 7.已知非零向量a,满足同=-a-,则 -引 tb 8.若a,b是非零向量，则a日b是a+b曰a-b1”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.若不共线的两个向量a,b满足ā-bb,则下列结论一定正确的是() A.2a2a-b B.2ak2a-b C.2a-2 D.2a-2b 【巩固练习】 1.在四边形ABCD中，AC=AB+AD,则一定有() A.四边形ABCD是矩形 B.四边形ABCD是菱形 C.四边形ABCD是梯形 D.四边形ABCD是平行四边形 2.在平行四边形ABCD中，E为线段AB的中点，且AF=AD+AE,则() A.F为线段AD的中点 B.F为线段BC的中点 C.F为线段CD的中点 D.F为线段BD的中点 3.如图，在平行四边形ABCD中，AB=a,AD=五，则BD可以表示为() A.atb B.B-d c.a+) D.36-d) D 4.如图，在平行四边形ABCD中，下列计算结果错误的是() A.AB+AD=AC B.AC+CD+DO=OA C.AB-AD=DB D.AC+BA+DA=0 5.如图，向量AB=a,AC=b,CD=c,则向量BD可以表示为() A.a+b-c B.a-b+cC.B-a+a D.b-a-c 6/10 专题63平面向量的减法运算 高中数学导学案 6.己知平面内任意两个向量ā，6，则() A.a+=+B.a-6 =la-6 c.a-B s D.-6 s+ 7.对于非零向量a,b,当且仅当 时，有-列-- 8.任给两个向量a和，则下列式子恒成立的有 ①la+l≥+l ②a-≥-月®a-≤+ ④a-sa- 平面向量减法求最值及范围问题上的应用 目目 考点03 【经典例题】 1.设园=8=12，则ā-6的最大值与最小值分别为 2.已知AB=6,AC=3,则BC的取值范围是() A.[3,6] B.(3,6) c.[3,9] D.(3,9) 3.平面内有向量ā，五，c满足同==2=2，a.5=0,则la-c+2b-d的最小值是() A.2 B.2√5 C.25 D.26 7/10 专题6.3平面向量的减法运算 高中数学导学案 4.已知PO,N是半径为5的圆O上的两条动弦，P四=6，M=8,则PM+ON最大值是() A.7B.12C.14 D.16 【变式训练】 1.已知向量|a=2,b1=3,则|2ā-b1的取值范围为() A.[2,9] B. c.[1] D.(0, 2.若1OA=12,|OB=5,则|AB1的取值范围是() A.[7,17] B.(7,17) C.[7,12] D.(7,12) 3.已知向量a,i,c满足a-=2,a1,c-d-1,则b-的最大值为() A.22+1 B.25-1 C.√2+1 D.√2-1 4.已知向量a,b,c,满足a=b日a-b=a+b-c=1,记c的最大值为M,最小值为m,则M+m= () A.2W3 B.2 C. D.1 5.在△ABC中，对于任意的实数k都满足1-k8≥B,则角B的最小值是() A.30 B.45 C.60 D.90 【巩固练习】 1.若OA=8,O8=5,则的取值范围是 2.已知a、万、c、i都是平面向量，且a=2a-1=5a-d=1,若位，d-牙，则-d+c-d的最 小值为 3.已知OA=1,OB=2,平面上的任意点M关于点A的对称点为S,点S关于点B的对称点为N,则 的最小值为 8/10 专题6.3平面向量的减法运算 高中数学导学案 三、达标检测 《平面向量的减法运算》小题检测 (限时30分钟，满分73分) 一、单选题（每小题5分，共40分） 1.化简：AB+OA-OB=() A.0 B.BA C.2B D.-2AB 2.已知A,B,C,D为同一平面内的四点，则AB-AC+BD=() A.CB B.CD C.BC D.DC 3.平行四边形ABCD中，BC+BA-CD等于() A.CB B.BC C.DC D.AC 4.下列化简结果错误的是() A.AB+BC+CA=0 B.(AB+MB)+BO+OM=AB C.OA-OD+AD-0 D.AB-AD-DC=BC 5.如图，点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是() D A.AB-AD=BD B.OA-OC=0 C.BD-CD=BC D.BO+OC=DA 6.下列向量关系式中，正确的是() A.MN=NM B.AB+AC=BC C.AB+CA-BC D.MN+NP+PO=MO 7.已知△ABC是正三角形，则下列等式中不成立的是() A.4B+BC=BC+CA B.AC+CB=B4+BC C.4B+4C-cA+CB D.4B+BC+AC-CB+BA+CA 8.已知向量a=2,b1=3,则|2a-b1的取值范围为() A.[2,9] c.[17] D.(0,可 二、多选题（每小题6分，共18分） 9.下列式子中，化简结果为AD的有() A.MB+DA+BM B.(AD+MB)+(BC+CM)C.AB+CD+BC D.OC+CD+AO 9/10 专题6.3平面向量的减法运算 高中数学导学案 10.(多选)下列各式中结果为零向量的为() A.O4+OC+BO+CO B.AB+MB+BO+OM C.AB-(AC-BD-CD D.AB+BC+CA 11.下列命题为真命题的是() A.AB-AM=MB B.零向量与任意向量共线 C.互为相反向量的两个向量的模相等 D.若向量a,b满足园=1，=4，则3≤a+b≤5 三、填空题（每小题5分，共15分） 12.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且BC=4,AB+AC-B-AC,则M= 13.若A=7,AC=4，则BC的取值范围是 14.已知向量ā，五满足a=2,=8,则a+d的最小值为 ,当且仅当a与b的方向 时取得最小值 10/10专题6.3 平面向量的减法运算 高中数学导学案 专题6.3 平面向量的减法运算 一、知识填空 1.相反向量：与向量长度 ，方向 的向量，叫做的相反向量，记作 . 2.常用结论： （1）规定：零向量的相反向量仍是 . （2）和－互为相反向量，于是－(－)＝ . （3）＋(－)＝(－)＋＝ . （4）如果，互为相反向量，那么＝－，＝－，＋＝ . 3. 向量的减法：求两个向量差的运算，－＝＋(－)，即减去一个向量相当于加上这个向量的 . 4. 向量减法的作图方法： 已知向量，，在平面内任取一点O，作＝，＝，则＝ . 5. 向量减法的几何意义： 如果把两个向量，的起点放在一起，则－可以表示为从向量的 指向向量的 的向量. 如图所示： 6、向量的三角形不等式:由向量的三角形法则，可以得到 （1）当不共线时:； （2）当同向时:,； （3）当反向时:,； 自检自纠：1.相等 相反 2. （1）零向量 （2） （3） （4）0 3.相反向量 4. 5. 终点 终点 二、考点专练 地 城 考点01 平面向量的减法及其运算律 【经典例题】 1．化简所得的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】.故选：B. 2．（多选）下列能化简为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，，正确； 对于B，，正确； 对于C，，正确； 对于D，，不正确. 故选：ABC. 3．（多选）下列向量运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：ABD. 4．（多选）化简下列各式，其结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【详解】对于A，，A正确；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，，D正确.故选：ABCD 5．下列说法正确的是（   ） A．两个方向相同的向量之差等于 B．两个相等向量之差等于 C．两个相反向量之差等于 D．两个平行向量之差等于 【答案】B 【详解】根据向量减法的几何意义，两个相等向量之差等于，故B正确；两个方向相同的向量，若模不相等，则其差不为零向量，故A错误；C. 两个非零的相反向量与，其差为，故C错误；D.两个平行向量，方向可能相同或相反，模也可能不同，它们的差不一定为零向量，故D错误. 故选：B 6．下列等式：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】因为，又任意向量加上零向量等于这个向量，所以，故①正确； 由相反向量的性质可得，②正确；由相反向量的定义及向量的加法法则可得，③正确；根据向量的加法性质可得，④正确；根据向量的减法的定义可得，⑤正确； 根据向量减法的定义可得，⑥正确；故选：D. 【变式训练】 1．（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【详解】.故选：D 2．下列四个式子中可以化简为的是（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 【答案】A 【详解】依题意，，①正确；假定，则，即，因此，无法确保，假设是错的，②错误；是为一组邻边的平行四边形的以点为起点的对角线所对应的向量，不等于，③错误；，④正确.故选：A 3．（多选）下列各式中结果为零向量的为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于选项A：，故选项A错误；对于选项B：，故选项B错误；对于选项C：，故选项C正确；对于选项D：，故选项D正确，故选：CD． 4．下列结果不是零向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A中，由，所以A不符合题意； 对于B中，由，所以B符合题意； 对于C中，由，所以C不符合题意； 对于D中，由，所以D不符合题意. 故选：B. 5．给出下列命题，正确的命题为（   ） A．向量的长度与向量的长度相等 B．向量与平行，则与的方向相同或相反 C．与方向相反 D．若非零向量与非零向量的方向相同或相反，则与之一的方向相同 【答案】A 【详解】对于A，向量的长度相等，方向相反，命题成立;对于B，当或为零向量时，命题不成立；对于C，若与方向相反时，有，反过来，若，当或为零向量时，不能推出与方向相反，命题不成立；对于D，当时，因为零向量的方向任意，所以这时的方向不与的方向相同，命题不成立.故选：A. 6．下列四个等式：①；②；③；④．其中正确的为（    ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【详解】对于①，，原等式正确；对于②，，原等式正确；对于③，，原等式正确；对于④，，原等式错误．故选：C 【巩固练习】 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据向量的线性运算法则，可得.故选：A. 2．下列命题中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，故A错误；因为，故B错误；因为，故C错误；根据向量加法的三角形法则可知，故D正确.故选：D 3．（多选）下列式子中，化简结果为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，因为，所以A错误， 对于B，因为，所以B正确， 对于C，因为，所以C正确， 对于D，因为，所以D正确， 故选：BCD. 4．（多选）下列所表示的向量式子中，化简后等于零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，， ，.故选：ACD 【经典例题】地 城 考点02 平面向量加法的几何应用 1．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则（   ）   A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据向量减法的三角形法则，可得，画出向量，结合图像，通过平移即可发现．故选：C.   2．如图，设，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】.故选：A 3．已知O为平行四边形所在平面上一点，且，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取线段的中点分别为点，如图， 对于A，，很显然，不一定为，所以不一定为，所以A错误； 对于B，，因为，所以，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，因为，所以，D正确. 故选：D. 4．已知菱形的边长为2，则向量__________.   【答案】2 【详解】由图知.故答案为：2 5．对于任意三个向量，下列命题中正确的序号是______. ①若则 ② ③ ④若满足，且与反向，则 【答案】③ 【详解】对于①，由于零向量与任意向量均共线，则当时，不确定的关系，错误；对于②，显然若时，，错误；对于③，根据三角形三边关系及向量加法的三角形法则知，当且仅当两向量共线同向时取得等号，正确；对于④，由向量的定义知，向量不能比大小，错误.故答案为：③ 6．设，是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为（　） ①　②　③　④　⑤　⑥ A．①②⑥ B．①③⑥ C．①③⑤ D．②③④⑤ 【答案】C 【详解】由向量加法的结合律，可得，已知是任一非零向量，对各个结论进行判断： ①：零向量与任何向量平行，故正确； ②等式左边，右边，但，故错误； ③等式左边，右边，故正确； ④不等式左边，右边，两者相等，故不等式不成立，故错误； ⑤等式左边，右边，相等，故正确； ⑥不等式左边，右边，两者相等，故不等式不成立，故错误. 因此，正确的结论为①③⑤，故选：C 【变式训练】 1．在平行四边形中，为的中点．记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为四边形是平行四边形，所以，又因为为的中点，所以， 在平行四边形中，，.故选：A. 2．如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ ，∴.故选：A. 3．如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，利用三角形定则可得，故A错误， 对于B，因为，故B错误， 对于C，因为E是的中点，所以，故C错误 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：D 4．已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，因为四边形ABCD为平行四边形， 所以，即，整理得.故选：B 5．四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】D 【详解】因为，则，即，可知两边平行且相等，所以四边形是平行四边形，但没有足够条件判断是否为矩形、菱形或正方形，故ABC错误，D正确.故选：D. 6．（多选）已知，为非零向量，则下列命题中正确的是（   ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与模相等 D．若，则与方向相同 【答案】ABD 【详解】如图，根据平面向量的平行四边形或三角形法则，当，不共线时，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边有．当，同向时有，，所以A,D正确，C错误．当，反向时有，，所以B正确．故选：ABD. 7．已知非零向量满足，则___________. 【答案】 【详解】如图当时，为等边三角形，则为线段的长度，所以.故答案为：.   8．若是非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】如图作，设，，由向量加法的平行四边形法则知：由可得是菱形，因菱形的对角线不一定相等，故不一定成立，即充分性不成立；又由可得是矩形，因矩形的一组邻边不一定相等，故也不一定成立，即必要性不成立.故“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D. 9．若不共线的两个向量，满足，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设，，则，由已知，有，所以三角形 为等腰三角形.设C为 的中点，则 ，且，所以，即，所以.故选：C. 【巩固练习】 1．在四边形中，，则一定有（    ） A．四边形是矩形 B．四边形是菱形 C．四边形是梯形 D．四边形是平行四边形 【答案】D 【详解】因为，所以，即且，所以四边形的一组对边平行且相等，所以四边形是平行四边形，故选：D． 2．在平行四边形中，为线段的中点，且，则（    ） A．为线段的中点 B．为线段的中点 C．为线段的中点 D．为线段的中点 【答案】C 【详解】如图，在平行四边形中，由向量的减法法则得， 因为，所以，因为为线段的中点，所以， 由平行四边形性质得，故，则为线段的中点，故C正确.故选：C 3．如图，在平行四边形中，，，则可以表示为（    ）     A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，，因为，，所以.故选：B 4．如图，在平行四边形ABCD中，下列计算结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为四边形为平行四边形，对A，，正确；对B，，错误；对C，，正确；对D，，正确.故选：B. 5．如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题图可知，.故选：C. 6．已知平面内任意两个向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当向量同向或至少有一个为零向量时，，故A错误；当时，，故BC错误；若，为共线向量且方向相同，则有，若向量方向相反，则有.若，不共线，如图，令，，则，所以， 综上，故D正确.故选：D. 7．对于非零向量，，当且仅当____________时，有． 【答案】与同向 【详解】当，不同向时，根据向量减法的几何意义，可知一定有，所以只有两向量同向时，才有．故答案为：与同向. 8．任给两个向量和，则下列式子恒成立的有________________． ①            ② ③            ④ 【答案】②③ 【详解】①根据向量加法的平行四边形法则，得，则①不恒成立； ②根据向量减法的三角形法则，得，则②恒成立； ③根据向量减法的三角形法则，得，则③恒成立； ④根据向量减法的三角形法则，得，则④不恒成立. 故答案为：②③. 【经典例题】地 城 考点03 平面向量减法求最值及范围问题上的应用 1．设，则的最大值与最小值分别为________. 【答案】， 【详解】由题意，当向量与共线且反向时，可得；当向量与共线且同向时，可得.故答案为：，. 2．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，所以，所以， 则，故C正确.故选：C. 3．平面内有向量满足，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，则有，如图，，，延长至，使得，，，则有，得，.当三点共线且在线段上时，的最小值是.故选：B 4．已知是半径为5的圆上的两条动弦，，则最大值是（    ）    A．7 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【详解】如图，连接，作，，易知是的中点，是的中点，由勾股定理得，，故， 故，当反向时等号成立，故C正确.故选：C 【变式训练】 1．已知向量，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得．故选：C 2．若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由向量模长的三角不等式可得，当且仅当、的方向相同时，等号成立； ，当且仅当、的方向相反时，等号成立，因此，的取值范围是，故选：A． 3．已知向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如下图所示：圆的半径为1，设，因为，所以点在圆上， 则，由图可知，，即的最大值为.故选：A 4．已知向量，，，满足，记的最大值为，最小值为，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】在中，设，则，因为，即，所以为等边三角形，以为邻边作平行四边形，设交于点，可得，则，因为，取的起点为，可知的终点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆，如图，当点为的延长线与圆的交点时，的最大值为；当点为线段与圆的交点时，的最小值为；所以.故选：A.   5．在中，对于任意的实数k都满足，则角B的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于任意的实数k都满足，即，可得即为边上的高，设为，所以，可得，因为，则角B的最小值是. 故选：A.       【巩固练习】 1．若，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】，当同向共线时，；当反向共线时，；当不共线时，由，可得. 综上可得.故答案为：. 2．已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为____________． 【答案】 【详解】作图，，则，，因为，所以起点在原点，终点在以B为圆心，1为半径的圆上；同理，，所以起点在原点，终点在以C为圆心，1为半径的圆上，所以的最小值则为，因为，，当，，三点共线时，，所以.故答案为：. 3．已知，，平面上的任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则的最小值为________． 【答案】2 【详解】如图所示，因为AB是的中位线，所以，因为， 所以．故答案为：2. 三、达标检测 《平面向量的减法运算》小题检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．化简：（  　 ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故选：A. 2．已知，，，为同一平面内的四点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】．故选：B． 3．平行四边形ABCD中，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在平行四边形ABCD中，，所以，故选：B. 4．下列化简结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对A，原式，正确； 对B，原式，正确； 对C，原式，正确； 对D，原式，错误. 故选：D． 5．如图，点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】,A选项错误;因为ABCD是平行四边形, 点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点,,B选项错误;,C选项正确;,D选项错误. 故选：C. 6．下列向量关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，A选项错误；，B选项错误；，C选项错误； 由向量加法的运算法则，有，D选项正确.故选：D. 7．已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，因为，,所以，故正确； 对于B，因为,(为中点)，故错误；对于C，因为(为中点),(为中点),所以，故正确；对于D，因为，， 所以，故正确.故选：B. 8．已知向量，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得．故选：C 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．下列式子中，化简结果为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，因为，所以A错误， 对于B，因为，所以B正确， 对于C，因为，所以C正确， 对于D，因为，所以D正确， 故选：BCD. 10．（多选）下列各式中结果为零向量的为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于选项A：，故选项A错误； 对于选项B：，故选项B错误； 对于选项C：，故选项C正确； 对于选项D：，故选项D正确， 故选：CD． 11．下列命题为真命题的是（    ） A． B．零向量与任意向量共线 C．互为相反向量的两个向量的模相等 D．若向量满足，则 【答案】ABCD 【详解】对于A：，A正确；对于B：零向量与任意向量共线，B正确；对于C：互为相反向量的两个向量，大小相同，方向相反，C正确；对于D：由可得当时，，D正确；故选：ABCD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且，，则________. 【答案】2 【详解】以为邻边作平行四边形，如图所示，由向量加减法的几何意义，可知，因为，所以，又由，且为线段的中点，所以.故答案为：. 13．若，，则的取值范围是______________. 【答案】 【详解】由题意知，，且，当，同向时，取得最小值，；当，反向时，取得最大值，；当，不共线时，，故的取值范围是.故答案为：. 14．已知向量满足，，则的最小值为__________，当且仅当与的方向__________时取得最小值． 【答案】 6 相反 【分析】利用向量不等式得到，与的方向相反时，等号成立，得到答案. 【详解】，当且仅当与的方向相反时等号成立，取得最小值． 故答案为：6，相反 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $专题6.3 平面向量的减法运算 高中数学导学案 专题6.3 平面向量的减法运算 一、知识填空 1.相反向量：与向量长度 ，方向 的向量，叫做的相反向量，记作 . 2.常用结论： （1）规定：零向量的相反向量仍是 . （2）和－互为相反向量，于是－(－)＝ . （3）＋(－)＝(－)＋＝ . （4）如果，互为相反向量，那么＝－，＝－，＋＝ . 3. 向量的减法：求两个向量差的运算，－＝＋(－)，即减去一个向量相当于加上这个向量的 . 4. 向量减法的作图方法： 已知向量，，在平面内任取一点O，作＝，＝，则＝ . 5. 向量减法的几何意义： 如果把两个向量，的起点放在一起，则－可以表示为从向量的 指向向量的 的向量. 如图所示： 6、向量的三角形不等式:由向量的三角形法则，可以得到 （1）当不共线时:； （2）当同向时:,； （3）当反向时:,； 自检自纠：1.相等 相反 2. （1）零向量 （2） （3） （4）0 3.相反向量 4. 5. 终点 终点 二、考点专练 地 城 考点01 平面向量的减法及其运算律 【经典例题】 1．化简所得的向量是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）下列能化简为的是（   ） A． B． C． D． 3．（多选）下列向量运算正确的有（    ） A． B． C． D． 4．（多选）化简下列各式，其结果为的是（   ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（   ） A．两个方向相同的向量之差等于 B．两个相等向量之差等于 C．两个相反向量之差等于 D．两个平行向量之差等于 6．下列等式：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练】 1．（    ） A． B．0 C． D． 2．下列四个式子中可以化简为的是（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 3．（多选）下列各式中结果为零向量的为（   ） A． B． C． D． 4．下列结果不是零向量的是（   ） A． B． C． D． 5．给出下列命题，正确的命题为（   ） A．向量的长度与向量的长度相等 B．向量与平行，则与的方向相同或相反 C．与方向相反 D．若非零向量与非零向量的方向相同或相反，则与之一的方向相同 6．下列四个等式：①；②；③；④．其中正确的为（    ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④ 【巩固练习】 1．（    ） A． B． C． D． 2．下列命题中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（多选）下列式子中，化简结果为的有（    ） A． B． C． D． 4．（多选）下列所表示的向量式子中，化简后等于零向量的是（    ） A． B． C． D． 【经典例题】地 城 考点02 平面向量加法的几何应用 1．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则（   ）   A． B． C． D． 2．如图，设，，，则等于（　　） A． B． C． D． 3．已知O为平行四边形所在平面上一点，且，，，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知菱形的边长为2，则向量__________.   5．对于任意三个向量，下列命题中正确的序号是______. ①若则 ② ③ ④若满足，且与反向，则 6．设，是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为（　） ①　②　③　④　⑤　⑥ A．①②⑥ B．①③⑥ C．①③⑤ D．②③④⑤ 【变式训练】 1．在平行四边形中，为的中点．记，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（    ） A． B． C． D． 5．四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 6．（多选）已知，为非零向量，则下列命题中正确的是（   ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与模相等 D．若，则与方向相同 7．已知非零向量满足，则___________. 8．若是非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．若不共线的两个向量，满足，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．在四边形中，，则一定有（    ） A．四边形是矩形 B．四边形是菱形 C．四边形是梯形 D．四边形是平行四边形 2．在平行四边形中，为线段的中点，且，则（    ） A．为线段的中点 B．为线段的中点 C．为线段的中点 D．为线段的中点 3．如图，在平行四边形中，，，则可以表示为（    ）     A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形ABCD中，下列计算结果错误的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 6．已知平面内任意两个向量，，则（    ） A． B． C． D． 7．对于非零向量，，当且仅当____________时，有． 8．任给两个向量和，则下列式子恒成立的有________________． ①            ② ③            ④ 【经典例题】地 城 考点03 平面向量减法求最值及范围问题上的应用 1．设，则的最大值与最小值分别为________. 2．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．平面内有向量满足，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．已知是半径为5的圆上的两条动弦，，则最大值是（    ） A．7 B．12 C．14 D．16 【变式训练】 1．已知向量，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，，满足，记的最大值为，最小值为，则（    ） A． B．2 C． D．1 5．在中，对于任意的实数k都满足，则角B的最小值是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．若，则的取值范围是__________. 2．已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为____________． 3．已知，，平面上的任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则的最小值为________． 三、达标检测 《平面向量的减法运算》小题检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．化简：（  　 ） A． B． C． D． 2．已知，，，为同一平面内的四点，则（    ） A． B． C． D． 3．平行四边形ABCD中，等于（    ） A． B． C． D． 4．下列化简结果错误的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 6．下列向量关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 8．已知向量，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．下列式子中，化简结果为的有（    ） A． B． C． D． 10．（多选）下列各式中结果为零向量的为（   ） A． B． C． D． 11．下列命题为真命题的是（    ） A． B．零向量与任意向量共线 C．互为相反向量的两个向量的模相等 D．若向量满足，则 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且，，则________. 13．若，，则的取值范围是______________. 14．已知向量满足，，则的最小值为__________，当且仅当与的方向__________时取得最小值． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $专题6.3平面向量的减法运算 高中数学导学案 专题6.3平面向量的减法运算 一、知识填空 1.相反向量：与向量a长度 ，方向 的向量，叫做α的相反向量，记作 2.常用结论： (1)规定：零向量的相反向量仍是 (2)a和-a互为相反向量，于是-(-a)= (3)a+(-a)=(-a)+a= (4)如果a,b互为相反向量，那么a=-方，万=-a,a+i=一 3.向量的减法：求两个向量差的运算，a-方=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量 的 4.向量减法的作图方法： 已知向量a,五，在平面内任取一点O,作OA=a,O=b,则BA= 5.向量减法的几何意义： 如果把两个向量，b的起点放在一起，则一b可以表示为从向量b的 指向向量a的 的 n- 向量.如图所示：0 6、向量的三角形不等式：由向量的三角形法则，可以得到 (1)当a,6不共线时：a-1b<a±bKa+1: (2)当a,b同向时a+bHa+b1,a-b=|a-b列： (3)当a,b反向时：a-Ha+b1,a+b=ab列： 自检自纠：1.相等相反-a2.(1)零向量(2)a(3)0(4)03.相反向量4a-b 5.终点终点 1/19 专题6.3平面向量的减法运算 高中数学导学案 二、考点专练 目目 考点01 平面向量的减法及其运算律 【经典例题】 1.化简PM-PN+MN-NP所得的向量是() A.PM B.PN C.0 D.MN 【答案】B 【详解】PM-PN+MN-NP=M+M-NP=-WP=PN.故选：B. 2.(多选)下列能化简为PQ的是() A.OC-QP+CO B.B+(PA+BO)C.(4B+PC)+(BA-QC)D.PA+4B-BO 【答案】ABC 【详解】对于A,QC-QP+CO=PC+CO=PO,正确： 对于B,AB+(PA+BO)=AB+PA+BO=PB+BO=PO,正确： 对于C,(AB+PC)+(BA-OC=(AB+BA{PC+Cg0+PO=PC,正确： 对于D,PA+AB-BQ=PB-BQ≠PO,不正确. 故选：ABC 3.(多选)下列向量运算正确的有() A.AB+CD+BC=AD B.MC-NC-MN C.PA+AB-BO=PO D.AB-(AC-BD-CD=0 【答案】ABD 【详解】对A:AB+CD+BC=AB+BC+CD=AD,故A正确： 对B:MC-NC=M+CN=MN,故B正确： 对C:PA+AB-BO=PB-BO≠PO,故C错误； 对D:AB-(AC-BD)CD=AB-AC+BD-CD=B+BD)C+CDAD-AD=0,故D正确 故选：ABD 4.(多选)化简下列各式，其结果为0的是() A.AB-(CB-CA)B.AB-AC+BD-CD C.OA-OD+AD D.NO+OP+MIN-MP 【答案】ABCD 2/19 专题6.3平面向量的减法运算 高中数学导学案 【详解】对于A,AB-(CB-CA=AB-AB=O,A正确：对于B, AB-AC+BD-CD=AB+BD-(AC+CD=AD-AD=0,B正确；对于C,OA-OD+AD=DA+AD=0,C正确； 对于D,NO+OP+MN-MP=NWP+PN=0,D正确.故选：ABCD 5.下列说法正确的是() A.两个方向相同的向量之差等于0 B.两个相等向量之差等于0 C.两个相反向量之差等于0 D.两个平行向量之差等于0 【答案】B 【详解】根据向量减法的几何意义，两个相等向量之差等于0，故B正确：两个方向相同的向量，若模不 相等，则其差不为零向量，故A错误；C.两个非零的相反向量a与-a,其差为a-（-a)=2a≠0，故C错 误：D.两个平行向量，方向可能相同或相反，模也可能不同，它们的差不一定为零向量，故D错误 故选：B 6.下列等式：①0-a=-a;②-(-a)=a;③a+(-a)=0;④a+0=a:⑤a-b=a+(-b)；⑥a-i=0. 正确的个数是() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D 【详解】因为0-a=0+(-动，又任意向量加上零向量等于这个向量，所以0-ā=-ā，故①正确： 由相反向量的性质可得-(-a)=ā，②正确：由相反向量的定义及向量的加法法则可得a+(-a)=O,③正 确；根据向量的加法性质可得a+0=a,④正确：根据向量的减法的定义可得a-b=ā+(-b),⑥正确： 根据向量减法的定义可得a-a=a+(-a)=O,⑥正确；故选：D 【变式训练】 1.AB-AD+BC-DC=( A.2BD B.0 C.BD D.0 【答案】D 【详解】AB-AD+BC-DC=AB+BC-4D+DC上AC-AC=0.故选：D 2.下列四个式子中可以化简为A正的是() ①AC+CD-BD;②AC-CB;③OA+OB;④OB-OA A.①④ B.①② C.②③ D.③④ 【答案】A 3/19 专题6.3平面向量的减法运算 高中数学导学案 【详解】依题意，AC+CD-BD=AD-BD=AD+DB=AB,①正确：假定AC-CB=AB,则 AC-CB=AC+CB,即-CB=CB,因此CB=0,无法确保CB=0,假设是错的，②错误；OA+OB是OA,OB 为一组邻边的平行四边形的以点O为起点的对角线所对应的向量，不等于A4B，,③错误；OB-OA=AB, ④正确.故选：A 3.(多选)下列各式中结果为零向量的为() A.04+OC+BO+CO B.AB+MB+BO+OM C.AB-(AC-BD)-CD D.4B+BC+CA 【答案】CD 【详解】对于选项A:OA+OC+BO+CO=OA+BO=BA≠0，故选项A错误：对于选项B: AB+MB+BO+OM=(B+BO OM+MB上AO+OB=AB≠0，故选项B错误：对于选项C: AB-(AC-BD)CD=AB-AC+BD-CD=B+BD)C+CDAD-AD=0,故选项C正确：对于 选项D:AB+BC+CA=AC+CA=0,故选项D正确，故选：CD 4.下列结果不是零向量的是() A.AB+CA+BC B.AB-(BC+CA C.CA-(CB-AB)D.AB-AC+BC 【答案】B 【详解】对于A中，由AB+CA+BC=AB+BC)+CA=AC+CA=0,所以A不符合题意： 对于B中，由AB-(BC+CA)=AB-BA=AB+AB=2AB,所以B符合题意： 对于C中，由CA-(CB-AB)=(CA-CB +AB=BA+AB=O,所以C不符合题意； 对于D中，由AB-AC+BC=CB+BC=0,所以D不符合题意. 故选：B 5,给出下列命题，正确的命题为() A.向量AB的长度与向量BA的长度相等 B.向量a与6平行，则a与的方向相同或相反 c.国+5=a-台a与6方向相反 D.若非零向量a与非零向量五的方向相同或相反，则ā+6与ā，b之一的方向相同 【答案】A 【详解】对于A,向量AB与向量BA的长度相等，方向相反，命题成立；对于B,当ā或为零向量时，命 题不成立：对于C,若a与方向相反时，有d+=点-b,反过来，若同+=a-b列，当ā或6为零向 4/19 专题6.3平面向量的减法运算 高中数学导学案 量时，不能推出ā与五方向相反，命题不成立；对于D,当ā+b=0时，因为零向量的方向任意，所以这 时a+B的方向不与ā，b的方向相同，命题不成立.故选：A 6.下列四个等式：①-(-)=d;②6+a=;③+(-b)=a-b;④a-a=0.其中正确的为() A.①③④ B.①②④ C.①②③ D.②③④ 【答案】C 【详解】对于①，-（-a)=a,原等式正确：对于②，0+a=a,原等式正确：对于③，a+(-b)=a-b, 原等式正确；对于④，a-a=0,原等式错误.故选：C 【巩固练习】 1.NM+BM+AB-AM=() A.NM B.MN C.AN D.BN 【答案】A 【详解】根据向量的线性运算法则，可得M+BM+AB-AM=NM+BM+MB=NM.故选：A. 2.下列命题中一定正确的是() A.OA-OB=AB B.AB+BA=0 C.0-AB=0 D.AB+BC+CA=0 【答案】D 【详解】因为OA-OB=BA,故A错误；因为AB+BA=O,故B错误；因为0-AB=-AB=BA,故C错 误；根据向量加法的三角形法则可知AB+BC+C=0,故D正确故选：D 3.(多选)下列式子中，化简结果为AD的有() A.MB+DA+BM B.(AD+MB)+(BC+CM)C.AB+CD+BC D.OC+CD+AO 【答案】BCD 【详解】对于A,因为MB+DA+BM=MB+BM+DA=OHDA=DA,所以A错误， 对于B,因为(AD+MB)+(BC+CM)=AD+MB+BM=AD+O=AD,所以B正确， 对于C,因为AB+CD+BC=AB+BC+CD=AC+CD=AD,所以C正确， 对于D,因为OC+CD+AO=OD-OA=AD,所以D正确， 故选：BCD 4.(多选)下列所表示的向量式子中，化简后等于零向量的是() A.AB+BC+CA B.AB+BC+AC C.CB-AB-CA D.AM-OB+OA-BM 【答案】ACD 【详解】因为AB+BC+CA=0,CB-AB-CA=(CB-CA-AB=AB-AB=0, 5/19 专题6.3平面向量的减法运算 高中数学导学案 M-OB+OA-BM=M+MB+OA-OB=AB+BA=0,AB+BC+AC=2AC≠0.故选：ACD 目目 考点02 平面向量加法的几何应用 【经典例题】 1.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则OP-O0=() 0 E A.00 B.G五 C.EH D.OF 【答案】C 【详解】根据向量减法的三角形法则，可得OP-O0=QP，画出向量OP-OQ,结合图像，通过平移即可 发现OP-OO=QP=Ei.故选：C 2.如图，设AB=a,AD=b,BC=c,则DC等于() A.a-B+c B.B-(a+e)C.a+B+c D.B-a+c 【答案】A 【详解】DC=DA+AB+BC=-AD+AB+BC=-b+a+C.故选：A 3.己知O为平行四边形ABCD所在平面上一点，且OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,则() A.a+b+c+d=0 B.a-b-c+d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-B+c-d=0 【答案】D 【详解】取线段AB,CD的中点分别为点E,F,如图， 对于A,a+b+c+d=OA+OB+OC+OD=2OE+2OF,很显然，2O+2OF不一定为0，所以a+b+c+d 不一定为0，所以A错误： 对于B,a-b-c+d=OA-OB-OC+OD=BA+CD,因为BA=CD,所以a-b-c+d=2BA≠0，B错误； 对于C,a+b-c-d=OA+OB-OC-OD=CA+DB≠0，C错误： 对于D,a-b+c-d=QA-OB+OC-OD=BA+DC,因为BA=CD=-DC,所以a-b+c-d=0,D正确 6/19 专题6.3平面向量的减法运算 高中数学导学案 故选： D 4.已知菱形ABCD的边长为2，则向量AB-BC+CD 【答案】2 【详解】由图知AB-BC+CD=AB+CB+CDAB+CA上西上2.故答案为：2 5.对于任意三个向量，五，c,下列命题中正确的序号是 ①若a6,/c则a1c②a-s同-B⑧a+s+④若a,万满足同<，且a与b反向，则a>b 【答案】③ 【详解】对于①，由于零向量与任意向量均共线，则当=0时，不确定4，c的关系，错误：对于②，显然 若d<时，ā->0，-k0,错误：对于③，根据三角形三边关系及向量加法的三角形法则知 ā+≤+5，当且仅当两向量共线同向时取得等号，正确：对于④，由向量的定义知，向量不能比大小， 错误故答案为：③ 6.设ā=(AB+cD+(BC+DA,i是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为() ①a/i②a+b=a ③a+i=i④la+b<+5l⑤la+b=+5l⑥la+b>+5 A.①②⑥ B.①③⑥ C.①③⑤ D.②③④⑤ 【答案】C 【详解】由向量加法的结合律，可得ā=(AB+CD)+BC+DA上AB+BC+CD+DA=0,己知方是任一非 零向量，对各个结论进行判断： ①a/乃：零向量与任何向量平行，故正确： ②等式左边=0+b=b,右边=0，但≠0，故错误： ③等式左边=b,右边=b,故正确： ④不等式左边=⑤，右边=0+=，两者相等，故不等式不成立，故错误： ⑤等式左边=，右边=，相等，故正确： ⑥不等式左边=，右边=，两者相等，故不等式不成立，故错误。 7/19 专题6.3平面向量的减法运算 高中数学导学案 因此，正确的结论为①③⑤，故选：C 【变式训练】 1.在平行四边形ABCD中，M为CD的中点.记AB=a,AD=b,则MB=() - B.-a-8 e. D. -1a+6 2 【答案】A 【详解】因为四边形ABCD是平行四边形，所以Dc=AB=a,又因为M为CD的中点，所以Mc=DC=a, 在平行四边形中，C=AD-万，历=-C+C西-五-6放选：A 2.如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，OA=a,OB=五，OC=c,则OD等于() A.a-b+c B.a+b+c C.a-b-c D.a+b-c 【答案】A 【详解】，BA=OA-OB=a-b,CD=BA=a-五，∴.OD=OC+CD=a-b+c.故选：A. 3.如图，在△ABC中，AB=3AD,E是CD的中点.设CA=a,CB=b.则正确的是() D A.丽=a-6B.cD=a+2bc.c2=a+6D.AD=五-a 3 3 33 【答案】D 【详解】对于A,利用三角形定则可得AB=AC+CB=-a+b,故A错误， 对于B.因为C0-+而-+兮--+可+aa+5,故B错误， 3 23 对于C,因为B是cD的中点，所以C亚=cD=,尼a+D)=a+力，赦c错误 2 233 3 6 对于D.因为西=，所以4D(a+6五，放D正确 故选：D 4.已知OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,且四边形ABCD为平行四边形，则() A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0 8/19 专题6.3平面向量的减法运算 高中数学导学案 【答案】B 【详解】由题意AB=OB-OA=i-a,DC=OC-OD=c-d,因为四边形ABCD为平行四边形， 所以AB=DC,即i-a=c-d,整理得a-b+c-d=0.故选：B 5.四边形ABCD中，O为任意一点，若OA-OB+OC-OD=0,则四边形ABCD一定是() A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形 【答案】D 【详解】因为OA-OB+OC-OD=0,则BA+DC=0,即AB=DC,可知AB,CD两边平行且相等，所以 四边形ABCD是平行四边形，但没有足够条件判断ABCD是否为矩形、菱形或正方形，故ABC错误，D 正确故选：D 6.(多选)已知，6为非零向量，则下列命题中正确的是() A.若|a+b曰a+b1,则a与6方向相同B.若a+b1=a-b1,则a与6方向相反 C.若a+bHa-l,则a与模相等D.若‖a-1ba-,则a与方向相同 【答案】ABD 【详解】如图，根据平面向量的平行四边形或三角形法则，当，五不共线时，根据三角形两边之和大于 第三边，两边之差小于第三边有川a-b<ā±ba+|b1.当a,同向时有|a+b日a+b1, la-ba-b1,所以A,D正确，C错误.当a,反向时有|ā+ba-b,|a+b=a-b1,所以 a+b B正确，故选：ABD 7.已知琴向量ā6满起月-月=6-孔则司 a-b 【答案】 3 【详解】如图当同==a-b时，△ABC为等边三角形，则ā+b为线段AD的长度，所以 a-b 故答案为： 3 a+b =tan30°=3 a-i 8.若a,b是非零向量，则|a曰b1”是a+b曰a-b1”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 9/19 专题6.3平面向量的减法运算 高中数学导学案 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】如图作ABCD,设AB=a,AD=b,由向量加法的平行四边形法则知：由|ā曰b1可得ABCD 是菱形，因菱形的对角线不一定相等，故]ā+b曰a-b1不一定成立，即充分性不成立；又由a+b=a-b 可得ABCD是矩形，因矩形的一组邻边不一定相等，故|a=b|也不一定成立，即必要性不成立.故|a=b” 是“|a+b日a-b”的既不充分也不必要条件.故选：D. 9.若不共线的两个向量a,b满足ā-五b,则下列结论一定正确的是() A.2a2a-b B.2ak 2a-b C.2ba-2b D.2ba-2b 【答案】c 【详解】如图，设OA=a,OB=b,则BA=a-b,由已知|a-bb1,有1OB曰BA,所以三角形OAB 为等腰三角形设C为O4的中点，则BC101,且元=五-6，所以1o88C,即五-1，所 以川2b以a-2b1.故选：C 【巩固练习】 1.在四边形ABCD中，AC=AB+AD,则一定有() A.四边形ABCD是矩形 B.四边形ABCD是菱形 C.四边形ABCD是梯形 D.四边形ABCD是平行四边形 【答案】D 【详解】因为AC=AB+AD,所以AD=AC-AB=BC,即AD=BC且AD//BC,所以四边形ABCD的 一组对边平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形，故选：D. 2.在平行四边形ABCD中，E为线段AB的中点，且AF=AD+AE,则() A.F为线段AD的中点 B.F为线段BC的中点 C.F为线段CD的中点 D.F为线段BD的中点 【答案】C 10/19