6.2.1 向量的加法运算 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

课题6.2.1　向量的加法运算 班级： 姓名： 组别： 评价： 【学习目标】 1、 借助位移的合成与力的合成，掌握平面向量的加法运算法则并理解其几何意义。 2、 掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则； 3、 理解向量加法的运算律，并明确运算律的验证思路，能够运用向量的加法运算法则解决实际问题。 【知识梳理】 1.向量加法的定义及其运算法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法 法则 三角形法则 前提 已知非零向量a，b 作法 在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量 结论 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 图形 法则 平行四边形法则 前提 已知不共线的两个向量a，b 作法 在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB 结论 对角线就是a与b的和 图形 规定 对于零向量与任一向量a，我们规定a＋00a＝a 温馨提示： (1)两个法则的使用条件不同． 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和． (2)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同． (3)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型． 2．|a＋b|，|a|，|b|之间的关系 一般地，|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立． 3．向量加法的运算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 【核心任务】 探究一 平面向量加法及其几何意义 例1 如图，已知向量，求作向量 (1)应用三角形法则求向量和的基本步骤 ①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合； ②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和． (2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 ①平移两个不共线的向量使之共起点； ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形； ③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和． 训练1 如图，已知向量，求作和向量. 【解】　法一：可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即a＋b＋c.如图，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，接着作向量＝c， 则得向量＝a＋c，然后作向量＝b， 则向量＝a＋b＋c为所求． 法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b； (2)作平行四边形AOBC，则＝a＋b； (3)再作向量＝c； (4)作平行四边形CODE， 则＝＋c＝a＋b＋c.即为所求． 探究二 平面向量的加法运算 例2 化简： (1)＋； (2)＋＋； (3)＋＋＋＋. 【解】　(1)＋＝＋＝. (2)＋＋ ＝＋＋ ＝(＋)＋ ＝＋＝0. (3)＋＋＋＋ ＝＋＋＋＋ ＝＋＋＋ ＝＋＋＝＋＝0. 向量加法运算中化简的两种方法 (1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量． (2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．　 训练2 （1）下列等式不正确的是(　　) ①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b； ②＋＝0； ③＝＋＋. A．②③　　　　　　　　　 B．② C．① D．③ 解析：选B.由向量的加法运算律知①正确；因为＋＝0，故②不正确；＋＋＝＋＋＝成立，故③正确． （2）如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式： (1)＋＋； (2)＋＋＋. 解：(1)＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝. (2)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0. 探究三 向量加法的实际应用 例3 某人在静水中游泳，速度为4千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？ 【解】　如图，设此人游泳的速度为，水流的速度为，以，为邻边作▱OACB，则此人的实际速度为＋＝. 由勾股定理知||＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时． 应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题． (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．　 训练3 如图所示，在某次抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和． 解：设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km， 则飞机飞行的路程指的是||＋||； 两次飞行的位移的和指的是＋＝. 依题意有||＋||＝800＋800＝1 600(km)， 又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°， 所以||＝ ＝＝800(km)， 其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°，从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°. 【课堂检测】 1.化简＋＋＋的结果等于(　　) A.　　　　 　　　　　 B. C. D. 解析：选B.＋＋＋＝＋0＝. 2．在四边形ABCD中，＝＋，则一定有(　　) A．四边形ABCD是矩形 B．四边形ABCD是菱形 C．四边形ABCD是正方形 D．四边形ABCD是平行四边形 解析：选D.由＝＋得＝，即AD＝BC，且AD∥BC，所以四边形ABCD的一组对边平行且相等，故为平行四边形． 3．已知非零向量a，b，|a|＝8，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为______． 解析：|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a＋b|的最大值为13. 答案：13 4.已知▱ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，求作： (1)＋； (2)＋. 解：(1)延长AC，在延长线上截取CF＝AO， 则向量为所求． (2)在AB上取点G，使AG＝AB， 则向量为所求． 5.如图，已知向量a，b，求作向量a＋b. 解：(1)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(1)． (2)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(2)． (3)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(3)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $