专题2.1 二次函数 同步练-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

**基本信息** 本练习通过“基础达标-能力提升-拓展培优”三层递进设计，以二次函数定义为起点，逐步深化至综合应用与探究，适配新授课知识巩固需求，培养抽象能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|二次函数定义、表达式辨析|通过商品定价、几何图形等实例考定义（数学眼光），解答题区分一次与二次函数（推理意识）| |能力提升|函数性质、几何综合|结合圆与正方形面积关系考函数类型（几何直观），动态问题中建立面积函数（运算能力）| |拓展培优|复杂情境与探究|动点运动中构建分段函数（模型观念），含参数二次函数最值讨论（推理能力）|

二次函数 同步练习 好 题 冲 关 基础达标 一、选择题 1．下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A．铅笔的单价不变，总价y与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C．正方体的表面积y与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 【答案】C 【分析】根据各选项的实际数量关系列出y与x的函数关系式，再结合二次函数的定义判断，二次函数定义为形如 (a，b，c为常数，且)的函数是二次函数． 【详解】解：对选项A，∵设铅笔单价为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故A不符合题意； 对选项B，∵设路程为定值，可得，即，∴y是x的反比例函数，不是二次函数，故B不符合题意； 对选项C，∵正方体棱长为x，表面积为y，正方体有6个大小相等的正方形面，每个面面积为，∴，符合二次函数定义，故C符合题意； 对选项D，∵设速度为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故D不符合题意． 2．在物理学中，物体由于运动而具有的能量，称为物体的动能，其满足关系，则下列说法正确的是（    ） A．当一定时，与满足一次函数关系 B．当一定时，与满足二次函数关系 C．当一定时，与不满足函数关系 D．当一定时，与满足二次函数关系 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数，二次函数的定义，熟练掌握一次函数与二次函数的定义是解题的关键． 根据一次函数，二次函数的定义，即可判断． 【详解】解：∵一次函数的形式为（，、为常数），二次函数的形式为（，、、为常数） ①当一定时，令（为常数且），则，符合二次函数的形式，∴与满足二次函数关系，故A不符合题意，B符合题意； ②当一定时，令（为常数且），则，符合一次函数的形式，∴与满足一次函数关系，故C、D不符合题意．. 故选：B． 3．若是关于的二次函数，则的值是（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义．需满足自变量最高次数为2且二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数． ∴根据二次函数定义可得： 由，得， 即或 又∵， ∴ ∴． 故选：C 4．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的概念和解析式的形式．整理后根据二次函数的定义和条件判断即可． 【详解】解：A、是反比例函数，该选项不符合题意； B、，是一次函数，该选项不符合题意； C、，右边不是整式，不是二次函数，该选项不符合题意； D、是二次函数，该选项符合题意； 故选：D． 5．如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】从图形中提取边长信息，用含的式子表示目标量，再对照函数定义判断类型． 【详解】解：由图可知：周长：，符合一次函数的形式，故与是一次函数关系； 大矩形的长为，宽为，因此面积：符合二次函数的形式，故与是二次函数关系． 综上，与是一次函数关系，与是二次函数关系． 6．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般的，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数． 【详解】解：①符合定义，是二次函数． ②符合定义，是二次函数． ③，符合定义，是二次函数． ④不符合定义，不是二次函数． ⑤不符合定义，不是二次函数． ⑥，因为为常数，所以，符合定义，是二次函数． ⑦，符合定义，是二次函数． 综上所述，符合条件的二次函数共个，故选C． 7．下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（    ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【分析】根据各问题中的数量关系列出y与x的函数解析式，再判断函数类型即可． 【详解】解：① 由矩形面积公式可得，即，y是x的反比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ② 由圆柱侧面积公式可得，y是x的正比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ③∵利润（售价进价）销售量， ∴， 符合二次函数定义，y是x的二次函数，故此选项符合题意； 综上，y与满足的函数关系是二次函数的是③． 8．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 二、填空题 9．若是二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：根据二次函数的定义可得：二次项系数不为0，且自变量的最高次数为2， 即， 整理，得， ∴， ∴， 解得或， 结合， 可得． 10．若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，需满足的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此进行求解即可. 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， . 11．若是二次函数，则的值为______． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的定义，最高次项的次数为2且系数不为0，即可解答． 【详解】解：由题意，函数是二次函数，则 的最高次项的次数为2，即， 解得或． 又因为二次项系数，即， ∴． 故答案为：2． 12．若是关于的二次函数，则_______． 【答案】1 【分析】本题考查二次函数的定义，解一元二次方程，掌握好二次函数的概念是解题关键． 根据二次函数的定义，函数中必须存在二次项且其系数不为零，因此令指数部分等于2，解方程并验证系数是否非零． 【详解】解：由题意，函数是关于的二次函数，则的最高次数为 2，且二次项系数不为零． 令，得方程， 因式分解，得 ， 解得，或， 当时，二次项系数 ，不符合二次函数定义； 当时，二次项系数 ，符合要求． 故答案为：1． 三、解答题 13．已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 【答案】(1) (2)，纵坐标为的点的横坐标 【分析】本题考查一次函数和二次函数的定义，熟练掌握系数和次数的值是关键． （1）由一次函数定义得出，且，求出的值；（2）由二次函数定义得出，且，求出的值． 【详解】（1）解：（1）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的一次函数； （2）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的二次函数， 当时，， 解得， 纵坐标为64的点的横坐标． 14．某旅游景区一宾馆重新装修后，有间房可供游客居住．经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会有一间房空闲．如果游客居住房间，每间房每天需支出元的各项费用．设每天每间房的定价在元的基础上增加元，宾馆获利为元． (1)求关于的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利元？ 【答案】(1) (2)每间房定价为元时，宾馆每天可获利元． 【分析】本题考查的是盈利问题的二次函数式及解一元二次方程，通常做法是先列出二次函数式，然后代入求解．用代数式表示每间房间的利润和房间数是关键． （1）根据题意表示出每间房间的利润和房间数，进而求得答案； （2）代入（1）求出的函数式，解方程即可，注意要符合条件的． 【详解】（1）解：由题意得 答∶关于的函数关系式为：． （2）解：由（1）可得：． 令，即 解得，． 物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，平时定价为元， 定价不能高于（元）． 当时，定价为（元）， ， 符合规定； 当时，定价为（元）， ， 不符合规定，舍去． 答∶每间房定价为元时，宾馆每天可获利元． 15．已知函数，其中为常数． (1)当取什么值时，它为二次函数？ (2)当取什么值时，它为一次函数？ 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了二次函数的定义，一次函数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据二次项系数不等于零是二次函数，可得答案； （）根据二次项系数等于零且一次项系数不等于零是一次函数，可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：当，即时，原函数为，是一次函数； 当即时，原函数为，也是一次函数， 综上所述，当或时，是一次函数． 能力提升 1、 选择题 1．若是二次函数，且开口向上，则的值为（   ） A．3 B．-1 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义和解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 首先根据二次函数的定义，得到x的指数必须为2，且开口向上时二次项系数大于0，进而得到m的值即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴，即， 解得：或， ∵二次函数开口向上， ∴， ∴， ∴m的值为， 故选：B． 2．若是二次函数，则等于（    ） A． B．2 C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义．根据二次函数的定义，x的指数必须为2且系数不为零． 【详解】解：函数是二次函数， 且． 解得． 故选：C． 3．如图，的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．下列说法中，不正确的是（   ） A．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为一次函数 B．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为二次函数 C．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 D．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 【答案】D 【分析】分别表示出与正方形的周长之和，面积之积，然后得出，进而得出，，，然后再根据函数的定义判断即可． 【详解】解：∵的半径为，正方形的边长为， ∴与正方形的周长之和为， 与正方形的面积之积为， 阴影部分的面积为， ∴，，， ∴若与正方形的周长之和即L为定值时，y关于x的函数关系式为∶ ，为一次函数，选项A不符合题意， S关于x的函数关系为∶为二次函数，选项B不符合题意， 若与正方形的面积之积即为定值， y关于x的函数关系为∶ ，为反比例函数，选项C不符合题意 S关于x的函数关系为∶，不是反比例函数，选项D符合题意． 4．若函数是关于x的二次函数，则（）． A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数的二次项的次数为2且二次项不能为0是解题的关键． 根据二次函数的定义列方程计算即可． 【详解】解：由题意：根据二次函数的定义可得： ．解得：． 故选A． 5．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出C点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x,y），求出它关于点C对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式． 【详解】解:当x=0时，y=5， ∴C（0,5）； 设新抛物线上的点的坐标为（x,y）， ∵原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称， 由，； ∴对应的原抛物线上点的坐标为； 代入原抛物线解析式可得：， ∴新抛物线的解析式为：； 故选：A． 2、 填空题 6．已知函数是二次函数，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义． 根据二次函数的定义，指数必须为2且系数不为零求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得且 ∴ 故m的值为． 故答案为：． 7．如图，在四边形中，，点M和点N分别是和的中点，和的延长线交于点P，则面积的最大值等于__________． 【答案】 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的三角形面积问题，根据题意列二次函数求最值，先根据中位线问题得到三角形面积的关系，然后根据四边形面积列出二次函数，即可求得最值，准确找到三角形面积与四边形面积之间的关系是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： ， ∵点M是的中点， ∴， ∴， 又点M是的中点， ∴， ∵点N是的中点， ∴， ∴ ， 设，边长， ∵， 则， ∵， ∴， 则， 当时，取得最大值为， 故答案为：． 3、 解答题 8．(1)计算：． (2)若是关于的二次函数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的计算以及二次函数的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用二次根式的运算乘法法则进行计算，最后化为最简二次根式，进行加减计算即可； （2）根据二次函数的定义，由求出的取值，结合，得出k最终的取值． 【详解】（1）解：原式 （2）解：∵是关于的二次函数 ∴，且， 由，解出或； 由，解得； 综上，满足要求的的取值为． 9．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． （1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的定义得， 由得， 由得且， ∴． （2）解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 10．如图，在正方形中，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．过点作的垂线，垂足为是的中点，连接．设运动的时间为． (1)当点运动时，求的长； (2)设四边形的面积为，求与之间的关系式； (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，列函数关系式，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定． （1）根据勾股定理求得，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解； （2）过点作于点，根据题意得出，进而求得，根据，列出函数关系式，即可求解； （3）连接，根据，结合正方形的性质以及已知证明，得出，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，， ， 当点运动时，， ， ， ， 又是的中点， ． （2）解：过点作于点， 四边形为正方形，， ， ， ， ； （3）解：连接， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ，，是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 即， 又， ， ， ， 又， ， ， 即， 解得（舍）， 当时，． 拓展培优 一、选择题 1．下列函数关系中，可以看作二次函数（）模型的是（　　） A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） D．圆的周长与圆的半径之间的关系 【答案】C 【详解】A、v=，是反比例函数，错误；B、y=m（1+1%）x，不是二次函数，错误；C、S=-x2+cx，是二次函数，正确；D、C=2πr，是正比例函数，错误， 故选C． 2．已知y=x（x+5﹣a）+2是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤4时，y在x=1时取得最大值，则实数a的取值范围是（　　） A．a=10 B．a=4 C．a≥9 D．a≥10 【答案】D 【详解】试题解析：第一种情况： 当二次函数的对称轴不在1≤x≤4内时，此时，对称轴一定在1≤x≤4的右边，函数方能在这个区域取得最大值， x=＞4，即a＞13， 第二种情况： 当对称轴在1≤x≤4内时，对称轴一定是在区间1≤x≤4的中点的右边，因为如果在中点的左边的话，就是在x=4的地方取得最大值，即： x=≥，即a≥10（此处若x取2.5的话，函数就在1和4的地方都取得最大值）． 综合上所述a≥10． 故选D． 3．二次函数与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，一元二次方程根的判别式，根据题意得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴， ∴，且， 故选：A． 二、填空题 4．如图1，在矩形ABCD中，，点和同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为，△AEF的面积为，关于的函数图象如图2，图象经过点，则的值为 ___________． 【答案】/ 【分析】分析图形可知，图2中的图象分为三段：当点在上时；当点在上，且点在上时；当点在上，且点在上时．图2中的最高点是当点与点重合时，的值为；当点和点相遇时，即到达点时，用时秒．由此可求出，由此可求出当点运动秒后的值，即可求出的值，进而可求出的取值． 【详解】解：由图2可知，当点运动到点时， ，即， 当点和点相遇时，即到达点时，运动了秒，即， ， ∴或， ∵， ∴， ∴， 当时，如图，， ； 当时，点在上，点在上，如图， 此时，，， ∴， 解得或（舍去）． 故答案为：． 5．抛物线经过点，当时，当时，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】将点代入，得，再将x与y的对应关系代入函数解析式得到不等式组，解不等式组即可求得k的取值范围. 【详解】将点代入， 得36a+k=2， ∴， 当时，当时得， 解得， ∴， 故填. 三、解答题 6．在平面直角坐标系中的位置如图所示， 点B与坐标原点O重合， 的长分别是方程 的两个根． P、Q两点分别从点A、C同时出发，点P沿折线向终点C运动，在上的速度为每秒4个单位长度，在上的速度为每秒2个单位长度；点Q以每秒 个单位长度的速度沿线段 向终点A 运动，过点 P 作于点D，以，为邻边作矩形 ．设运动时间为秒，矩形和重叠部分的面积为y． (1)求点 A 的坐标； (2)当点 Q与点D 重合时，求x的值； (3)求y关于x 的函数解析式，并写出x的取值范围； (4)在平面内是否存在点 F，使以 B、C、P、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)存在，或或 【分析】（1）先解方程可得，，证明，，进一步可得答案； （2）当点和点重合时，，列出一元一次方程，即可解答； （3）分类讨论：①当时；②当时；③当时，交于点，交于点，逐个分析，即可解答． （4）如图，当在上时，以，，，为顶点的四边形是菱形，可得△为等边三角形，可得，进一步结合平移可得：或或，如图，当在上时，，，三点共线，不符合题意，舍去． 【详解】（1）解：（1）， 解得：，， ，，而， ， ，， ， ； （2）解：当点和点重合时， ， 依题意得：， 则，， 即， 解得． 故答案为：； （3）解：当点与点重合时，依题意得：， 解得：， 当点与点重合时，依题意得：， 解得：， 此时，则点与点重合， 分三种情况讨论： ①当时，如下图， ， ， ； ②当时，如下图，交于点， ， ， ， ， ； ③当时，如下图，交于点，交于点， ，，， ， ，，， ， ； 综上所述，． （4）解：在平面内存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形；点的坐标为或或；理由如下： 在上时，以，，，为顶点的四边形是菱形， △为等腰三角形， ， △为等边三角形， ，， ， ， 如下图， ∴， ， 则如图所示，皆为所求， 即左移2个单位，即右移2个单位，与关于对称， 或或， 如下图，当在上时，，，三点共线，不符合题意，舍去， 综上所述，在平面内存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形；点的坐标为或或． 7．如图，在矩形中，，，点E为边上的一点，且，点F为线段上的动点，设．现将沿翻折得到，过点F作交的延长线于点P． (1)当x＝ 时，点P落在边上； (2)设的长为y，求y关于x的函数表达式； (3)与矩形的重叠部分面积为S，求S关于x的函数表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得：，，，，点落在边上，，，由翻折可得：，，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案； （2）过点作于，则，根据矩形和翻折的性质可证得：，得出，再运用勾股定理即可求得关于的函数表达式； （3）分两种情况：当时，全部在矩形内，；当时，设与边、分别交于点、，则，即可求得答案． 【详解】（1）解：如图，由题意得：在矩形中，，，，，点落在边上， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵将沿翻折得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， （2）如图，过点作于， 则， ∴四边形是矩形， ∴，，， 由翻折得：，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）由（2）知：，，，， ∴，， 当时，△全部在矩形内，， ∴； 当时，设与边、分别交于点、，如图， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，关于的函数表达式为． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数 同步练习 好 题 冲 关 基础达标 一、选择题 1．下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A．铅笔的单价不变，总价y与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C．正方体的表面积y与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 2．在物理学中，物体由于运动而具有的能量，称为物体的动能，其满足关系，则下列说法正确的是（    ） A．当一定时，与满足一次函数关系 B．当一定时，与满足二次函数关系 C．当一定时，与不满足函数关系 D．当一定时，与满足二次函数关系 3．若是关于的二次函数，则的值是（ ） A． B． C． D．或 4．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 6．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 7．下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（    ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 8．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若是二次函数，则_______． 10．若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 11．若是二次函数，则的值为______． 12．若是关于的二次函数，则_______． 三、解答题 13．已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 14．某旅游景区一宾馆重新装修后，有间房可供游客居住．经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会有一间房空闲．如果游客居住房间，每间房每天需支出元的各项费用．设每天每间房的定价在元的基础上增加元，宾馆获利为元． (1)求关于的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利元？ 15．已知函数，其中为常数． (1)当取什么值时，它为二次函数？ (2)当取什么值时，它为一次函数？ 能力提升 1、 选择题 1．若是二次函数，且开口向上，则的值为（   ） A．3 B．-1 C． D．4 2．若是二次函数，则等于（    ） A． B．2 C． D．不能确定 3．如图，的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．下列说法中，不正确的是（   ） A．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为一次函数 B．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为二次函数 C．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 D．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 4．若函数是关于x的二次函数，则（）． A． B． C． D．或 5．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 6．已知函数是二次函数，则m的值为________． 7．如图，在四边形中，，点M和点N分别是和的中点，和的延长线交于点P，则面积的最大值等于__________． 3、 解答题 8．(1)计算：． (2)若是关于的二次函数，求的值． 9．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 10．如图，在正方形中，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．过点作的垂线，垂足为是的中点，连接．设运动的时间为． (1)当点运动时，求的长； (2)设四边形的面积为，求与之间的关系式； (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 拓展培优 一、选择题 1．下列函数关系中，可以看作二次函数（）模型的是（　　） A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） D．圆的周长与圆的半径之间的关系 2．已知y=x（x+5﹣a）+2是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤4时，y在x=1时取得最大值，则实数a的取值范围是（　　） A．a=10 B．a=4 C．a≥9 D．a≥10 3．二次函数与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 二、填空题 4．如图1，在矩形ABCD中，，点和同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为，△AEF的面积为，关于的函数图象如图2，图象经过点，则的值为 ___________． 5．抛物线经过点，当时，当时，则的取值范围是__________. 三、解答题 6．在平面直角坐标系中的位置如图所示， 点B与坐标原点O重合， 的长分别是方程 的两个根． P、Q两点分别从点A、C同时出发，点P沿折线向终点C运动，在上的速度为每秒4个单位长度，在上的速度为每秒2个单位长度；点Q以每秒 个单位长度的速度沿线段 向终点A 运动，过点 P 作于点D，以，为邻边作矩形 ．设运动时间为秒，矩形和重叠部分的面积为y． (1)求点 A 的坐标； (2)当点 Q与点D 重合时，求x的值； (3)求y关于x 的函数解析式，并写出x的取值范围； (4)在平面内是否存在点 F，使以 B、C、P、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，在矩形中，，，点E为边上的一点，且，点F为线段上的动点，设．现将沿翻折得到，过点F作交的延长线于点P． (1)当x＝ 时，点P落在边上； (2)设的长为y，求y关于x的函数表达式； (3)与矩形的重叠部分面积为S，求S关于x的函数表达式． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $