专题2.1 二次函数 讲义-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

本初中数学讲义聚焦二次函数核心知识点，系统梳理二次函数的概念（形如y=ax²+bx+c，a≠0的定义、三个条件及取值范围）与列关系式（理解题意、分析关系、列表达式三步法），构建从概念认知到实际应用的学习支架。 资料以思维导图直观呈现知识结构，助力学生通过数学眼光抽象二次函数本质，典例引领与对点提升结合具体题目（如二次函数识别、参数求解、实际问题关系式列写）培养推理意识与应用意识。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生巩固练习、查漏补缺。

二次函数 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 二次函数的概念 考点梳理 1. 一般地，形如（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中，是自变量，二次函数的二次项系数、一次项系数分别是a,b，常数项是c .自变量的取值范围是全体实数. 一次项系数 常数项 二次项系数 （a不为0） b,c没有 条件限制 必须化为一般形式， 方可判断各项的系数 2. 二次函数必须同时满足三个条件：（1）函数解析式为整式；（2）化简后自变量的最高次数是2；（3)二次项系数不为0. 3. 二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义. 典例引领 考向01 二次函数的识别 【例1】下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 考向02 根据二次函数的定义求参数 【例2】如果函数是关于x的二次函数，则________． 对点提升 【对点1】下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【对点2】已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 考点02 列二次函数关系式 考点梳理 1.理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言； 2.分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式； 3.列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式. 典例引领 考向01 列二次函数关系式 【例1】写出一个顶点在原点的抛物线解析式为__________ 对点提升 【对点1】某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 二次函数的概念 考点梳理 1. 一般地，形如（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中，是自变量，二次函数的二次项系数、一次项系数分别是a,b，常数项是c .自变量的取值范围是全体实数. 一次项系数 常数项 二次项系数 （a不为0） b,c没有 条件限制 必须化为一般形式， 方可判断各项的系数 2. 二次函数必须同时满足三个条件：（1）函数解析式为整式；（2）化简后自变量的最高次数是2；（3)二次项系数不为0. 3. 二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义. 典例引领 考向01 二次函数的识别 【例1】下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断各选项，二次函数要求表达式是关于x的整式，且自变量x的最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解：∵二次函数的定义为：形如（，，为常数，且）的函数，等式右边是关于x的整式， A：是反比例函数，右边是分式，不符合定义， B：是一次函数，x最高次数为1，不符合定义， C：，符合二次函数形式，，右边是整式，x最高次数为2，符合定义， D：含分式项，右边不是整式，不符合定义． 考向02 根据二次函数的定义求参数 【例2】如果函数是关于x的二次函数，则________． 【答案】0 【分析】根据二次函数的定义可得二次项系数不为0，且x的最高次数为2，据此列方程与不等式求解即可得到k的值． 【详解】解：根据二次函数的定义，得， 解方程，解得或． 由得， 因此． 对点提升 【对点1】下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，，是常数，）的整式函数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A. 不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； B. ，该函数是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； C. 符合（，，）的形式，是二次函数，故符合题意； D. ，不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意， 综上，选C． 【对点2】已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】二次函数要求的最高次数为2，且二次项系数不能为0，据此列出关于的条件即可求解． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴，且， 解得， 解得， ∴． 考点02 列二次函数关系式 考点梳理 1.理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言； 2.分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式； 3.列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式. 典例引领 考向01 列二次函数关系式 【例1】写出一个顶点在原点的抛物线解析式为__________ 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了抛物线的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 顶点在原点的抛物线解析式通常表示为或，其中为不等于零的常数，然后即可求解； 【详解】解：抛物线是二次函数的基本形式，其顶点坐标可通过配方或直接观察得出为，因此满足顶点在原点的条件， 故答案为：； 对点提升 【对点1】某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查列函数解析式，根据月平均增长率问题，11月份产量为，12月份产量为，从而得到函数关系式． 【详解】解：依题意，月平均增长率为，则11月份化肥产量为，12月份化肥产量为， 故， 故答案为：． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $