第二章二次函数-二次函数讲义2024-2025学年北师大版（2012）数学九年级下册

第二章二次函数-二次函数讲义北师大版（2012）初中数学九年级下册 一、知识点回顾 1.1 二次函数的定义（教材核心内容）： 1. 定义：形如（，、、为常数）的函数称为二次函数。 2. 自变量取值范围：全体实数。 1.2 二次函数的图象与性质： 1. 图象形状：抛物线，对称轴为直线，顶点坐标为。 2. 开口方向： - 当时，抛物线开口向上，顶点为最低点； - 当时，抛物线开口向下，顶点为最高点。 3. 顶点式：，顶点坐标为，对称轴为。 1.3 二次函数与方程、不等式的关系： 1. 与一元二次方程：的解为抛物线与轴交点的横坐标。 2. 与不等式： - 当时，的解集为抛物线在轴上方的区域； - 当时，的解集为抛物线在轴下方的区域。 二、重难点讲解 2.1 二次函数解析式的确定： - 方法： 1. 待定系数法：根据已知条件（如顶点、与坐标轴交点等）设解析式形式，代入求解系数。 - 已知顶点，设顶点式； - 已知与轴交点和，设交点式。 示例： 已知抛物线顶点为，且过点，求解析式。 解析： 设顶点式，代入： 解析式为。 2.2 二次函数的最值问题： - 核心公式：当时，函数取得最值。 - 应用场景：最大利润、最短距离等实际问题。 示例： 用篱笆围成一个矩形菜地，一面靠墙，篱笆总长20米，求菜地的最大面积。 解析： 设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，面积。 当时，平方米。 三、易错点与解题方法 3.1 常见易错点： 1. 忽略二次项系数的条件： - 错误：误认为形如的函数一定是二次函数。 2. 顶点坐标符号错误： - 错误：将顶点式的顶点坐标误写为，但实际计算中可能忽略符号（如时顶点为）。 3. 解不等式时未考虑开口方向： - 错误：解时，未根据的正负确定解集区间。 3.2 解题技巧与方法： 1. 图象法解题： - 通过画抛物线简图分析函数性质（如增减性、最值、与坐标轴交点）。 2. 分类讨论法： - 当问题含参数时，需对参数分情况讨论（如开口方向、判别式符号）。 四、巩固练习 1. 已知二次函数，求其顶点坐标和对称轴方程。 1. 抛物线过点和，且顶点在直线上，求解析式。 1. 某商品进价为每件40元，售价为每件60元时，每月可售出100件。若每降价1元，销量增加10件，求每月最大利润。 答案与解析： 1. 顶点，对称轴 - 解析：，。 2. - 解析：设顶点式，代入和联立求解。 3. 最大利润为6400元 - 解析：设降价元，利润，当时，。 一、 选择 1 .(单选)将函数的图象用下列方法平移后，所得的图象经过的是（        ） A.向上平移1个单位 B.向下平移2个单位 C.向左平移1个单位 D.向右平移2个单位 2 .(单选)已知二次函数的图象交轴于，两点．若其图象上有且只有，，三点满足，则的值是（      ） A.2 B. C.3 D.4 3 .(单选)某超市销售一种商品，每件成本为元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间满足函数关系式，若要求销售单价不得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（   ）． A.元，元 B.元，元 C.元，元 D.元，元 4 .(单选)如图为二次函数的图象，对称轴是直线，给出以下判断：①；②；③；④（常数）．其中正确的有（      ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 5 .(单选) 二次函数中的与的部分对应值如下表： ．．． 0 2 3 4 ．．． ．．． 0 6 0 ．．． 下列结论：①函数的图像开口向下；②；③当时，．其中所有正确结论的序号是(　　) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 6 .(单选)10. 抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象如图，则下列结论： ①abc ＞0 ； ②a+b+c ＝2 ； ③a ﹣b+c ＜0 ； ④b 2﹣4ac ＜0 ．其中正确的结论是（　　） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 7 .(单选)在同一坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（      ） A. B. C. D. 8 .(单选)同一平面直角坐标系中，抛物线与直线的图象可能是（        ） A. B. C. D. 二、 填空 1 .已知抛物线的图象如图所示，则一元二次方程的解为           ，当时，的取值范围为           ． 2 .已知二次函数，当时，的取值范围为           ． 3 .已知二次函数的图象与轴分别交于两点（如图所示），与轴交于点，点是其对称轴上一动点，当取得最小值时，点的坐标为           ． 4 .9. 如果抛物线 y=ax 2+5 的顶点是它的最低点，那么 a 的取值范围是           ． 5 .抛物线向下平移1个单位的解析式是                6 .如果抛物线（ k是常数）的顶点在 y轴上，那么该抛物线的顶点坐标为          ． 7 .已知二次函数的图像与 x轴有且只有一个公共点，则抛物线的顶点坐标为          ． 8 . 已知二次函数 y＝ ax2+ bx+ c（ a≠0）中，函数值 y与自变量 x的部分对应值如表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … y … 3 ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 … 则关于 x的一元二次方程 ax2+ bx+ c＝3的根是          ． 三、 解答 1 .如图，已知二次函数的图象经过点，与 x轴交于点 A， B，直线的解析式是．     (1)求二次函数图象的顶点坐标．(2)求不等式的解集． 2 .如图，利用函数的图象，直接回答下列问题 (1)方程的解是____________；(2)当 x____________时， y随 x的增大而减小；(3)当 x满足____________时，函数值大于0；(4)当时， y的取值范围是____________． 3 .已知二次函数（为常数，）的图象经过点．(1)求常数 a和 b满足的关系式．(2)若二次函数图象与 x轴只有一个交点，求二次函数的解析式．(3)当时，函数的最大值是最小值的2倍，求 a的值． 4 .如图，抛物线与轴交于点 A， B（在的左侧），与轴交于点 C． (1)直接写出点 A， B， C的坐标；(2)如图1，点在第一象限的抛物线上，点关于直线的对称点落在轴上，求点的坐标；(3)如图2，点是第一象限的拋物线上一动点，当的面积最大时．①求点的坐标．②点在轴正半轴上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，若线段刚好经过点，直接写出点的坐标． 5 .已知二次函数． (1)求函数图象的对称轴和顶点坐标；(2)求函数图象与坐标轴的交点坐标．(3)根据图象，直接写出：①当函数值为正数时，自变量 x的取值范围；②当时，函数值 y的取值范围． 6 .已知抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于点 A， B（点在点的左侧），点为抛物线的顶点．(1)求点和点的坐标；(2)若在上的最大值为9，求此时的面积；(3)已知点为抛物线上点，之间的动点（点不与点，重合），点为线段上一定点（点不与点 A， B重合），过点作轴的垂线，直线分别交射线，于点，若时，在点运动的过程中，的值始终为8，求点的坐标及的值． 7 .如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，点的坐标为_____________；(3)点是第四象限内抛物线上的动点，连接和．求面积的最大值及此时点的坐标；(4)若点是对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8 .已知在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别在轴和轴的正半轴上．现将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，抛物线经过点和． (1)求点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 9 .规定1：一个点纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”．例如：点，则它的“纵横值”为．规定2：若点是函数图象上任意一点，则函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7．根据规定，解答下列问题：(1)点的“纵横值”为______；(2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求的值；(3)若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，求的值． 10 .已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点．当时，，则的取值范围是           ． 11 .抛物线经过点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式；(2)点是该抛物线上的动点，且位于第三象限．过点作轴于点，作轴于点，当时，求点的坐标； 12 . 已知二次函数．(1)选取适当的数据填入下表，并在平面直角坐标系内画出该二次函数的图象； x … … y … … (2)根据图象回答下列问题：①当时， x的取值范围是____________；②当时， y的取值范围是____________． 学科网（北京）股份有限公司 $$