陕西西安交通大学附属中学2025-2026学年高三下学期4月阶段检测数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8个小题，每题5分，共40分 1.己知复数z=1-2i,则zz=() A.-4i B.2 C.5 D.5 2.设集合M={xx2-6x-7<0},N={-1,0,1,2},则M∩N=() A.{01,2} B.{-1,0,1 c.{0,1} D.{1,2 3.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a,ag=45,则S=() A.25 B.22 C.20 D.15 4.圆锥S0的轴截面是面积为16√3的等边三角形，则该圆锥的侧面积为() A.128元 B.64元 C.32π D.16元 5.若函数)=sm®r+骨0<@<)的图象向右平移g个长度单位后关于点[经0 对称，则)在[受上的最小值为() A.-1 B月 D.6-2 2 4 6.若非零向量a、万满足问-26=8，且向量ā-万与向量a的夹角是名则(a-6列6的值 为() A.-24 B.24 C.8V5 D.0 7.已知x+4x2+7x2+7x+3=(x+m)°+A(x+m)+B(x+m)+C,则m+C=() A.1 B.-1 C.2 D.-2 8.已知定义在R上的可导函数（满足(2x+)是偶函数：(4-）=2-f(冈； f(0)=1,f'(0)=2,则f(2026)+f'(2026)=() A.-3 B.-1 C.1 D.3 114 扫描全能王创建 二、多项选择题：本题共3个小题，每题6分，共18分 9.已知a>0,b>0,a+b=1,则下列选项中正确的有() 19 A.Ina>0 B.2>1 C.-+2≥16 D.a+h≥} a b 10.下列说法正确的是() A.样本相关系数r越接近0，则成对样本数据的线性相关性越强 B.1,2,4,5,6,12,18,20的上四分位数是15 C.某班30个男生的数学平均分为90，方差为4,20个女生的数学平均分为85，方差为 6,则全班50个学生的数学成绩的方差为10.8 D.随机变量X的方差D(X)=20,期望E(X)=6,则E(X2)=16 11.声音是由物体振动产生的声波.纯音的数学模型是函数y=Asin@1,我们日常听到 的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，记 f (x)=sinx+-sin2x+-sin3x+...+-sin nx(neN), A.2(x)在区间0,2π上有3个零点 B.2(x)的最小正周期为元 C.fn（x)的图象关于点(k饥，0)(k∈Z)中心对称 D.(x)的最大值为上+22 23 三、填空题：本题共3个小题，每题5分，共15分 12.已知圆C的圆心在第一象限，且在直线y=2x上，圆C与抛物线y2=4x的准线和x 轴都相切，则圆C的方程为· 13.若数列{an}(n=1,2,3,,k)满足a=a=a+a2+…+a=1,则称数列{an}为 “k-t和谐数列”.已知数列{bn}是“6-0和谐数列”，且b,∈{-1,0,1号，则满足条件的数列 {b}的个数为 14.若不等式xe-lnx-mx≥1恒成立，则实数a的取值范围为 11a 扫描全能王创建 四、解答题：本题共5个小题，共77分 15.(13分)随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了 研究我市充电桩建设的情况，能源部门收集到了2021年到2025年充电桩数量y（单位： 万个)，为方便研究，年份代码用x表示（用1,2，，5等分别表示2021年，2022 年，…，2025年等)，具体参考数据如下表： 统计量 数值 15 21 55 72.6 (I)请根据表中数据，建立y关于x的回归直线方程夕=bx+à， (2)现对该市某区域现有的9个充电桩进行检查，其中4个为快充桩，随机抽取3个充 电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为X,求X的分布列及均值 立-依 (参考公式： b= a=y-标) 16.( 15分)△ABC的内角4，B,C的对边分别为a.bc,己知asin+C=bsinA.. 2 (1)求B; (2)若△ABC为锐角三角形，b=√3，求2a-c的取值范围 17.（15分)如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，ABCD为等腰梯 形，AB∥CD,AB=2BC,∠ABC=60°，平面ACE⊥平面ABCD (1)求证：BC⊥AE; (2)求BC与平面ABFE所成角的正弦值， 3/4 器 扫描全能王创建 8,(17分)已知椭圆c:千+片=1a>b>0)的左、右焦点分别为R(-L0),501 点M在C上，MC上x轴= (I)求C的方程； (2)过点P(4,O)的直线交C于不同的两点A、B,AH⊥MF于点H, ①求△OAB面积的最大值： ②判断直线HB是否过定点，若是，求出定点坐标：若不是，说明理由 19.(17分)已知函数f(女=父+a (I)当a=1时，求曲线y=f(x)在(0，f(0)处的切线方程： (2)若a≥V2,证明：当xe[0,+∞)时，f(x)≤a: (3)若存在x∈[0，+o),使f(x)<-ax。+a成立，求实数a的取值范围. 4/4 扫描全能王创建数学参考答案 1.D2.A3.C4.C5.C6.D7.A8.B 7.解析：等式右边含有x的项一定在(x+m中，系数为Cm=4m, 又等式左边含有x3的项的系数为4，所以4m=4,解得：m=1, 当m=1时，等式右边为：（x+1)°+A(x+1)2+B(x+1)+C =(x+4x3+6x2+4x+1)+A(x2+2x+1+B(x+1)+C =x4+4x2+(6+)x2+(4+2A+B)x+(1+A+B+C), 6+A=7 [A=1 所以{4+2A+B=7→{B=1,所以m+C=1. 1+A+B+C=3C=0 8.解析：由f(2x+)=f(-2x+),令t=2x,得f(1+)=f1-), 所以f(x)的图象关于直线x=1对称，所以f(x)=f(2-x). 将x换为4-x代入得f(4-x)=f(2-(4-x)》=f(x-2): 又f(4-x)=2-f(x),因此f(x-2)=2-f(x), 即f(x)=2-f(x-2),则f(x+2)=2-f(x)@, 所以f(x+4)=2-f(x+2)=2-(2-f(x)=f(x), 对@两边求导得f'(x+2)=-f'(x),故f(x+4)=f'(x), 故f(x)和f'(x)的周期均为4， 于是f(2026)=f(4×506+2)=f(2),'(2026)=f(2). 在f(x+2)=2-f(x)中，取x=0得f(2)=2-f(0)=2-1=1. 在f'(x+2)=-f(x)中取x=0得'(2)=-f'(0)=-2, 所以f(2026)+f'(2026)=1-2=-1. 9.BCD 10.BC 11.ACD 1 扫描全能王创建 11.解析：对于A,令方()=0，则sinx+2sin2x=0即sinx+-sincos=0, 故sinx=0或cosx=-l,而x∈[0,2元]，故x=0,元，2元，故A正确： 对于B,么()=smx+方n2, 222=-2+21 (目产（经），故()的最小正周期不为元，故B错误： 对于c,(2m-x刘=sin(2m-)+sin[2(2m-]++片sm[n(2-刃， =sin(-+5sin[(-2x]+…+sin[（-m]=-f(),. 故f(x)的图象关于点(m,0)(k∈Z)中心对称，故C正确： 对于D,万(e=smx+号n2x+写n3x, 因为g（(x+2=sm(x+2]+2n[2(x+2a]+号in[3x+2]=i(, 故(x)为周期函数，且周期为2π， 设x∈[0,2元]，则(x)=cosx+cos2x+cos3x =2cos2xcosx+cos2x=cos2x(2cosx+1),(x)=0, 则x晋现x-行或x要或x经或x要或=空。 3 当0或警要或警<管或受<2江时，方小0 41 3 故因在》（任》(（经河]上均为增画数。 在（任）（任）·（货军上均为减西数。 而号盟2到9兰-9 2 架 扫描全能王创建 故(25+5，散D正确 Γ32 12.答案：（x-1)2+(y-2)2=4 13.答案：19 解析：因为数列{bn}是“6-0和谐数列，且bn∈{-1,0,1}， 所以{bn}共有6项，且b=b。=0,b2+b,+b,+b=0. 若b2,b,b4,b,各项全为0，则满足条件的数列{bn}只有1个： 若b2,b,b,b有2项为0,1项为1,1项为-1，则满足条件的数列{bn}的个数为 CC2=12: 若b2,b,b,b有2项为1,2项为-1，则满足条件的数列{b}的个数为C=6, 所以{b}的个数为1+12+6=19. 14.答案：（-0,1] 解析：由题意，对任意的x>0不等式xe*-nx-ax-1≥0恒成立， 令f(x)=xe-lnx-ax-1, 则r因=e+e-,了国=2e+e+>0, .f'(x)在(0，+o)上单调增，且x→0时，f'(x)→-0，x→+o时，f'(x)→0， 所以3∈(0，+o)使(x)=0,即a=1+x)e-1 o ∴f(x)在(0，x)上递减，(x,+o)上递增， 故：f(x)mn=f(xo)=xe-lhx-ax。-1 =-(e+ln)20,即，e≤-h五， 3 扫描全能王创建 而h()=xe*在(0，+o)上单调增，又hm马=-nx :hx)≤0m,即有es时/)≥0恒成立， Xo xo a=1+)e-1s+五-1=1，故：a51. 15.解折：（1)=1+2+3+4+5-=3，万=之y=21=42. 5 51 5 5 5y b=Ie1 72.6-5x3×42=0.96,-4分 x2-5 55-5×32 e a=-6=4.2-0.96×3=1.32. 所以，回归直线方程为少=0.96x+1.32.----6分 (2)由题意知随机变量X的可能取值为0,1,2,3，则： Px-0叭-答-0P= CC4×10_10 8421 P0W=2答-警名Px=-答- Cg8421' ---10分 1 2 3 5 10 5 1 D 42 21 14 21 故均值E(X)=0× +1x0 5 +2× 5 +3× 14 21 14 213-13分 16.解析：(1)因为asin4+C=bsin,由正弦定理得sin Asin π-B sin Bsin A, 2 2 故(sin Acos=2sin B 2 cos2sinA,-3分 在△ABC中，0<A<元，0<B<元，所以sinA>0,0<号<行，则co B 22' 0, 器 扫描全能王创建 可得血号行所以号-君所以8-背一7分 3 a =b5 =2 (2)由sinA sinC sin B√万=2，得a=2sinA,c=2sinC, 2 因为8=于，则A+C=27,C=2头-4 3 3 所以2a-c=4snA-2sin(2径-A=3sin4-5cas4=25smn4-君)-10分 0<A< 2 因为△ABC为锐角三角形，则 ,解得<A< 0<C= A< 2π 6 …13分 3 则4-后0引m4副9 故2a-c∈(0,3).--15分 17.解析：(1)如图，取△ABC的AB边中点为G,连接CG,则BC=BG 又：∠ABC=60,∴.△BCG是等边三角形， ∴.GC=GB=GA,故G是△ABC外接圆圆心，∴.AC⊥BC.--3分 A Q平面ACE⊥平面ABCD,平面ACE∩平面ABCD=AC,BCc平面 G ABCD, ∴BC⊥平面ACE,·AEC ACE,∴.BC⊥AE.---7分 (2)如图建立平面直角坐标系， D 设BC=1,则A(V3,0,0),B(01,0),C(0,0,0),D Q平面ACE⊥平面ABCD,∴.点E在底面的投影落在直线AC上， 器 扫描全能王创建 [a2+b2=2 设E(a,0,b),由DE=DC=BC=l,EC=√瓦得 1 +二+b2=1 解得 2 4 [。25 a= 3 6=6E20S正是0=.wc6=oom10 3 分 设平面ABE的法向量为i=(x,,z), E= [5,6 则 ,即 =Vx取z=1,则月=2,6，)，--13分 z=0x=V2z 3 3 → 7AB=0 -3x+y=0 设c与平面8FE所成角为g则sn9cos(元C丽儿 5分 CB.n6 18.解析：(a因为=号所以-号，又c=1a=6+2, a 2 得a=2,b=V5.c=1,--3分 故C的方程为号+上=15分 43 (2)若直线斜率不为0，则设直线AB:x=mw+4,A(3片)，B(xy2),≠， x=0y+4 联立 3x2+4y2-12得(3m2+4y2+24mv+36=0, 则a-(2P-14(6m+4小>0+y=343新d 36 得m2>4,网%=+购，一一7分 ①Sa=弓x4x,-24m-4,设1=Vm-4,则 2 3m2+4 24=24 S0xB8=3E2+1631+ 6sv5 6 器 扫描全能王创建 当且仅当r-兰m2-9时取等号，放△0AB面积的最大值为后-一-1分 ②因为AH⊥MR,则H(1), 则直线HB的方程为（出2-）(x-1)=(x,-1(y-), 3 令y=0,得x=x出=当-m+44=当-4y-m出_为-4+(%+)5 y2-y y2-乃 y-y 2 则直线HB过定点 .0-16分 若直绽斜率为0则直线B为x轴过点气（怎0月片 故直线HB过定点 .--17分 19.解折：(1)a=1时，f)1,所以(=二+3-，-2分 e 故(0)=-1，f(0)=1, 所以曲线y=f(x)在(0，f(0)处的切线方程为y=-x+1,即x+y-1=0.---5分 (2)f(x)=-+3x2-a2 令g(x)=-ax3+3x2-a2,x∈[0，+o),则g(x)=-3ax2+6x=-3x(ar-2).--7分 因为a≥√5，所以当x变化时，g(x),g(x)的变化情况如下表： x a g(x) 0 g(x) 增 极大值 减 器 扫描全能王创建 所以以=)---4s0一9分 由闪=s0,可知了)在0，o)上单调递减， ar 所以f(x)sf(0)=a.-11分 (3)由题意，存在x。∈[0，+o),使f(x)<-a2x。+a成立， 即存在x∈[0，+∞)，使x+a<（-a2x。+ae"成立， 即xd+a+(a2x,-a)e<0成立 令h(x)=x3+a+(a2x-ae",x∈[0，+o),则h(x)=x(3x+ae“）. ①当a≥0时，在(0，+o)上(x)>0,故h(x)在[0，+o)单调递增， 所以h(x)2h(0)=0,不合题意.-13分 ②当a<0时，令1(x)=3x+ae“,x∈[0，+o). 因为r(x)=3+ae“>0,所以t(x)在[0，+o)单调递增， 又因为(0)=a3<0,t(-a)=a(-3+e）>0, 所以存在se(0,-a)，使1(s)=0.--15分 所以当x变化时，t(x),(x),h(x)的变化情况如下表： [0,s) (s,+co) (x) 0 H(x) 0 + h(x) 减 极小值 增 h(s)<h(0)=0,取x=s,故h(x)<0在[0，+o)上有解， 综上，a的范围是(-0,0).--17分 8 扫描全能王创建