19.3 二次根式的加法与减法 第2课时 二次根式的混合运算 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

第十九章 二次根式 19.3 二次根式的加法与减法 第2课时 二次根式的混合运算 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 二次根式的混合运算 6. 课堂小结 3. 新课导入 7. 当堂小练 CONTENTS 8. 对接中考 9. 拓展与延伸 2. 知识回顾 5. 知识点2 利用乘法公式进行二次根式的运算 1. 掌握二次根式的混合运算的运算法则. 2. 会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算. 学习目标 知识回顾 二次根式的乘法法则：= （a≥0，b≥0）. 拓展： 二次根式的除法法则： （a≥0，b>0）. 拓展： . 二次根式的加减： 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 新课导入 问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则法则分别是什么? 多项式与单项式的除法法则是什么? ； 分配律 单 × 多 转化 前面两个问题的思路是： 单 × 单 若把字母a，b，c，m都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？ 问题2 思考 新课讲解 知识点1 二次根式的混合运算 实数的运算律（交换律，结合律，分配律），整式的乘法法则和乘法公式（平方差公式，完全平方公式）在二次根式的混合运算中仍然适用. 无括号的先乘方，再乘除，最后加减. 有括号的先算括号里面的(或先去掉括号）. 同级运算，从左到右进行计算. 先乘方 再乘除 最后加减 运算顺序： 新课讲解 例 解：(1) 原式+ + 4 (2) 原式 . 1. 计算：(1) . (2) . (3) (3) 15 . 新课讲解 例 2. 甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路， 其中有一段路基的横断面设计为上底宽 ，下底宽 ，高 的梯形，这段路基长 500 m，那么这段路基的土石方（即路基的体积，其中路基的体积=路基横断面面积×路基的长度）为多少立方米呢？ 解：路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的长度，所以这段路基的土石方为： 答：这段路基的土石方为 新课讲解 练一练 1. 计算：(1) ； (2) . 解：(1) (2) 新课讲解 练一练 解：(1)原式 (2)原式 2. 计算：(1) ； (2) . 有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数. 归纳 新课讲解 知识点2 利用乘法公式进行二次根式的运算 问题1 问题2 整式乘法运算中的乘法公式有哪些? 平方差公式：； 完全平方公式：； ； 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗? 整式的乘法公式就是多项式 × 多项式 前面我们已经知道二次根式运算类比整式运算，所以适用哟 新课讲解 例 3. 计算：(1) . (2) ； 解： (1) 5−3 2. (2) 原式 . (3) ； (4) . (3) 原式. (4) 原式. 新课讲解 例 新课讲解 练一练 1. 计算：(1) ； (2) 先用乘法交换律，再用乘法公式化简. 解：(1)原式 . (2)原式 . 新课讲解 练一练 2. 先化简，再求值：(a＋2b)2＋(a＋2b)(a－2b)＋2a(b－a)，其中a＝－，b＝＋. 解：原式＝a2＋4b2＋4ab＋a2－4b2＋2ab－2a2＝6ab. 当a＝－，b＝＋时， 原式＝6×(－)(＋)＝6. 新课讲解 1. 二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式( 或整式)的形式，并且分母中不含二次根式. 2. 进行二次根式的开方运算时应使开出的因数(式)是非负数(式). 3. 在进行计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，同时注意合理地运用运算律. 注意 新课讲解 几种常见运算类型： ①(+) = + ②()() = +++ ③()() = ()2-()2 = a-b ④(±)2 = ()2±2+()2 = a±2+b ⑤()÷ = = 二次根式的混合运算，先要弄清运算类型，再确定运算顺序，最后按照二次根式的相应的运算法则进行. 课堂小结 二次根式的混合运算 运算顺序： 先乘方，后乘除，最后加减； 如有括号，先做括号内的运算； 同级运算从左到右进行. 应用：化简求值 技巧：运用运算律和运算公式简化计算 当堂小练 1. 计算：(1) ； (2) ； (3) . 解：(1)原式 . (2)原式 . (3)原式 . 当堂小练 B 当堂小练 3. 先化简，再求值：(＋)÷ ， 其中x＝＋1，y＝． 解：原式＝·＝·＝. 当x＝＋1，y＝时， 原式＝＝. 当堂小练 C 当堂小练 5. 已知x＝(＋)，y＝(－)，求代数式x2－xy＋y2的值. 解：由x＝(＋)，y＝(－)， 得 x＋y＝，xy＝. 所以 x2－xy＋y2＝(x＋y)2－3xy＝()2－3×＝7－＝. 用整体思想求代数式的值的方法： 求关于x，y的对称式(即交换两个字母的位置后，代数式不变)的值，一般先求出x＋y，xy，x－y，等的值，然后将所求对称式进行适当变形，使之成为只含有x＋y，xy，x－y，等的式子，最后将其值整体代入即可求解. 归纳 当堂小练 2 当堂小练 7. 已知a，b 分别是3－的整数部分和小数部分，求(a－)(b－1)的值. 解：由1<2<4，得1< <2 . 故1<3－<2 . 所以a＝1，b＝3－－1＝2－. 所以(a－)(b－1)＝(1－)(2－－1)＝(1－)2＝ 3－2. 当堂小练 8. 已知a＝，求－的值. 解：a＝＝＝ 2－. 由题意可知0<a<1，故＝1－a. 所以 －＝－＝ a－1－＝a－1＋. 由a＝，得＝ 2＋. 故原式＝2－－1＋(2＋)＝ 3 . 对接中考 1. 计算(5－2)÷(－)的结果为 (　　) A. 5 B. －5 C. 7 D. －7 A 解：原式＝(－6)÷(－)＝(－5)÷(－)＝5． 解：原式＝3＋2－2＋4＝7. 2. 计算：(＋1)2－＋(－2)2. 对接中考 3. |－|＋(－)2－(＋)2. 拓展与延伸 1. 阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式 的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一： ； 方法二： . (1)请用两种不同的方法化简：； (2)化简： . 解：(1)方法① ； 方法② . 解：(2) . 拓展与延伸 m2 n2 拓展与延伸 x＝－0.5 4．已知a＝3＋，b＝3－． (1)求a2＋b2－3ab的值； 解：(1) ∵a＝3＋，b＝3－， ∴a－b＝2，ab＝6. ∴a2＋b2－3ab＝(a－b)2－ab＝(2)2－6＝12－6＝6. (2)若m为a的整数部分，n为b的小数部分，求的值． (2) ∵m为a的整数部分，n为b的小数部分，a＝3＋，b＝3－， ∴m＝4，n＝2－. ∴＝＝＝2－. 2．若a＝－＋－，则a的取值范围为(　　) A．a≥0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜2 D．a＞2 解：a＝3＋－(＋)＋(＋)－(＋)＝3－. ∵2＜＜3， ∴0＜a＜1. 4．设a＝－，b＝－1，c＝，则a，b，c之间的大小关系是(　　) A．c>b>a B．a>c>b C．a>b>c D．b>a>c 解：∵a＝－，b＝－1，c＝， ∴a＝＝，b＝＝＝， c＝. ∵4＝>2＝>2＝， ∴a>b>c. 6．已知x＝，y＝，且19x2＋123xy＋19y2＝1 985，则正整数n的值为________． 解：∵x＝＝＝(－)2＝2n＋1－2， y＝＝＝(＋)2＝2n＋1＋2， ∴x＋y＝4n＋2，xy＝1. 将xy＝1代入19x2＋123xy＋19y2＝1 985，得19x2＋123＋19y2＝1 985， 化简得x2＋y2＝98， ∴(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＝98＋2＝100. 又∵n为正整数， ∴x＋y＝4n＋2＝10，解得n＝2. 解：方法一：原式＝＋－ ＝＋2－＋－2－－ ＝－； 方法二：原式＝＋× ＝＋2×(－1) ＝－2 ＝－. 2．小君想到了一种证明等式·＝(x≥0，y≥0)成立的方法．过程如下：设＝m， ＝n(m≥0，n≥0)，则x＝m2，y＝n2．等号左边＝mn，等号右边＝＝． ∵m≥0，n≥0，∴mn≥0．∴等号右边＝mn．∴等号左边＝等号右边． ∴等式·＝(x≥0，y≥0)成立． (1)小艳利用同样的方法求出方程＋＝4的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程(组)，再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程． 解：设＝m，＝n(m≥0，n≥0)，则25－x2＝________，17－x2＝________．将原无理方程转化为用m，n表示的整式方程(组)，并完成原无理方程的求解过程． 解：易得m2－n2＝8.∵＋＝4，∴m＋n＝4. ∵m2－n2＝(m＋n)(m－n)＝8，∴m－n＝2. 联立得解得∴25－x2＝9，17－x2＝1.∴x＝±4. (2)方程－＝－的解为_______． 解：∵－＝－， ∴x＋6＋3x＋2－2＝3x＋7＋x＋1－2. ∴＝. ∴3x2＋20x＋12＝3x2＋10x＋7. ∴10x＝－5，解得x＝－0.5. 经检验：x＝－0.5是原方程的解． $