19.3 二次根式的加法与减法 第1课时 二次根式的加减 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

第十九章 二次根式 19.3 二次根式的加法与减法 第1课时 二次根式的加减 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 可以合并的二次根式 6. 课堂小结 3. 新课导入 7. 当堂小练 CONTENTS 8. 对接中考 9. 拓展与延伸 2. 知识回顾 5. 知识点2 二次根式的加减 1. 能准确判断二次根式能否合并,并掌握合并被开方数相同的最简二次根式的方法. 2. 了解二次根式的加、减运算法则. 3. 会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算. 学习目标 知识回顾 满足下列两个条件的二次根式，叫作最简二次根式. (1) 被开方数不含分母； (2) 被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式. 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化简，使其中的二次根式为最简二次根式，并且分母中不含二次根式. 最简二次根式的概念： 新课导入 问题 化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点？ 第二组被开方数都是x 第一组被开方数都是3 新课讲解 知识点1 可以合并的二次根式 将二次根式化成最简二次根式，若被开方数相同，则这样的二次根式（也叫同类二次根式）可以合并. 如和，化成最简二次根式是，所以和可以合并. 可以合并的二次根式必须同时满足： 最简二次根式和被开方数相同这两个条件，它与根号前面的因数(式) 无关. 新课讲解 例 1. 下列根式中，不能与合并的是 ( ) A. B. C. D. 解： C 选项 化成最简二次根式 判断被开方数是否相同 结论 A ＝ 与被开方数相同 能合并 B ＝ 与被开方数相同 能合并 C ＝ 与被开方数不同 不能合并 D ＝2 与被开方数相同 能合并 新课讲解 例 2. 若最简根式 与 可以合并，求 的值. 解：由题意得，解得 即 . 确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，根指数都为2，列关于待定字母的方程求解即可. 归纳 新课讲解 练一练 1. 下列各组二次根式中，能合并的是（ ） A.与 B.与 C.与 D.与 D 2 2 2 新课讲解 练一练 2. 如果最简二次根式 与 可以合并，那么要使式子 有意义，求x的取值范围. 解：由题意得， ∴， ∴， ∴，， ∴. 新课讲解 知识点2 二次根式的加减 和可以直接相加吗？ 不能，和的被开方数不同，无法直接相加. 如何计算？能否类比整式运算？ +=3 2 =(3+2) =5. (化成最简二次根式) (利用分配律合并) 思考1 思考2 新课讲解 合并的方法： 合并二次根式的方法与合并同类项类似，将根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是分配律，如 (a≥0). 可看作二次根式的“系数” 新课讲解 例 3. 计算： 解：(1) = = ； (2) = 3+5 = 8； (3) = 4 = 14. (1)； (2)； (3). 　　 新课讲解 一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 二次根式的加减法法则： 1. 化——将非最简二次根式化成最简二次根式； 2. 找——找出被开方数相同的二次根式； 3. 合——把被开方数相同的二次根式合并：“系数”相加(减)，作为和(差)的“系数”. “一化、二找、三合” 加减法的运算步骤： 新课讲解 例 4. 计算： 解：(1) 2(- = . (1)(-)； (2) . 有括号，先去括号 (2) = = . 新课讲解 1. 化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分. 2. 整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用. 注意 新课讲解 练一练 1. 计算：(1)－； (2)－＋； (3)＋－－； (4)－(2x－6). 解：(1) －＝5－4＝2 ； (2) －＋＝2－4＋＝－. (3) ＋－－＝3＋－－＝＋. (4) －(2x－6)＝2－2＋3＝3. 新课讲解 练一练 2. 已知a，b，c满足 . (1)求a，b，c的值； (2)以a，b，c为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出其周长；若不能，请说明理由. 解：(1)由题意得，，. (2)能. 理由如下： ∵，即， 又∵，∴， ∴能够成三角形，周长为. 新课讲解 二次根式的乘除法与二次根式的加减法的区别 二次根式的乘除法 二次根式的加减法 根号外的 因数(式) 根号外的因数(式)相乘除 根号外的因数(式)相加减 被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变 化简 结果化为最简二次根式或整式 先化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式 课堂小结 二次根式的加法与减法 将二次根式化成最简二次根式，若被开方数相同，则这样的二次根式（也叫同类二次根式）可以合并 一化：将非最简二次根式化成最简二次根式 二找：找出被开方数相同的二次根式 三合：将被开方数相同的二次根式合并 可以合并的 二次根式 二次根式的加减 当堂小练 1. 下列各式中，与 是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. D 2. 与最简二次根式 能合并，则_____. 1 3. 下列二次根式，不能与 合并的是________(填 序号）. ①； ②； ③； ④； ⑤. ②⑤ 当堂小练 4. 下列计算正确的是（ ）. A. B. C. D. C 解析：A. 2×3=6×5=30，B，D 不是同类二次根式，不能相加减. 当堂小练 5. 计算：(1) ； (2) . 解：(1) (2) 当堂小练 6. 有一个等腰三角形的两边长分别为 ，，求其周长. 解：当腰长为 时， ∵， ∴此时能构成三角形，周长为；  当腰长为时， ∵， ∴此时能构成三角形，周长为 . 当堂小练 7. 已知，都是有理数，现定义新运算：，求的值． 解：∵a*b= ， ∴ 当堂小练 8. 有一块长7.5 dm、宽5 dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板？ 7.5dm 5dm 8dm2 18dm2 解：大正方形木板的边长为 dm. 因为<5，所以这块木板够宽. 两个正方形木板的边长的和为() dm， 而 = 2+3 = (2+3) = 5. 由 可知 <7.5， 即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，所以这块木板够长， 因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板. 当堂小练 3 当堂小练 10. 若最简根式与可以合并，求的值. 解：由题意得 解得 = = . 对接中考 1. 已知：－＝a－＝b，则ab＝________. 6 0 拓展与延伸 拓展与延伸 (1)点H在数轴上表示的数是________ ，点A在数轴上表示的数是________； 9． 若a，b是有理数，且＋＋＝a＋b，则a＝________，b＝________． 解：＋＋＝3＋3＋＝3＋＝a＋b， ∴a＝3，b＝. 2. 计算： (1) ＋＝______； (2) －3 ＝______． 3 1．先阅读材料，再解答问题． 已知a，b都是有理数，且满足a＋b＝3－2，求ba的值． 解：由题意得(a－3)＋(b＋2)＝0． ∵a，b都是有理数，∴a－3，b＋2也是有理数． 又∵是无理数，∴a－3＝0，b＋2＝0． ∴a＝3，b＝－2．∴ba＝(－2)3＝－8． 问题：已知x，y都是有理数，且满足x2－2y＋y＝8＋4，求x＋y的值． 解：∵x2－2y＋y＝8＋4， ∴(x2－2y－8)＋(y－4)＝0. ∵x，y都是有理数， ∴x2－2y－8，y－4也是有理数． 又∵是无理数， ∴x2－2y－8＝0，y－4＝0， 解得x＝±4，y＝4. 当x＝4，y＝4时，x＋y＝4＋4＝8； 当x＝－4，y＝4时，x＋y＝(－4)＋4＝0. 综上，x＋y的值是8或0. 解：由题意知，线段AD的中点为M， 则M表示的数为－9， 线段EH上有一点N，且EN＝EH， 则N表示的数为7. ∵M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动， N以每秒3个单位长度的速度向左运动， ∴经过x s后，M点表示的数为4x－9， N点表示的数为7－3x， ①当OM＝2ON时，则有|4x－9|＝2|7－3x|， 解得x＝(经检验，不符合题意，舍去)或x＝； ②当ON＝2OM时，则有2|4x－9|＝|7－3x|， 解得x＝或x＝(经检验，不符合题意，舍去)， 综上所述，当x＝或x＝时，原点O恰为线段MN的三等分点． 2．如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形ABCD的长AD是4个单位长度，长方形EFGH的长EH是8个单位长度，点E在数轴上表示的数是5，且E，D两点之间的距离为12． 13 －11 (2)若线段AD的中点为M，线段EH上有一点N，EN＝EH，M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为x s，问当x为多少时，原点O恰为线段MN的三等分点？ $