19.2 二次根式的乘法与除法 第3课时 最简二次根式 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

第十九章 二次根式 19.2 二次根式的乘法与除法 第3课时 最简二次根式 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 最简二次根式 6. 课堂小结 3. 新课导入 7. 当堂小练 CONTENTS 8. 对接中考 9. 拓展与延伸 2. 知识回顾 5. 知识点2 二次根式的应用 1. 了解最简二次根式的概念. 2. 能逆用二次根式的乘除运算法则化简二次根式，提升运算能力. 学习目标 知识回顾 二次根式的乘法法则： 二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变. 拓展： 二次根式的乘法法则的逆用： 积的算术平方根等于积中各个因数或因式的算术平方根的积. 二次根式的除法法则： 二次根式相除，被开方数相除，根指数不变. 二次根式除法法则的逆用： 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 新课导入 问题1 你还记得分数的基本性质吗？ 分数的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分数与原分数相等. 即. 前面我们学习了二次根式的除法法则，你会去掉 这样的式子分母的根号吗？ 是不是可以用分数的基本性质去掉分母的根号呢？ 问题2 新课讲解 知识点1 最简二次根式 思考 2， 3， ， ， ，观察上面这些式子中的二次根式，可以发现它们有什么共同特点吗？ 特点： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式. 新课讲解 满足下列两个条件的二次根式，叫作最简二次根式. (1) 被开方数不含分母； (2) 被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式. 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化简，使其中的二次根式为最简二次根式，并且分母中不含二次根式. 最简二次根式的概念： 1. 有限小数可以化为分数，故最简二次根式的被开方数中不含有限小数. 2. 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化简，使其中的二次根式为最简二次根式，并且分母中不含二次根式. 注意 新课讲解 例 1. 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？不是最简二次根式的，说明理由： ①；② ； ③ ； ④ ； ⑤ 解：①④是，满足最简二次根式的条件. ②不是，被开方数含有分母. ③不是，被开方数含有能开得尽平方的因数4. ⑤不是，∵a3-2a2+a=a(a2-2a+1)=a(a-1)2， ∴被开方数含有能开得尽平方的因式. 新课讲解 例 2. 计算：(1)； (2)； (3)； (4). 解：(1)＝＝×＝2. (2)＝＝＝. (3)方法一：＝＝＝＝＝； 方法二：＝＝＝＝＝＝. (4)＝＝＝. 分母形如 的式子，分子、分母同乘以 可使分母不含根号. 新课讲解 分母中含有二次根式的式子的化简方法 方法一：先应用分数（式）的基本性质，把分母化成一个完全平方数（式），再逆用二次根式的除法法则. 方法二：先直接逆用二次根式的除法法则，把分子和分母分别化简，再应用分数（式）的基本性质，使分母中不含二次根式. 把分母中的根号化去，使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化. 化简二次根式的一般方法 ① 将被开方数中能开得尽平方的因数或因式进行开方. ② 化去根号下的分母：若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数；若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数. ③ 被开方数是多项式的要先进行因式分解. 归纳 新课讲解 练一练 1. 在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简． (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 解：只有(3)是最简二次根式. (1) ； (2) ； (4)； (5) . 新课讲解 练一练 2. 化简，使结果中的二次根式为最简二次根式. (1) ； (2)； (4)； (4) . 解： (1) 方法一 . 方法二 . (2) 方法一 . 方法二 新课讲解 练一练 2. 化简，使结果中的二次根式为最简二次根式. (1) ； (2)； (3)； (4) . 解：(3). 新课讲解 将二次根式化成最简二次根式的一般步骤 一分：利用分解因数或分解因式的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数（或最简因式）的幂的乘积的形式. 二移：把能开得尽方的因数（或因式）用它的算术平方根代替，移到根号外，当把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意依旧写在分母的位置上. 三化：化去被开方数中的分母. 四约：约分，化为最简二次根式. 归纳 新课讲解 知识点2 二次根式的应用 例 3. 观察下面式子及其验证过程． ，验证： . 解：5＝. 验证：5＝＝＝＝. (1) 按照上面等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2) 针对上面式子反映的规律，试用含n(n 为任意自然数，且n ≥ 2)的等式表示出 来，并验证. 解：n＝ ( 为任意自然数，且). 验证：＝·＝＝＝ ＝. 把二次根号外的正因数平方后移到根号内，式子的值不变. 例如：－3＝－＝－ . 归纳 新课讲解 例 新课讲解 练一练 1. 化简：. 错解：＝＝＝＝. 正解：∵ －a>0， ∴ a<0. ∴ ＝＝＝－. 当二次根式的被开方式中含有字母时，不要急于计算，要先分析字母的取值范围.此题中，式子隐含了a<0 这一条件，故等于－a而不是a. 诊误区 新课讲解 练一练 2. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间 t (单位：s)和下落高度h(单位：m)近似满足公式t＝(不考虑风速的影响). (1) 从50 m高空抛物到落地所需时间是t1 s，从100 m高空抛物到落地所需时间是t2 s，求t1，t2的值. (2) t2是t1的多少倍？ (3) 高空抛物下落的时间为1.5 s, 高空抛物下落的高度是多少？ 课堂小结 最简二次根式 条件：1. 被开方数不含分母 2. 被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式 化简步骤：“一分”“二移”“三化”“四约” 当堂小练 1. 化简，使结果中的二次根式为最简二次根式. (1) ；(2) ；(3) (x ≥ 0). 解：(1) 原式 = = ； (2) 原式 = = ； (3) 原式 = = . 当堂小练 2. 计算：(1) ； (2) ； (3) ； (4). 解：(1) . (2) . (3) . (4) . 当堂小练 3. 计算：(1) ； (2)； (3) ； (4) . 解：(1) . (2) . (3) = = = (4) 方法一 原式 = = = . 方法二 原式= = . 当堂小练 4. 一个长方体的体积，高，求它的底面积S. 解：∵ ∴. 故这个长方体的底面积S为. 当堂小练 5. 自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是 “求二次根式中 实数a的取值范围 ” ，她告诉刘敏说：你把题目抄错了，不是“”， 而是“”刘敏说：哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正和 都在根号内．试问：刘敏说得对吗？ 解：刘敏说得不对，结果不一样．理由如下： 按计算，则a≥0，a-3＞0或a≤0，a-3＜0， 解得a＞3或a≤0； 而按 计算，则a≥0，a-3＞0，解得a＞3． 当堂小练 6. 如果 ，那么 a 的取值范围是什么？ 解：∵ ， ∴ ∵ a+1≥0， 综上，a 的取值范围是 -1≤ a ≤ 0. ∴ a ≥ -1. ≤0. 对接中考 1. 计算÷3×的结果正确的是(　　) A. 1 B. C. 5 D. 9 A 解：方法一：原式＝×＝1. 方法二：原式＝÷×＝＝1. 对接中考 2. 计算：(1) |－6|－×＋22； (2) ×8÷． 拓展与延伸 3 拓展与延伸 3 (4) ＝＝＝ . (3)比较－和－的大小． 4．先阅读，再解答：两个含有二次根式的式子相乘，如果它们的积 不含二次根式，那么我们就说这两个式子互为有理化因式．例如： ＝＝－，请完成下列问题： (1)－1的有理化因式是__________________； (2)化简：＝________； ＋1(答案不唯一) 3＋ 解：∵＝＋，＝＋，＞， ∴＞. ∴－＜－. 解：(1)当h＝50时，t1＝＝；当h＝100时，t2＝＝＝2. (2) ∵＝＝，∴t2是t1的倍． (3)当t＝1.5时，1.5＝，解得h＝11.25. 因此，经过1.5 s，高空抛物下落的高度是11.25 m. 解：(1) 原式＝6－＋4＝6－4＋4＝6； (2) 原式＝×＝3＝3×＝1. 1. 如果A＝×，其中为最简二次根式，A为有理数，那么n＝_____． 2．若a是正整数，是最简二次根式，则a的最小值为_____． 解：∵a是正整数，是最简二次根式， ∴＝. ∵a为1时，＝3，a为2时，＝2，均不是最简二次根式， a为3时，＝，此时是最简二次根式， ∴a的最小值为3. $