19.1 二次根式及其性质 第1课时 二次根式的概念及其有意义的条件 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

第十九章 二次根式 19.1 二次根式及其性质 第1课时 二次根式的概念及其有意义的条件 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 二次根式的概念 6. 课堂小结 3. 新课导入 7. 当堂小练 CONTENTS 8. 对接中考 9. 拓展与延伸 2. 知识回顾 5. 知识点2 二次根式有意义的条件 1. 了解二次根式的概念，发展抽象能力. 2. 理解二次根式中被开方数的非负性，会求使形如的式子有意义时字母的取值范围. 3. 会利用二次根式的非负性解决相关问题. 学习目标 知识回顾 平方根的概念 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根. 算术平方根的概念 如果（≥0）,那么称为a的算术平方根.用(表示. 什么数有平方根? 负数没有平方根. 因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0. 知识回顾 2. 如果x2=9，那么x= . 4. 如果x2=-5，那么实数x . 5. 如果x2=a(a≥0)，那么x= . 1. 13的平方根是 ，13的算术平方根是 . 3. 如果x2=0，那么x= . ± ±3 无解 0 ± 正数有两个平方根，它们互为相反数, 0的平方根是0, 负数没有平方根. 新课导入 思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？ 1. 如图①的海报为正方形，若面积为2m2，则边长为_____m；若面积为S m2，则边长为_____m． 2. 如图②的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为____m． 图① 图② 3. 如图③一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为_____． 图③ 新课导入 探究 【问题1】这些式子分别表示什么意义？ 分别表示2，S，3， 的算术平方根． 上面问题中，得到的结果分别是：，，，． ①根指数都为2； ②被开方数为非负数. 【问题2】这些式子有什么共同特征？ 新课讲解 知识点1 二次根式的概念 一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫作二次根式. 二次根式也是代数式. 二次根式的概念： 二次根号 被开方数 读作：根号a a可以是非负的数或单项式、多项式、分式等 实为“”，通常将根指数2省略不写 新课讲解 1. 中的既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子. 2. 已知 是二次根式，就意味着满足≥0. 3. 两个必备特征： ①外貌特征：含有“” ②内在特征：被开方数a ≥0 4. 判断二次根式时，是对式子本身进行判断，而不是对计算后的结果进行判断. 5. 特别地，形如b(a≥0)的式子也是二次根式，它表示b与的乘积；当b是带 分数时，要写成假分数.例如要写成. 说明 新课讲解 例 1. 给出下列式子： ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ . 其中一定是二次根式的是_________(填序号). ①③⑤ 方法点拨：识别二次根式的方法 解：①③⑤是，含有二次根号，且被开方数(－2)2，0，a2＋1 都是非负数； ②不是，“”是三次根号，不是二次根号； ④不一定，虽然含有二次根号，但被开方数x＋y 可能是负数； ⑥不是，虽然含有二次根号，但被开方数－2a2－1 ＜ 0. 新课讲解 练一练 1. 给出下列式子： ①； ②； ③； ④； ⑤ ； ⑥ . 其中一定是二次根式的是_________.（只填序号） ①④⑥ 新课讲解 练一练 2. 有一个长、宽之比为5∶1的长方形过道，其面积为10 m2，求这个长方形过道的长和宽． 新课讲解 知识点2 二次根式有意义的条件 当a满足什么条件时，在实数范围内有意义？ 条件 字母表示 有意义 被开方数为非负数 有意义 思考 无意义 被开方数为负数 无意义 新课讲解 例 2. 当x满足什么条件时，在实数范围内有意义？ 解：由≥0，得 x≥2. ∴ 当x≥2时，在实数范围内有意义. 新课讲解 练一练 1. 当 x 是怎样的实数时， 下列格式在实数范围内有意义？ (2)由 x+3≥0 且 x-2≠0 ，得x≥-3且x≠2. ∴x≥-3且x≠2时， 在实数范围内有意义. (1) ； (2) . 解：(1)由题意得x-1＞0，∴x＞1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母时，应同时考虑分母不为零. 归纳 新课讲解 当x满足什么条件时， 在实数范围内有意义？呢？ 思考 代数式 条件 x取任意实数 x取非负数 新课讲解 例 3. 当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ； (2) ； (3) ； (4) ＋(a＋5)0； (5) －； (6) . 解：(1)由a－1 ≥ 0，得a ≥ 1. 当a ≥ 1 时，在实数范围内有意义. (2)≥ 0 且3－a ≠ 0，得3－a＞0，故a＜3. 当a＜3时，在实数范围内有意义. 二次根式的被开方数是非负数 分母不为0 新课讲解 例 3. 当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ； (2) ； (3) ； (4) ＋(a＋5)0； (5) －； (6) . 解：(3)因为不论a为何值，(a＋1)2 ≥ 0 恒成立， 所以a取任意实数，在实数范围内都有意义. (4)由得 当a ≤ －3 且a ≠ －5 时，＋(a＋5)0在实数范围内有意义. 新课讲解 例 3. 当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ； (2) ； (3) ； (4) ＋(a＋5)0； (5) －； (6) . 解：(5)由得 当2 ≤ a ≤ 5 时，－在实数范围内有意义. (6)由得 当a ≥ －4 且a ≠ 2 时，在实数范围内有意义. 新课讲解 练一练 2. 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ； (2) . 解：(1)∵无论x为何实数，， ∴当x=1时， 在实数范围内有意义. (2)∵无论x为何实数， ， ∴无论x为何实数， 在实数范围内都无意义. 被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论. 归纳 新课讲解 练一练 新课讲解 1. 单个二次根式如 有意义的条件：； 2. 多个二次根式相加如 有意义的条件： 3. 二次根式作为分式的分母如 有意义的条件：； 4. 二次根式与分式的和如 有意义的条件：且； 5. 负整数幂和零指数幂有意义的条件：底数不为0. 归纳 课堂小结 二次根式 二次根式的概念 一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫作二次根式. 形如的式子有意义的条件 被开方数为非负数 . 当堂小练 1. 若式子是二次根式，则a的值不可以是 (　　) A. 0 B. －2 C. 2 D. 4 B 2. 在式子① ；② ；③ (x＞－1)；④ ； ⑤ ；⑥ 中，是二次根式的有_______(填序号)． ③④⑥ 当堂小练 A 解：由题意得3－x≥0且x－1≠0，解得x≤3且x≠1. 当堂小练 (3)由≥0且1－|x|≠0得1－|x|>0，解得－1<x<1. 所以当－1＜x＜1时，有意义． 当堂小练 D 9 当堂小练 2 对接中考 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围为(　　) A．x＞ B．x＜ C．x≥ D．x≤ D 对接中考 D 拓展与延伸 －3 拓展与延伸 D 解：设这个长方形过道的长为5x m，则宽为x m， 由题意，得5x·x＝10， ∴x＝±. ∵x>0， ∴x＝. ∴5x＝5. 答：这个长方形过道的长和宽分别为5 m和 m. 3. 若x，y为实数，且y＝＋－2，求的值； 解：由题意得 ∴x＝3， ∴y＝＋－2＝0＋0－2＝－2， ∴＝＝. 3．在＋中，x的取值范围在数轴上表示为(　　) 4．当x是怎样的实数时，下列式子有意义？ (1)；　(2)；　(3)． 解：(1)无论x为何实数，(x＋1)2都是非负数． 所以不论x取何实数，总有意义． (2)由得x＞3.所以当x＞3时，有意义． 5．已知y＝＋－1，则xy的值为(　　) A．－6 B．－ C．6 D． 6．若(2x＋y－5)2＋＝0，则x－y的值是________． 7. 当x＝________时，式子＋2取最小值，这个最小值为________． 2．若a＝2 0252－2 024×2 025，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．b<a<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b 解：a＝2 0252－2 024×2 025＝2 025×(2 025－2 024)＝2 025＝， b＝＝＝＝， c＝＝＝. ∵2 0252－1<2 0252<2 0252＋1， ∴<<. ∴c<a<b. 1．如果关于x的不等式组的解集为x>2，且式子的值是整数，则符合条件的所有整数m的值的和是________． 解：解不等式>0得x＞m，解不等式－x<－2得x＞2. ∵不等式组的解集为x＞2. ∴m≤2. ∵式子的值是整数， ∴|m|＝3或2. ∴m＝－3，3，2或－2. 由m≤2得m＝－3，－2或2. 即符合条件的所有整数m的和是－3. 2．已知点M(x，y)的坐标满足＋＝·，那么将点M先向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度后的坐标为(　　) A．(10，－4) B．(－4，10) C．(6，－4) D．(6，0) 解：由题意得∴x＋y＝6，即＋＝0， ∴ ①－②得x＋2y－2＝0， 与x＋y＝6联立得解得 ∴M(10，－4)，将点M先向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度后的坐标为(10－4，－4＋4)，即(6，0)． $