19.2 二次根式的乘法第1课时 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第十九章 二次根式 19.2 二次根式的乘法与除法 第1课时 二次根式的乘法 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 二次根式的乘法法则 6. 课堂小结 3. 新课导入 7. 当堂小练 CONTENTS 8. 对接中考 9. 拓展与延伸 2. 知识回顾 5. 知识点2 二次根式乘法法则的逆用 1. 了解二次根式的乘法法则. 2. 能运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算. 学习目标 知识回顾 二次根式的性质 性质1 0（） 二次根式的双重非负性. 表示 性质2 2（）. 文字表述：一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身. 性质3 文字表述：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值. 新课导入 问题1 运用运载火箭发射航天行器时，火箭必须达到一定的速度（第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：v12=gR，其中g是重力加速度.请用含g，R的代数式表示出第一宇宙速度v1. 第一宇宙速度v1可以表示为. 新课导入 问题2 飞行器脱离地心引力，进入围绕太阳运行的轨道所需要的速度称为第二宇宙速度.第二宇宙速度为v2= v1，请结合情景1用含g，R的代数式表示出第二宇宙速度v2 . 第二宇宙速度v2可以表示为. 思考 若已知地球半径及重力加速度，要求第二宇宙速度，本质是把两个二次根式相乘，该怎么乘呢？ 新课讲解 知识点1 二次根式的乘法法则 (1) ___×___=____； =____________； 计算下列各式： (2) ___×___=____； (3) ___× ___=____ ； =____________； =____________. 2 3 6 4 5 20 5 6 30 观察两者有什么关系？ 探究 新课讲解 观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式： (1) ； (2) ； (3) . 你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？ 猜测：，. 你能证明这个猜测吗？ 探究 新课讲解 求证：· = (a≥0，b≥0) . 证明：根据积的乘方法则，有(·)2=()2·()2=ab， ∴·就是ab的算术平方根. 又∵表示ab的算术平方根， ∴· = (a≥0，b≥0) . 新课讲解 一般地，二次根式的乘法法则是 · = (a≥0，b≥0). 二次根式相乘，________相乘，________不变. 二次根式的乘法法则： 根指数 被开方数 1. ≥0，b≥0是此法则成立的前提条件.在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数. 2. 本节法则中的a，b既可以是一个数，也可以是其他代数式. 注意 新课讲解 例 1. 计算： ；     ； 解：(1)； (2)； (3) . 可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则 二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，即. 归纳 新课讲解 例 2. 计算：(1)； (2). 解：(1) ； (2) . 【问题】你还记得单项式乘单项式法则吗？ 试回顾如何计算3a2·2a3= . 6a5 提示：可类比上面的计算哦 乘法交换律、结合律在二次根式的乘法中仍然适用. 类比单项式乘以单项式，可得 . 归纳 新课讲解 练一练 1. 计算：(1)×； (2)·；(3)6×(－2)； (4)××. 解：(1)×＝＝＝14. (2)·＝＝. (3)6×(－2)＝6×(－2)×＝－12＝－12×9＝－108. (4)××＝＝. 根号外的因数，不要遗漏负号 被开方数有带分数时，要先把带分数化成假分数，再运用法则计算 结果中有开得尽平方的因数，一定要开平方 新课讲解 练一练 2. 比较大小： 与 . 解：∵ ， ， 又∵，∴， ∴，即 . 两个负数比较大小，绝对值大的反而小. 比较两个二次根式的大小的方法： 1. 可以转化成比较两个被开方数的大小，即可以将根号外的正因数平方后移到根号内，比较移后的被开方数的大小，被开方数大的，其算术平方根也大. 2. 可以将两个二次根式分别平方，计算出结果，再比较大小，此法称为平方法. 依据是：当a>0，b>0时，若a2>b2，则a>b. 归纳 新课讲解 知识点2 二次根式乘法法则的逆用 把· = (a≥0，b≥0)反过来，就得到 =· (a≥0，b≥0). 语言表述：积的算术平方根等于积中各个因数或因式的算术平方根的积. 二次根式乘法法则的逆用： 这个性质在有的地方称之为“积的算术平方根的性质”. 此公式成立的条件是a≥0，b≥0.实际上，公式中a，b的取值范围是限制公式右边的，对于公式左边，只要 ab ≥ 0 即可. 即当a ＜ 0，b ＜ 0 时，＝＝· . 注意 新课讲解 例 3. 化简：(1) ； (2) ，； (3) ； (4) ， . 解：(1)  = 4 × 9 = 36. (3) ； (4) . (2)  =· . 1. 被开方数含这样的因数或因式，它们被开方后可以移到根号外，开得尽的因数或因式. 2. 当二次根式内的因数或因式可以化成含平方差或完全平方的积的形式，此时运用乘法公式可以简化运算. 归纳 新课讲解 例 C 新课讲解 逆用二次根式乘法法则化简的步骤 1. 将被开方数进行因数分解或因式分解，如化简时， 先把化成的形式. 2. 利用∙ 将能开得尽平方的因数或因式开到根号外，如. 3. 如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式 把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简 . = (a0，b0，c0). 拓展 新课讲解 练一练 1. 化简：①； ②； ③； ④. 解：① = =× =10. ②==×=2×9=18. ③ = =× =5×3=15. ④ = =·=2a. 新课讲解 练一练 C 课堂小结 二次根式 二次根式的乘法 乘法法则：二次根式相乘,被开方数相乘，根指数不变 · = (a0，b0). 二次根式乘法法则的逆用 =· (a0，b0). 当堂小练 1. 把下列各式中根号外的因数(式)移到根号内： (1)3； (2)－2； (3)x. 解：(1)3＝×＝＝. (2)－2＝－ ×＝－＝－. (3)∵－>0 ，∴ x<0 . ∴x＝－·＝－＝－. 先判，再移： 1. 如果根号外的式子为正，直接将其平方后移入根号内； 2. 如果根号外的式子为负，保留其负号，再取其相反数，然后将其相反数的平方移入根号内. 方法归纳 当堂小练 2. 比较大小：(1)7与3； (2)－2与－3. 解：(1)方法一：∵ 7＝ ＝，3＝＝，< ， ∴ < ，即7<3. 方法二：∵(7)2＝49×2＝98，(3)2＝9×11＝99，98<99， ∴(7)2<(3)2 .又∵ 7>0 ，3>0，∴ 7<3. (2)－2＝－，－3＝－. ∵ 44<45，∴ < .∴ － >－，即－2>－3. 当堂小练 3. 已知 =a ， =b，试用a，b表示. 解：∵×===×=10. 又∵=a，=b. ∴ab=10. ∴ =ab. 当堂小练 D B 当堂小练 －8 对接中考 B 对接中考 2 拓展与延伸 (2)试用含n(n为自然数，且n≥2)的等式表示这一规律，并加以证明． 拓展与延伸 4 －4 4. 若a<(4＋)×<b(a，b为连续整数)，则a，b的值分别为(　　) A．3，4　 B．4，5 C．5，6　 D．6，7 解：(4＋)×＝2＋1. ∵2＋1＝＋1，4<<5， ∴5<＋1<6. ∵a<(4＋)×<b(a，b为连续整数)， ∴a＝5，b＝6. 2．已知整数k满足|k＋1|＋|k－4|＝5，且还满足等式 ＝·，则符合条件的所有整数k的和是(　　) A．14 B．9 C．5 D．3 解：∵|k＋1|＋|k－4|＝5， ∴－1≤k≤4. ∵＝·， ∴k＋2≥0，3－k≥0. ∴－2≤k≤3. ∴－1≤k≤3. ∴整数k的值为－1，0，1，2，3. ∴符合条件的所有整数k的和是－1＋0＋1＋2＋3＝5. 4. 若a＝，b＝，用含a，b的代数式表示，则这个代数式不可以是( 　) A．2b B．ab C．a2b D．ab2 5. 将a根号外的因式移到根号内，得(　　) A． B．－ C．－ D． 6．若×＝×m＝m，则m－n＝________． 解：∵×＝×2＝2， ∴m＝2，n＝10. ∴m－n＝2－10＝－8. 1. 如果·＝，那么x的取值范围是(　　) A．x≥0 B．x≥3 C．0≤x≤3 D．x为任意实数 2. 已知m为正整数，若是整数，则根据＝＝3 可知m有最小值3×7＝21．设n为正整数，若是大于1的整数，则n 的最小值为________． 解：∵＝＝10， 是大于1的整数，n为正整数， ∴n的最小值为2. 解：n＝(n为自然数，且n≥2)． 证明：n＝＝＝＝. 1．观察与思考： ①2＝； ②3＝； ③4＝． 式①验证：2＝＝＝＝； 式②验证：3＝＝＝＝； 式③验证：4＝＝＝＝． (1)猜想5＝________； 2．阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当a>0时，∵a＋＝()2－2·＋2＋2·＝2＋2， ∴当＝，即a＝1时，a＋的最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： (1)当a>0时，a＋的最小值为________；当a<0时，a＋的最大值为________； (2)当a>0时，求的最小值； 解：当a>0时，∵＝3a＋4＋＝3＋4＝32＋4＋2， ∴当＝，即a＝时， 的最小值是4＋2. $