19.2 二次根式的乘法与除法 第2课时 二次根式的除法 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

第十九章 二次根式 19.2 二次根式的乘法与除法 第2课时 二次根式的除法 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 二次根式的除法法则 6. 课堂小结 3. 新课导入 7. 当堂小练 CONTENTS 8. 对接中考 9. 拓展与延伸 2. 知识回顾 5. 知识点2 二次根式除法法则的逆用 1. 了解二次根式的除法法则. 2. 会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算. 学习目标 知识回顾 二次根式的乘法法则：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变. 拓展： = （a≥0，b≥0）. 二次根式的乘法法则的逆用：积的算术平方根等于积中各个因数或因式的算术平方根的积. 符号表示：（a≥0，b≥0）. 逆用二次根式乘法法则化简的步骤： 1. 将被开方数进行因数分解或因式分解； 2. 利用 （a≥0，b≥0）和（a≥0），将能开得尽方的因数或因式开到根号外. 新课导入 问题 已知，两个正方形面积分别为12，4，请求出大正方形的边长是小正方形边长的多少倍？ 大正方形的边长：， 小正方形的边长： ， = ？ 新课讲解 知识点1 二次根式的除法法则 探究 (1) ___÷___=____； = _____； 计算下列各式： (2) ___÷___=____； (3) ___÷___=____； = _____； = _____. 2 3 4 5 6 7 观察两者有什么关系？ 新课讲解 通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式除法运算法则，你能说出二次根式 的结果吗？ 探究 观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式： (1) (2) (3) 特殊 一般 新课讲解 在前面发现的规律 中，a，b的取值范围有没有限制呢？ 不对，同乘法法则一样，a，b都为非负数. a，b同号就可以啦 你们都错啦，，，时等式两边的二次根式就没有意义啦 探究 新课讲解 一般地，二次根式的除法法则是 = (，). 二次根式相除，________相除，________不变. 二次根式的除法法则： 根指数 被开方数 1. ，是此法则成立的前提条件. 2. 本节法则中的a，b既可以是一个数，也可以是其他代数式. 3. 被开方数若是带分数，应先化为假分数，再应用公式化简. 4. 在二次根式的计算中，最后的结果中被开方数应不含有能开得尽方的因数或因式，且被开方数不含分母，同时分母中不含二次根式. 注意 新课讲解 二次根式的乘法法则的推广 ①多个二次根式相除的情况， ②当二次根式根号外的因数不为1时，类比单项式除以单项式，可得 系数相除 根式相除 系数的商作为结果的系数，根式的除法按照除法法则计算. 新课讲解 例 1. 计算：(1) ； (2) ÷. 解：(1) . (2)= = 3. 除式是分数或分式时，先要转让化为乘法再进行运算. 新课讲解 例 2. (1) ÷； (2)÷； (3) . 解：(1)方法一 ÷=÷ = × = . 方法二 ÷= = = . (2) 4÷2 =(4÷2)× =2× =2×6 =12. (3) -÷ ÷ =(-1 1)× = × = . 除式是分数或分式时，先要转让化为乘法再进行运算. 新课讲解 练一练 1. 如果 ＝ 成立，那么 ( ) A. a≥8 B. 0≤a≤8 C. a≥0 D. a＞8 解：根据二次根式除法法则成立的条件，得 ∴a＞8. 注意：分母不能为0 D 新课讲解 练一练 2. 计算：(1)； (2)÷； (3)9÷3； (4)－÷÷. 解：(1)＝＝＝2. (2)÷＝＝＝＝3. (3)9÷3＝(9÷3)＝3＝9. (4)－÷÷＝(－1÷÷1)＝－ ＝－. 新课讲解 知识点2 二次根式除法法则的逆用 ， . 语言表述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 二次根式除法法则的逆用： 这个性质在有的地方称之为“商的算术平方根的性质”. 1. 此公式成立的条件是，.实际上，公式中a，b的取值范围是限制公式右边的，对于公式左边，只要即可. 2. 公式中的a，b既可以是一个数，也可以是其他代数式. 3. 利用商的算术平方根的性质可以对被开方数中含有分母的二次根式进行化简，化成被开方数不含分母的二次根式. 注 意 我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质. 类似的，把二次根式的除法法则反过来，就得到 新课讲解 例 3. 化简：(1)； (2)； (3)； (4) (a＞0，b ≥ 0). 解：(1)＝＝＝； (2)＝＝＝＝＝； (3)＝＝＝＝＝； (4)＝＝. 新课讲解 例 4. 设长方形的面积为S. 相邻两边长分别为a，b. 已知S=，b=，求a. 解:因为S=ab， 所以a = = = = = = = . 二次根式化简的结果中被开方数不含分母 新课讲解 练一练 1. 化简：(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) . 解：(1)原式； (2)原式=； (3)原式 ； (4)原式； (3) 原式 新课讲解 练一练 D 课堂小结 二次根式的除法 二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变. = (a≥0，b>0). 二次根式除法法则的逆用 = (a≥0，b>0). 当堂小练 1. 计算：(1)  (2)  (3)  (4) . 解：(1)  (2) . (3)  (4) = = =2a. 当堂小练 2. 计算：(1) ； (2)； (3) ； (4) ； (5) . 解：(1)  = . (2)  = . (3)  == . (4) = = . (5) ===. 当堂小练 3. 使得等式 有意义的 a 的取值范围是什么？ 解：根据二次根式的除法法则可得 解得. 所以使得等式有意义的 a 的取值范围是 . 当堂小练 4. 在物理学中有公式，其中表示电功(单位：焦耳)，表示电流(单位：安培)，表示电阻(单位：欧姆)，表示时间(单位：秒)，如果已知、、， 求，则有 .若焦耳，欧姆，秒．试求电流． 解：当W=2400，R=100，t=15时， （安培）. 当堂小练 B 当堂小练 D 对接中考 1. 等式＝成立的x的取值范围在数轴上可表示为(　　) B 对接中考 D 拓展与延伸 (2) 原式= ==1. 1. 计算： (1) ； (2) ； (3). 注意：按照从左到右的顺序，先把除法转化成乘法，再根据二次根式的乘法法则进行计算. 解：(1) (3) 原式 =-4 提示：带分数要先化成假分数 拓展与延伸 2. 幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向 及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则A＋B＋C＋D 的值为________．　 2．已知＝a，＝b，则＝(　　) A． B． C． D． 解：＝＝＝. ∵＝a，＝b， ∴原式＝. 5．如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①·＝1；②＝；③÷＝－b，其中正确的是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 解：∵ab＞0，a＋b＜0， ∴a＜0，b＜0. ∴·＝1，＝，÷＝－b. 6．若x＜1，且y＝＋3，则y·÷·的值为(　　) A． B．16 C．64 D．8 解：∵x＜1，且y＝＋3， ∴y＝－1＋3＝2. ∴y·÷·＝2÷×＝2＝8. 故选D. 2. 如果ab>0，a＋b<0，那么下面各式不正确的是(　　) A．＝－a B．×＝1 C．÷＝－b D．＝ 3＋3 解：∵5××＝10， ∴A×5×＝10，解得A＝2；B××10＝10，解得B＝1；5××C＝10，解得C＝2；×10×D＝10，解得D＝. ∴A＋B＋C＋D＝2＋1＋2＋＝3＋3. $