精品解析：福建霞浦县第六中学等学校2025-2026学年第二学期阶段性训练高一数学试卷

2025-2026学年第二学期阶段性训练 高一数学试卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以复数的虚部为. 3. 记的内角的对边分别为，若，，，则角为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由正弦定理可知， 由，又因为， 所以为或. 4. 在复平面内，复数所对的向量为，将逆时针旋转得到，则所对应的复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的几何意义结合旋转的性质求解即可. 【详解】由题意知，. 设，对应的复数为，则逆时针旋转后应在第一象限，所以，. 由旋转性质得旋转前后模长相等，且与垂直， 所以，解得. 所以逆时针旋转后，，对应的复数为. 5. 已知向量，的夹角为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，所以， 又，向量，的夹角为，所以，所以， 所以. 6. 在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过 三点共线，即可求解. 【详解】由，可得： ，即， ， 因为 共线，则 . 7. 在中，角所对边分别为，已知向量， 且，同时满足，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示，结合余弦定理得到，再由，边化角得到，即可求解. 【详解】由，得：  ，  展开整理得： ，  由余弦定理​，代入得， 因为，所以， 又， 将边化为角：  ， 又，所以 ， 代入展开得：  ，  整理得： ，又， 所以，即 所以， 因此是等边三角形. 8. 已知圆的半径为3，弦，是圆上的一个动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】取的中点，则，, 所以 ， 因为，所以. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 共轭复数 B. 模长 C. 复数在复平面内对应的点位于第三象限 D. 【答案】BC 【解析】 【详解】由，得，所以，故A错误； ，故B正确； 在复平面内对应的点坐标为，位于第三象限，故C正确； ，故D错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 向量可以作为平面内的一个基底 B. 在平行四边形ABCD中，若，则 C. 若，则在方向上的投影向量为 D. 若为单位向量，则. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，因为，又， 所以向量与向量不共线，所以向量与向量可以作为平面内的一个基底，故A正确； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若， 则向量在向量上的投影向量是，故C错误； 对于D，若为单位向量， 则， ， 所以，故D正确. 11. 已知，点落在第三象限，点在平面内满足：①；②，延长与交于点，则以下说法正确的是（ ） A. 是等边三角形 B. C. 若是外接圆上一点，当最大时，、、三点共线 D. 若是外接圆上一点，点所对应的复数为，则的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】由向量数量积的定义可判断A，再由三角形为等边三角形确定点坐标，进而可判断B，借助三角函数定义设，结合三角函数求得最值，确定，可判断C，由复数模长的几何意义可判断D. 【详解】①；②， 得 ， 故 ， 又 ， 故 ， 则 ， 所以， 故是等边三角形，A正确， 设，， 则， 且， 因为是等边三角形， 所以， ， 两式相减可得：，即，再代入， 得，又， 解得，则 即 ， 因为是外接圆圆心，半径为1， 由 ， ，结合三角形重心坐标公式可得重心坐标为， 又是等边三角形，重心和外心重合，故点即为坐标原点. 选项B，由A可知与交点为中点，故 ， 则 ， ， ，B错误， 选项C，因为外接圆圆心是原点，半径为1， 由三角函数定义可设，， ， ， 则  ，​ 故当时，取得最大值为​， 此时 ， ， 不共线，即 不共线，C错误， 选项D， ，其几何意义是单位圆上的点到定点的距离， 定点到圆心的距离为​，外接圆半径为1，故最大距离为，D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算： ________ 【答案】## 【解析】 【详解】. 13. 无人机在高空水平飞行，某一时刻在地面观测点A的正上方，此时在地面的另一个观测点B测得无人机的仰角为，已知A、B两点间水平距离为600米，则无人机的飞行高度为__________米. 【答案】 【解析】 【详解】由题意，作出示意图如图所示：为无人机所在位置，米，， 因为点在点A的正上方，所以，所以. 所以无人机的飞行高度为米. 14. 在中，是重心，过的直线交于，交于，设 ，，且，，则的值为________. 【答案】3 【解析】 【详解】因为三角形重心是三条中线的交点，所以有， 又因为，，所以，. 于是可得， 又因为三点共线，所以有，得. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数 （1）若，求实数的值； （2）若复数对应的点在第四象限，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法运算与复数相等的条件可得的条件，计算即可. （2）利用复数的除法运算化简，根据象限内实部虚部的符号建立不等式组求解. 【小问1详解】 由题意得，， ，； 【小问2详解】 由题意得， 复数对应的点在第四象限，，所以， 故的取值范围为. 16. 已知平面向量，且． （1）求和的坐标； （2）求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两平行向量、垂直向量的坐标关系列方程求解； （2）求出、的坐标，直接代入向量夹角公式中求余弦值即可. 【小问1详解】 因为，所以，则， 因为，所以，则. 【小问2详解】 因为，， 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为. 17. 如图，西礵岛上有一个雷达观测站在北礵岛的南偏西方向，从北礵岛出发有一条南偏东方向的海上航道直达南礵岛.现有一艘货船从西礵岛出发，沿直线航行13km到达南礵岛，然后改变航向，沿该航道向北礵岛行驶.当货船行驶10km到达东礵岛时，测得与之间的距离为7km. （1）求； （2）求之间的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意知: 在中，由余弦定理 因为，因为. 【小问2详解】 因为， 所以， 由题意知: 在中，由正弦定理得:，所以 由余弦定理得:， 即，解得:(负值舍去) 所以之间的距离为，三点共线. 所以之间的距离为 18. 已知，内角对应的边为满足: . （1）求角； （2）若，求； （3）若为锐角三角形，求边的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换计算可求得角； （2）利用三角形的面积可求得，利用余弦定理可求得； （3）利用正弦定理，结合三角恒等变换可求得，结合的范围，可求得边的取值范围. 【小问1详解】 由正弦定理得：， ∴， ∴，∵，∴， ∴，∴； 【小问2详解】 ∵⟹，∴， 由余弦定理可得：⟹，∴. ∵，∴. 【小问3详解】 解法一：由正弦定理可得：，∴， ∵，∴. ∴， ∵为锐角三角形 ∴可得：，∴，∴，∴. 故的取值范围为. 解法二：由余弦定理可得：⟹ ， ∵为锐角三角形，所以，又， ∴可得：，∴解得：， ∴，故的取值范围为. 19. 在平行四边形中，. （1）若 ，证明：； （2）若 ，点在线段（包含端点）上运动，求的取值范围； （3）若是上一点，满足，且，求的最小值. 【答案】（1） 法一：在平行四边形中，， ， ∵ ， ∴ ， 所以，即； 法二：∵在平行四边形中， ， ∴， ∴在中，由余弦定理得： . ∴，∵. ∴是以为直角的直角三角形，∴； （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）法一：利用向量法可得，可证结论；法二：利用余弦定理，可求得，利用勾股定理可证结论； （2）法一：建立平面直角坐标系，利用坐标法可求的取值范围；法二：利用基底法转化，设，，可得，求解即可； （3）法一：记，，利用，结合基本不等式可求得的最小值.法二：记，，设，利用向量的数量积与运算可得，结合基本不等式可求得的最小值.法三：由题意可求得，，进而运算求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一（坐标法）： 由①可得： ，以为原点建立平面直角坐标系， 由题可得：，，， ∴， . ∵在线段上 ∴设，. ∴，， ∵，. ∴ 当时，有最小值， 当或时，有最大值， ∴ 的取值范围为 法二（基底法）： ∵在线段上，∴设，. ∵， . ∴由题可得： ，. ∴ 当时，有最小值， 当或时，有最大值， ∴ 的取值范围为. 【小问3详解】 法一：记，， ∵，. ∵ 在中，， ⇒ ⇒ ，∴ ， ∵ ，∴. 当且仅当 时，等号成立 ∴ 的最小值为8 即：的最小值为8 法二：（向量法) 记， 设，则， ，又， ， ∴可得：，∵ ， ∴ . 当且仅当 时，等号成立 ∴ 的最小值为8，即：的最小值为8. 法三：（函数法) 设 ，，，， ∴ ∴在中，， 在中.由正弦定理得：， ， ， ∵，∴ ， 当时，有最小值8. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期阶段性训练 高一数学试卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 记的内角的对边分别为，若，，，则角为（ ） A. B. C. 或 D. 4. 在复平面内，复数所对的向量为，将逆时针旋转得到，则所对应的复数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，的夹角为，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角所对边分别为，已知向量， 且，同时满足，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 8. 已知圆的半径为3，弦，是圆上的一个动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 共轭复数 B. 模长 C. 复数在复平面内对应的点位于第三象限 D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 向量可以作为平面内的一个基底 B. 在平行四边形ABCD中，若，则 C. 若，则在方向上的投影向量为 D. 若为单位向量，则. 11. 已知，点落在第三象限，点在平面内满足：①；②，延长与交于点，则以下说法正确的是（ ） A. 是等边三角形 B. C. 若是外接圆上一点，当最大时，、、三点共线 D. 若是外接圆上一点，点所对应的复数为，则的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算： ________ 13. 无人机在高空水平飞行，某一时刻在地面观测点A的正上方，此时在地面的另一个观测点B测得无人机的仰角为，已知A、B两点间水平距离为600米，则无人机的飞行高度为__________米. 14. 在中，是重心，过的直线交于，交于，设 ，，且，，则的值为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数 （1）若，求实数的值； （2）若复数对应的点在第四象限，求的取值范围. 16. 已知平面向量，且． （1）求和的坐标； （2）求向量与向量的夹角的余弦值． 17. 如图，西礵岛上有一个雷达观测站在北礵岛的南偏西方向，从北礵岛出发有一条南偏东方向的海上航道直达南礵岛.现有一艘货船从西礵岛出发，沿直线航行13km到达南礵岛，然后改变航向，沿该航道向北礵岛行驶.当货船行驶10km到达东礵岛时，测得与之间的距离为7km. （1）求； （2）求之间的距离. 18. 已知，内角对应的边为满足: . （1）求角； （2）若，求； （3）若为锐角三角形，求边的取值范围. 19. 在平行四边形中，. （1）若 ，证明：； （2）若 ，点在线段（包含端点）上运动，求的取值范围； （3）若是上一点，满足，且，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $