精品解析：重庆市巴蜀中学2022-2023学年九年级下学期半期考试数学试题

重庆市巴蜀中学2022-2023学年九年级下学期半期考试数学试题 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列四个几何体中，主视图是三角形的是 A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 5. 估算的结果在（　　） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 6. 学校几位老师决定众筹某款年货大礼包，若每人出18元，则盈余3元；若每人出17元，则还差4元．设共有x位老师，年货大礼包价格为y元，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第7个图案的黑色棋子个数是（ ） A. 22 B. 23 C. 28 D. 29 8. 如图，在等腰中，，延长AC到D，，G为上一点，以为直径的⊙与斜边相切于点P，与的延长线段交于点F，若的长为，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的一元一次不等式组的解集为x＞3，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的整数m的值的和是（　　） A. B. C. D. 0 10. 已知两个整式：x，，将这两个整式进行如下操作： 第一次操作：用这两个整式的和除以2，将结果放在这两个整式之间，可以得到一个新的整式串：x，，，新整式串的和记作； 第二次操作：用相邻两个整式的和除以2，将结果放在这两个整式之间，又得到一个新的整式串：x，，，，，新整式串的和记作，依此类推： ①经过三次操作后的整式串共有9个整式； ②若，经过四次操作后，； ③经过六次操作后的第2个整式中x的系数是； ④若，，则． 以上结论中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题4分，共32分） 11. 计算：______． 12. 十三届全国政协共收到提案约29000件，数据29000用科学记数法表示为______． 13. 如图，有一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果，那么的度数是_______度． 14. 如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数的图象于点B，以为边作平行四边形，其中C、D在x轴上，若平行四边形的面积为11，则k的值为 _____． 15. 有四张完全一样正面写有数字3，4，5，6的卡片，将其背面向上并洗匀，随机抽取1张后，放回并洗匀，再随机抽取1张，那么第二张卡片上的数字能够整除第一张卡片上的数字的概率是______． 16. 如图，以为直径作半圆，圆心为O，再以B为圆心，为半径作弧，交半圆于点C，连接，再以A为圆心，为半径作弧，交于点D，若，则图中阴影部分的面积为______． 17. 如图，在正方形中，G为对角线上一点，连接、，E是边上一点，连接交的延长线上于点F，且，若，则的度数是__________． 18. 若一个四位正整数满足千位上的数字与百位上的数字之和是十位上的数字与个位上的数字之差的k倍（k为整数），称该四位数为“k倍数”．例如，对于四位数3641，∵，所以3641为“3倍数”，若四位数M是“4倍数”，是“倍数”，将M的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数N，N也是“4倍数”，则满足条件的M的最小值为________，将M的最小值写成两个正整数的平方差，即（a、b均为正整数）为M的一个平方差分解，在M的最小值的所有平方差分解中，当最小时，规定，则的值为_______． 三、解答题（共78分） 19. 计算： （1） （2） 20. 在学习正方形的过程中，老师给同学们提出一个问题：在正方形中，E是边上的点，连接，F、G分别在边上，连接，与交于点M．若，试说明与的数量关系． 聪明的小雅很快就有了思路：首先过点F作的垂线，将问题转化为证明三角形全等，通过全等三角形的对应边相等使问题得到解决．请根据她的思路完成下面的作图与填空： 证明：用直尺和圆规过点F作的垂线交于点H（只保留作图痕迹）． ∵四边形是正方形，∴，，． ∵，∴， 即四边形是矩形，∴． 又∵，∴① ． ∵，∴， 则② ． ∵，∴， ∴在中，， ∴③ ， ∴． ∴． 21. 3月12日是植树节，某校开展了“保护环境·人人有责”的环保知识竞赛．并从初一、高一年级各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.，B.，C.，D.），下面给出了部分信息： 初一抽取的10名学生的竞赛成绩是：81，86，99，95，90，99，100，82，89，99． 高一抽取的10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：90，93，93，94． 初一、高一抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 初一 高一 平均数 92 92 中位数 92.5 b 众数 c 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______；______；______； （2）根据以上数据，你认为该校初一、高一两个年级中哪个年级学生掌握环保知识更好？请说明理由（一条即可）； （3）该中学初一有600人，高一有760人参加了此次知识竞赛，请估计这两个年级参加此次知识竞赛成绩达到优秀（）的学生总人数． 22. 如图，在矩形中，，，动点在对角线上运动（点不与、重合），设的长度为，的面积为，的面积为，请解答下列问题： （1）请直接写出，与的函数关系式及的取值范围，并在平面直角坐标系中画出，的函数图象； （2）结合函数的图象，写出函数的一条性质； （3）根据图象直接写出当时，的取值范围． 23. 每年7月青海湖北岸的油菜花进入盛放期，成为青海湖的一处拍照打卡地．A、B两支队伍计划自驾去青海湖游湖赏花，两支队伍计划同一天出发，沿不同的路线自驾去青海湖，A队自驾路线全程2700千米，B队自驾路线全程1800千米，由于A队总路程较长，为了提前到达，所以A队计划平均每天行驶的路程是B队的2倍，这样A队将比B队提前1天到达青海湖． （1）求A、B两队分别计划多少天到达青海湖？ （2）A队每人每天的平均花费为200元，计划有10个人同行；B队每人每天的平均花费为150元，计划有8个人同行，后来A队又有m个人加入队伍，经过计算，A队每人每天的平均花费将减少30元．若自驾天数与原计划天数一致，两队总花费比原来增加了，求m的值． 24. 如图，某公园有一条三角形健身步道A→B→C→A，其中B在A的正东方，C在A东北方向，一天老王以每分钟米的速度从点A出发沿路线A→B→C→A开始散步，分钟后到达步道的B处，此时他发现C在B的北偏西方向上．（A，B，C在同一平面内，参考数据：） （1）求健身步道的长；（结果保留根号） （2）为了让市民养成全民运动、健康生活的良好习惯，改善健身环境，公园决定对健身步道进行扩建．计划将步道段向正东方向延伸至P处，修建新步道，且在P处测得C在P的北偏西方向上．若修建步道的成本为每米元，公园对扩建预算的费用为万元，请通过计算说明预算费用是否够用？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，，与y轴相交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）点D为第一象限内抛物线上一个动点，过点D作轴交于点E．请求出的最大值以及此时点D的坐标； （3）在（2）问取最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，记y与的交点为M，点N为新抛物线对称轴上一点，点P为平面内一点，若以D、M、N、P为顶点的四边形是以为边的菱形，直接写出所有符合条件的点P的坐标，并选择其中一个写出求解过程． 26. 在中，为边上一点，连接，为上一点，连接，． （1）如图1，延长交于点，若平分，平分，，，，求的周长； （2）如图2，连接，若，，为中点，连接，请猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，在第（2）问的条件下，当时，点是直线上一动点，连接，将沿着翻折得，连接，为的中点，连接，当点到的距离最小时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市巴蜀中学2022-2023学年九年级下学期半期考试数学试题 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据相反数定义解答即可． 【详解】解：的相反数是． 故选B． 【点睛】本题主要考查了相反数的定义，掌握相反数的概念成为解答本题的关键． 2. 下列四个几何体中，主视图是三角形的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是几何体的三视图知识，熟练掌握三视图的定义是解题的关键；根据从正面看到的是主视图可得答案． 【详解】解：、圆锥的主视图是三角形，故本选项符合题意； 、球的主视图是圆，故本选项不符合题意； 、三棱柱的主视图是长方形（长方形部分有一条纵向的虚线），故本选项不符合题意； 、圆柱的主视图是长方形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、积的乘方的运算法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A、，∴A错误； 选项B、，∴B错误； 选项C、，∴C正确； 选项D、左边，右边，，∴D错误． 4. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到，，即可得到，再由相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形 ∴， ∴ ∵  ∴  ∴与的面积比为． 5. 估算的结果在（　　） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二次根式乘法计算出结果，再用“夹逼法”估算即可． 【详解】解：， ∵ ∴ ∴ ∴的结果在2和3之间 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则和用“夹逼法”估算无理数的大小是解题的关键． 6. 学校几位老师决定众筹某款年货大礼包，若每人出18元，则盈余3元；若每人出17元，则还差4元．设共有x位老师，年货大礼包价格为y元，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】需根据两种出钱方案，分别梳理总出钱数与礼包价格的等量关系，列出对应方程组即可判断． 【详解】解：∵共有位老师，每人出元时，盈余元，即总出钱数比礼包价格多元 ∴可得 又∵每人出元时，还差元，即总出钱数比礼包价格少元 ∴可得 因此所列方程组为． 7. 用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第7个图案的黑色棋子个数是（ ） A. 22 B. 23 C. 28 D. 29 【答案】D 【解析】 【分析】根据第个图案的黑色棋子个数归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：由图可知，第1个图案的黑色棋子个数是， 第2个图案的黑色棋子个数是， 第3个图案的黑色棋子个数是， 第4个图案的黑色棋子个数是， 归纳类推得：第个图案的黑色棋子个数是， 则第7个图案的黑色棋子个数是， 故选：D． 【点睛】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 8. 如图，在等腰中，，延长AC到D，，G为上一点，以为直径的⊙与斜边相切于点P，与的延长线段交于点F，若的长为，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，设半径为r，结合可知，所以，，因为是的切线，所以，结合是等腰直角三角形，可得，因此是等腰直角三角形，得到与的关系．结合第一步得到的与r的关系，代入的长度列方程求解r．最后根据勾股定理计算的长度． 【详解】解：连接， 设的半径为， 因为是直径，为圆心， 所以， ， ​． 是等腰直角三角形，，， 到圆心的距离为：． 是的切线， ，， 为等腰直角三角形， ． ， 解得． ​，​． ． 9. 若关于x的一元一次不等式组的解集为x＞3，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的整数m的值的和是（　　） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】解关于x的不等式组，结合解集为，确定m的范围，再由分式方程有非负整数解，且m为整数，即可确定符合条件的所有整数m的值，最后求所有符合条件的值之和即可． 【详解】解：关于x的不等式组整理得， 而不等式组的解集为， ∴， 解分式方程得且， ∵关于y的分式方程有非负整数解，且m为整数， ∴符合条件的所有整数m为， ∴符合条件的所有整数m的和为：． 故选：C． 【点睛】本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键． 10. 已知两个整式：x，，将这两个整式进行如下操作： 第一次操作：用这两个整式的和除以2，将结果放在这两个整式之间，可以得到一个新的整式串：x，，，新整式串的和记作； 第二次操作：用相邻两个整式的和除以2，将结果放在这两个整式之间，又得到一个新的整式串：x，，，，，新整式串的和记作，依此类推： ①经过三次操作后的整式串共有9个整式； ②若，经过四次操作后，； ③经过六次操作后的第2个整式中x的系数是； ④若，，则． 以上结论中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题为规律探索题，依次根据操作规则推导整式个数、整式和、第2个整式系数的规律，逐一判断各结论即可. 【详解】解：① 初始未操作时共有2个整式， ∵每次操作新增整式个数等于原整式个数减1， ∴第一次操作后整式个数为， 第二次操作后整式个数为， 第三次操作后整式个数为，故①正确； ② 初始两个整式的和， 第一次操作后整式串为：x，，， ∴， 第二次操作后整式串为：x，，，， ∴， 归纳可得规律：， 经验证前几次操作符合该规律，公式成立； ∵，且，， ∴，，得， 代入得，故②正确； ③ 设第n次操作后第2个整式中x的系数为， ∵前三次第2个整式分别为：，，， 推导得：， 当时，，故③错误； ④ ， ∵，， ∴，化简得， ∴，得，故④正确； 综上，正确的结论共3个. 二、填空题（每题4分，共32分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 12. 十三届全国政协共收到提案约29000件，数据29000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定n与a的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，它等于原数的整数数位与1的差．由此即可求解． 【详解】解：； 故答案为：． 13. 如图，有一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果，那么的度数是_______度． 【答案】25° 【解析】 【分析】依据∠ABC＝60，∠2＝35，即可得到∠EBC＝25，再根据BE∥CD，即可得出∠1＝∠EBC＝25． 【详解】如图，∵∠ABC＝60，∠2＝35， ∴∠EBC＝25， ∵BE∥CD， ∴∠1＝∠EBC＝25， 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 14. 如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数的图象于点B，以为边作平行四边形，其中C、D在x轴上，若平行四边形的面积为11，则k的值为 _____． 【答案】6 【解析】 【分析】过点作轴，过点作轴，可证得，得出，然后根据的几何意义求解． 【详解】解：过点作轴，过点作轴，则， 四边形为平行四边形， ，， ， 在和中 ， ， ， 又， ， ． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何含义，平行四边形的性质．需要我们熟练掌握把已知图形转化为模型图形（与相关的矩形或三角形）的能力． 15. 有四张完全一样正面写有数字3，4，5，6的卡片，将其背面向上并洗匀，随机抽取1张后，放回并洗匀，再随机抽取1张，那么第二张卡片上的数字能够整除第一张卡片上的数字的概率是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：列表如下： 3 4 5 6 3 3，3 3，4 3，5 3，6 4 4，3 4，4 4，5 4，6 5 5，3 5，4 5，5 5，6 6 6，3 6，4 6，5 6，6 共有16种等可能的结果，第二张卡片上的数字能够整除第一张卡片上的数字的情况有3，3；4，4；5，5；6，6；3，6，共5种情况， ∴． 16. 如图，以为直径作半圆，圆心为O，再以B为圆心，为半径作弧，交半圆于点C，连接，再以A为圆心，为半径作弧，交于点D，若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，证明是等边三角形，则，得到，求出，根据即可求出答案． 【详解】解：连接，， ∵以为直径作半圆，圆心为O，再以B为圆心，为半径作弧，交半圆于点C，，再以A为圆心，为半径作弧，交于点D， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是直径， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴ 17. 如图，在正方形中，G为对角线上一点，连接、，E是边上一点，连接交的延长线上于点F，且，若，则的度数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质及全等三角形的性质，直角三角形斜边上中线等于斜边一半等知识，由正方形性质可知，，，，易证，则，过点作交于，则，可证，得，证得，可知，即为的中点，得，可知，进而可得答案．理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：在正方形中，，，， ∵， ∴，则， 过点作交于，则， ∴，， ∵，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即为的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 若一个四位正整数满足千位上的数字与百位上的数字之和是十位上的数字与个位上的数字之差的k倍（k为整数），称该四位数为“k倍数”．例如，对于四位数3641，∵，所以3641为“3倍数”，若四位数M是“4倍数”，是“倍数”，将M的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数N，N也是“4倍数”，则满足条件的M的最小值为________，将M的最小值写成两个正整数的平方差，即（a、b均为正整数）为M的一个平方差分解，在M的最小值的所有平方差分解中，当最小时，规定，则的值为_______． 【答案】 ①. 6663 ②. ## 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用、整式的加减运算、解二元一次方程（组），理解题意，正确运用分类讨论思想是解答的关键．设，则，先根据题中定义得到，然后分和 两种情况，分别求解得到M的最小值；再利用平方差公式确定当最小时为1 ，进而求得即可求解． 【详解】解：设，则， ∵四位数M是“4倍数”，N也是“4倍数”， ∴，， ∴， ∴，则， ∵是“倍数”， ∴分两种情况： 当时，， ∵， ∴，即， ∴， ∵y、d为整数， ∴不存在满足条件的y、d值； 当时，， ∴，即， ∴，则， ∴，则， 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时， 故M的最小值为6663； 由题意，，又a、b为正整数， ∴当最小时为1 ， ∴，则， ∴， 故答案为：6663；． 三、解答题（共78分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 在学习正方形的过程中，老师给同学们提出一个问题：在正方形中，E是边上的点，连接，F、G分别在边上，连接，与交于点M．若，试说明与的数量关系． 聪明的小雅很快就有了思路：首先过点F作的垂线，将问题转化为证明三角形全等，通过全等三角形的对应边相等使问题得到解决．请根据她的思路完成下面的作图与填空： 证明：用直尺和圆规过点F作的垂线交于点H（只保留作图痕迹）． ∵四边形是正方形，∴，，． ∵，∴， 即四边形是矩形，∴． 又∵，∴① ． ∵，∴， 则② ． ∵，∴， ∴在中，， ∴③ ， ∴． ∴． 【答案】如图，即为所求； ，， 【解析】 【分析】根据尺规作垂线的方法作图即可，根据等量代换，角的和差关系，进行作答即可. 【详解】略 21. 3月12日是植树节，某校开展了“保护环境·人人有责”的环保知识竞赛．并从初一、高一年级各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.，B.，C.，D.），下面给出了部分信息： 初一抽取的10名学生的竞赛成绩是：81，86，99，95，90，99，100，82，89，99． 高一抽取的10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：90，93，93，94． 初一、高一抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 初一 高一 平均数 92 92 中位数 92.5 b 众数 c 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______；______；______； （2）根据以上数据，你认为该校初一、高一两个年级中哪个年级学生掌握环保知识更好？请说明理由（一条即可）； （3）该中学初一有600人，高一有760人参加了此次知识竞赛，请估计这两个年级参加此次知识竞赛成绩达到优秀（）的学生总人数． 【答案】（1）30，93，99； （2）我认为该校高一学生掌握的环保知识更好． 理由：初一，高一学生成绩的平均数相同，但高一学生成绩的中位数和众数均大于初一学生． （3）468人． 【解析】 【分析】（1）根据高一年级抽取的10名学生的竞赛成绩落在组所在扇形圆心角为，求出高一年级抽取的10名学生的竞赛成绩落在组所占比例，再根据B组的人数求出B组占比，即可求得的值，再根据中位数与众数的定义，分别求出的值； （2）根据两个年级的平均数、众数、中位数进行分析，即可得出相应结论； （3）利用样本估计总体的思想，分别用两个年级的总人数乘以各自90分及以上学生所占的比例，即可估算出相应人数． 【小问1详解】 解：高一年级抽取的10名学生的竞赛成绩落在组所占比例为， B组占比为， ，； 两组占比分别为，，B组占比， 即两组人数分别为人，人，B组人数为4人， 将高一年级学生的成绩从小到大排列后的第个和第个成绩分别为分，分， 中位数是分，； 初一学生成绩中，99分出现次数最多， 众数是99分，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 所以估计这两个年级参加此次知识竞赛成绩达到优秀（）的学生总人数约为人． 22. 如图，在矩形中，，，动点在对角线上运动（点不与、重合），设的长度为，的面积为，的面积为，请解答下列问题： （1）请直接写出，与的函数关系式及的取值范围，并在平面直角坐标系中画出，的函数图象； （2）结合函数的图象，写出函数的一条性质； （3）根据图象直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1）；；图象见解析 （2）当时，随的增大而增大 （3） 【解析】 【分析】（1）如图1，作于，于，由勾股定理得，，由，可求，同理，则，；，；然后作函数图象即可； （2）根据图象作答即可； （3）由题意知，时，，可求，当时，的取值范围为直线的图象在直线图象上方部分所对应的的取值范围，结合图象作答即可． 【小问1详解】 解：如图1，作于，于， 由勾股定理得，， ∴，即， 解得，， 同理， ∴，即； ，即； 作图象如下； 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，随的增大而增大； 【小问3详解】 解：由题意知，时，， 解得，， ∴当时，的取值范围为直线的图象在直线图象上方部分所对应的的取值范围， 由图象可得． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一次函数的应用，一次函数的图象与性质，一次函数与不等式．熟练掌握矩形的性质，勾股定理，一次函数的应用，一次函数的图象与性质，一次函数与不等式是解题的关键． 23. 每年7月青海湖北岸的油菜花进入盛放期，成为青海湖的一处拍照打卡地．A、B两支队伍计划自驾去青海湖游湖赏花，两支队伍计划同一天出发，沿不同的路线自驾去青海湖，A队自驾路线全程2700千米，B队自驾路线全程1800千米，由于A队总路程较长，为了提前到达，所以A队计划平均每天行驶的路程是B队的2倍，这样A队将比B队提前1天到达青海湖． （1）求A、B两队分别计划多少天到达青海湖？ （2）A队每人每天的平均花费为200元，计划有10个人同行；B队每人每天的平均花费为150元，计划有8个人同行，后来A队又有m个人加入队伍，经过计算，A队每人每天的平均花费将减少30元．若自驾天数与原计划天数一致，两队总花费比原来增加了，求m的值． 【答案】（1）A队计划3天到达青海湖，B队计划4天到达青海湖 （2） 【解析】 【分析】（1）根据“时间路程速度”列式，再根据A队计划天数与B队计划天数之间的关系列等量关系式求解； （2）根据题意将A队原计划与实际的花费算出来，再根据题意列等量关系式，求解即可． 【小问1详解】 解：设B队计划的每天行驶千米，则A队计划的每天行驶千米， 由题意得：，解得， 经检验，是分式方程的解， ∴， ∴（天），（天）， ∴A队计划3天到达青海湖，B队计划4天到达青海湖． 【小问2详解】 解：A队计划花费：（元）， B队计划花费：（元）， A队新的花费：（元）， 由题意得：， 解得． 24. 如图，某公园有一条三角形健身步道A→B→C→A，其中B在A的正东方，C在A东北方向，一天老王以每分钟米的速度从点A出发沿路线A→B→C→A开始散步，分钟后到达步道的B处，此时他发现C在B的北偏西方向上．（A，B，C在同一平面内，参考数据：） （1）求健身步道的长；（结果保留根号） （2）为了让市民养成全民运动、健康生活的良好习惯，改善健身环境，公园决定对健身步道进行扩建．计划将步道段向正东方向延伸至P处，修建新步道，且在P处测得C在P的北偏西方向上．若修建步道的成本为每米元，公园对扩建预算的费用为万元，请通过计算说明预算费用是否够用？ 【答案】（1） （2）预算费用够用 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题关键． （1）作，分别解直角三角形即可求解； （2）作，分别解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：过点B作于点N， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：过点B作于点M，如图所示： 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴预算费用够用． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，，与y轴相交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）点D为第一象限内抛物线上一个动点，过点D作轴交于点E．请求出的最大值以及此时点D的坐标； （3）在（2）问取最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，记y与的交点为M，点N为新抛物线对称轴上一点，点P为平面内一点，若以D、M、N、P为顶点的四边形是以为边的菱形，直接写出所有符合条件的点P的坐标，并选择其中一个写出求解过程． 【答案】（1）； （2）的值最大为，； （3）解：或或，过程如下： 由（2）可知：， 将抛物线沿射线方向平移个单位长度相当于将抛物线先向右移动4个单位长度，再向下移动4个单位长度， 故平移后的抛物线的解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线，联立，解得， ∴， ∵点N为新抛物线对称轴上一点， ∴设， 由（2）知：， ∴ 当以D、M、N、P为顶点的四边形是以为边的菱形，分两种情况： ①，此时为菱形的对角线， 则，解得或， 设，则， ∴， ∴或，即或； ②当，此时为菱形的对角线， 则，解得； 设，则， ∴， ∴，即； 综上：或或. 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，进而得到，延长交轴于点，易得为等腰直角三角形，进而得到，得到，转化为二次函数求最值即可； （3）先求出平移后的抛物线的解析式，联立两个解析式，求出点坐标，设，分，两种情况，结合菱形的对角线互相平分，进行讨论求解即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴相交于，， ∴，解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 延长交轴于点，设， ∵轴， ∴，，轴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴ ∴当时，的值最大为，此时； 【小问3详解】 略 26. 在中，为边上一点，连接，为上一点，连接，． （1）如图1，延长交于点，若平分，平分，，，，求的周长； （2）如图2，连接，若，，为中点，连接，请猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，在第（2）问的条件下，当时，点是直线上一动点，连接，将沿着翻折得，连接，为的中点，连接，当点到的距离最小时，直接写出的值． 【答案】（1）29.9 （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）截取，构造两对全等即可解题； （2）截取，延长到，使，证明，证明为中位线，即可解题． （3）分析当时为所求，设为单位1，利用证明的，和含的直角三角形的三角函数，表示出所求边，再利用勾股定理，求出问题即可． 【小问1详解】 如图1，截取，连接， 平分， ， ， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ，， 的周长． 【小问2详解】 ． 如图2，截取，连接， 延长到，使，连接， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 为中点， 为中位线， ，即， ，即． 【小问3详解】 如图4，延长交于，使， 过作与，交的延长线交于点，作， 点是中点， ， 当最小时最小， 翻折得到， ，， ， 且， ， ，， ， ， ， ， ， ， 设为单位1， ， ，， ， ， 为中点，且， 为中点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，中位线的性质，三角函数，勾股定理等知识点，解题关键是构造解题所需要的全等，以及分析点到直线间的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $