第5章 大招专题3 正方形中的三种常考模型-【初中必刷题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(浙教版·新教材)浙江专用

该初中数学课件聚焦八年级下册第5章“特殊平行四边形”，核心讲解正方形的“十字架”“对角互补”“半角”三大常考模型。课堂从母题（如正方形中BM=CN证△ABN≌△DAM）导入，通过“母题学大招-子题练变式-大招解读”的学习支架，衔接全等三角形与特殊平行四边形知识，帮助学生构建模型认知脉络。 其亮点是以2025年各地期末真题为实例，通过几何直观呈现模型特征（如十字架模型中“垂直即相等”），结合推理能力（如ASA证全等）培养数学思维，形成模型意识。学生能提升解题技巧和空间观念，教师可直接使用结构化资源进行高效教学。

数 学 八年级下册 ZJ 1 2 3 第5章 特殊平行四边形 4 大招专 题3 正方形中的三种常考模型 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招13 “十字架”模型 1.【2025辽宁抚顺期末，中】如图，正方形中，点，分别在， 上， 且，与相交于点 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 （1）求证： ； 【证明】因为四边形是正方形，所以 ， .因为，所以，即 . 在和中， 所以 . 思路分析 根据正方形的性质可得， ，由 ， 可得，利用即可证明 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 （2）求 的大小. 【解】由（1）知，所以 ，所以 ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 大招解读 “十字架”模型 在正方形的对边分别取点并相连，所得两条线段，若垂直，则相等；若相等，则 垂直. 简记：垂直即相等；相等即垂直. ①线段过顶点时，如图（1）.易证，所以 . 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 ②线段不过顶点时，如图（2），作, .易证 ，所以，所以易得 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 子题练变式 2.【2025吉林长春期末，中】如图，在正方形中，点，，， 分别在线 段，，，上，且.试猜想 的值，并证明你的猜想. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 【解】.证明：如图，过点作交于点 ，作 交的延长线于点，所以易得， .因 为四边形是正方形，所以 ， .因为，所以 ,所 以 ，所以.在和 中， 所以，所以 ，即 ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 思路分析 过点作交于点，作交的延长线于点 ，利用正方形的性 质得， ，结合已知条件证出 即可求解. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 3.【2025浙江宁波期末，中】 图（1） （1）如图（1），在正方形中，,相交于点,且 , 则和 的数量关系为_________. 【解析】因为四边形为正方形，,所以 , , ,所以 ， ，所以.在和 中， 所以，所以 .故答案 为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 （2）如图（2），在正方形中，,,分别是边,, 上的点， ，垂足为.求证： . 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 16 图（1） 【解】【证明】如图（1），过点作于点 ，则四边形 为矩形，所以.在正方形中， ，所以 . 因为，所以 .因为 ，所以 ，所以 . 在和中， 所以，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 17 （3）如图（3），在正方形中，,,分别是边,, 上的点， ，，，将正方形沿折叠，点的对应点恰好与 边上的 点重合，求 的长度. 图（3） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 图（2） 【解】如图（2），连结.因为，关于 对称，所以 .过点作于点，过点作于点 ， 则易知.同（2）可得，所以 . 因为， ，所以 .又因为 ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 母题学大招14 对角互补模型 4.【2025广东珠海期中,中】如图，正方形和正方形 全等，边长均为 3，与交于点，正方形绕点旋转，交于点，交于 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 （1）在上述旋转过程中，判断与 有怎样的数量关系，并证明； 【解】.证明：因为四边形是正方形，所以, ， 所以 , .因为 ， 所以 ,所以.在和 中， 所以，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 （2）请直接写出四边形 的面积为_ _. 【解析】因为，所以 ，所以 ，即 .因为 ，所以.故答案为 . 关键点拨 由（1）得与全等，将四边形的面积转化为 的面积是解 决本题的关键. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 大招解读 对角互补模型 如图，在正方形中，点是对角线，的交点，过点 作射线，，分别交，于点，，且 ， ，交于点 . 结论：；； 是等 腰直角三角形；④四边形的面积为正方形面积的 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 子题练变式 5.【2025陕西咸阳期中，中】如图，在正方形中，点是对角线 上的一 点，连结，过点作，交于点，以， 为邻边作矩形 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 （1）求证：矩形 是正方形. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 【证明】如图，过点作于点，于点 .因为 四边形是正方形，所以 , . 因为， ，所以 .因为 ，所以四边形 是正方形，所以 ，所以 .在和中， 所以 ，所以.又因为四边形 是矩形，所以四边形 是正方形. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 （2）若点为的中点，且，求正方形 的面积. 【解】连结.因为在正方形中，点为的中点，且 ，所以 ，所以在 中， .因为四边形 是正方形，所以易知正 方形的面积为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 母题学大招15 半角模型 6.【2025广东韶关期中，中】【阅读理解】半角模型是指有公共顶点，锐角等于 较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过旋转或截长补短，将角的倍分 关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、 面积等问题. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 图（1） 图（2） 图（3） 【初步探究】如图（1），在正方形中，点,分别在边, 上，连结 ,,.若 ，将绕点顺时针旋转 ，得到 .易 证： . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 （1）根据以上信息填空： ①____ ； ②线段，， 之间满足的数量关系为______________. 45 思路分析 根据旋转及正方形的性质得 ,可得,, 共 线.再证明,得出,进而可得出,, 之间的数量关系. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 【解】因为四边形是正方形，所以 .由旋转得 ，，，，所以 ， ，共线.因为 ，所以 .在和 中， 所以，所以.因为 ， 所以.故答案为①， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 【迁移探究】 （2）如图（2），在正方形中，若点在的延长线上，点在 的延长线 上， ，猜想线段，， 之间的数量关系，并证明. 图（1） 【解】.证明如下：如图（1），在 上截取 ，连结.在和 中， 所以，所以, ，所以 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 ，即. 因为 ，所以 .在和中， 所 以，所以.因为 ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 【拓展探索】 （3）如图（3），已知正方形的边长为,,分别在, 上， ，连结分别交，于点，，若点恰好为线段 的三等分 点，且，求线段 的长. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 图（2） 【解】如图（2），将绕点顺时针旋转 得到 ， 连结.因为四边形是正方形，所以 , ，所以 ， ，所以 ,所以 .由旋转可得， ， , , ，所以 .因为 , ，所以.又因为 ， 所以，所以.设，则 . 在中，，所以，解得 ，所 以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 35 大招解读 半角模型 如图（1），在正方形中，,分别在,上，分别交,于， ， 若 ,则有以下结论：；； 平分 ,平分； . 图（1） 图（2） 如图（2），在正方形中，,分别在的延长线、 的延长线上，若 ,则有以下结论：平分； . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 36 $