5.3 课时2 正方形的性质-【初中必刷题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(浙教版·新教材)浙江专用

该初中数学课件聚焦八年级下册“特殊平行四边形”中正方形的性质，通过“刷基础”到“刷提升”的梯度设计，衔接平行四边形、矩形等前置知识，以例题解析和思路分析为支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于融合各地真题与模拟题，通过全等证明、辅助线添加等培养推理能力，模型总结（如中点四边形）强化数学思维，实例包括正方形内等腰三角形判定、坐标求解等。助力学生提升应用意识，教师可直接用于分层教学，提高效率。

数 学 八年级下册 ZJ 1 2 3 第5章 特殊平行四边形 4 5.3 正方形 课时2 正方形的性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点 正方形的性质 （第1题图） 1.【2025山西晋中三模】如图，在正方形中，点在 边上， 连结，过点作于点，过点作于点 ，若 ,，则 的长为( ) B A.4 B.5 C.7 D.11 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 【解析】因为四边形是正方形，所以， ，所以 .因为，，所以 , ，所以, ，所以 ， 所以，所以， ，所以 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 思路分析 根据正方形的性质证明，可得， ，进而 可得答案. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （第2题图） 2.【2025陕西西安三模】如图，点为正方形 内一点，连结 ，，，， ，则图中的等腰三角形 （含等边三角形）共有( ) D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】在正方形中， ， .因为 ，所以 ,所以 是等边三角形，所以，所以 ， .因为 ，所以 ，所以，所以， ， ， 都是等腰三角形，共有4个，故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 （第3题图） 3.【2024广东广州越秀区期中】如图，在正方形中， 为 对角线上与，不重合的一个动点，过点作 于点 ，于点，连结，，若 ，则 ( ) C A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 【解析】如图所示，连结，延长交于点 .因为四边形 是正方形，是对角线，所以易得， . 因为，，所以 ,所 以四边形是矩形，所以， ，所以 ，，所以.因为四边形 是正方形， 是对角线，所以 ，所以 ，所以 ，是等腰直角三角形，所以 .因为 ，所以四边形是正方形，所以 .在 和 中， 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 所以，所以 . 因为 ，所以 ，所以 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 思路分析 连结，延长交于点，首先证明四边形是矩形，得到 ， ，然后证明，是等腰直角三角形，得到 ，最 后证明，得到 ，然后利用角度的等量代换 求解即可. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 4.【2024浙江金华调研】如图，在正方形中，点的坐标是，则 点 的坐标是______. （第4题图） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 【解析】如图所示，过点作轴于，过点作 轴于 ，则 ，所以 .因为 四边形是正方形，所以， ，所以 ，所以.在和 中，所以 ，所以 ，.因为点的坐标是，所以， ，所以 ，，所以.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 （第5题图） 5.【2025贵州贵阳质检】将三个面积均为6的正方形按如图所示 方式摆放，点 是左侧正方形的中心，也是中间正方形的一个顶 点， 是中间正方形的中心，也是右侧正方形的一个顶点，则图 中阴影部分的面积是___. 3 【解析】如图，连结，.由正方形的性质可得 ， ， ，所以 ，所以，所以 ,所 以 .同理可得，中间正方形内右侧空白四边形的 面积也是，所以图中阴影部分的面积是 .故答案为3. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 （第6题图） 6.如图，在正方形中，对角线与相交于点，为 上 一点，，为的中点，若的周长为32，则 的长为 ___. 【解析】因为, 的周长为32，所以 .因为为的中点，所以 .由题意 得 ，所以，所以，所以 ， 所以.因为四边形是正方形，所以 .由 题意得为中点，为中点，所以是 的中位线，所以 .故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 18 思路分析 先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和的周长，求出, 的 长，进而求出的长，再利用勾股定理求出 的长，最后利用三角形的中位线定 理，即可得解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 19 7.【2024浙江衢州期末】如图，点，在正方形的边 上，点，分别在边，上，且，连结， 交 于点，，求证： . 【证明】在正方形中，， ，所以 .因为，即 ，所以 ，所以.因为 ，所以 ，即，所以，所以 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 20 8.【2024浙江杭州西湖区质检】如图，在正方形中， 是 边的中点，点是边上一点（与点， 不重合），射线 与的延长线交于点 . （1）求证： ； 【证明】因为四边形是正方形，所以 ， 所以.因为是的中点，所以 . 在和中， 所以 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 （2）过点作交于点，连结，当时.求证：四边形 是平行四边形. 【解】因为，所以.因为 ，所以 .因为，所以.因为 且为中点，所以是的中位线，所以，即为 中点，所以 在中，，所以，所以 ，所以 .因为,，所以，所以四边形 是平行四边形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 22 提升 1.［中］如图，正方形和正方形中，点在 上， ，，是的中点，那么 的长是( ) A A. B. C. D.2 【解析】如图，连结， .由正方形的性质可得， ，所以 .因为是 的中点，所 以.因为， ，所以 ，所以 ，故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 关键点拨 连结，，由正方形的性质可得， ，则 ， 由是的中点，可得，根据勾股定理求，的值，然后求得 的长，进而可求 的长. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 微专题5 中点四边形 2.判断形状 【2024陕西西安期末，中】如图，点，，， 分别为四边形 四条边的中点，顺次连结，，，，得到四边形.连结 ， ，有下列说法： （第2题图） ①四边形 是平行四边形； ②当四边形为平行四边形时，四边形 是菱形； ③当四边形为矩形时，四边形 是菱形； ④当时，四边形 是矩形； ⑤若四边形是正方形，则四边形 一定是正方形.其 中正确的是( ) A A.①③④ B.①②⑤ C.①③④⑤ D.②④⑤ 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 【解析】因为，分别为，的中点，所以，同理， ， ，，所以，，所以四边形 是平行四 边形，故①正确.当四边形是矩形时，，所以 ，所以平行 四边形是菱形.而当四边形是平行四边形时，不能得出四边形 是 菱形，故②错误，③正确.当时，因为，，分别为，， 中点， 所以，，所以，所以四边形 是矩形，故④正确.因 为四边形是正方形，所以，，所以 ， ，不能说明四边形 是正方形，故⑤错误.故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 （第3题图） 3.面积规律问题 【2025广东广州期中，中】如图，已知菱 形的边长为2， ，进行如下操作：第一次， 顺次连结菱形各边的中点，得到四边形 ；第 二次，顺次连结四边形 各边的中点，得到四边形 ； ，如此反复操作下去，则第 次操作后，得到 的四边形 的面积是_ ____. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 模型总结 模型 概述 点，，，分别为四边形的边，，， 的中点 类型 任意四边形 对角线相等的四 边形 对角线互相垂直 的四边形 对角线互相垂直且 相等的四边形 图示 结论 ; 四边形 是 平行四边形 四边形 是 菱形 四边形 是 矩形 四边形 是正 方形 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 【解析】如图，连结，，，交于一点 .因为 四边形为菱形，所以， ， ，，所以 .因 为 ，所以 为等边三角形，所以 ，所以，所以 ，所以 ，所以 .因为第一次，顺次 连结菱形各边的中点，得到四边形，所以 ， ，，，所以四边形 为平行四边形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 因为， ，所以. 因为 ， 所以 ，所以四边形 为矩形，所以 ， . 因为第 二次，顺次连结四边形各边的中点，得到四边形 ，所以 ，.又因为 ，所以 ，所以四边形 为菱形，所以 . .依次类推， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 关键点拨 本题考查图形面积的规律探究，发现所得的四边形的面积为前一次得到的四边形 面积的一半是解题关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 （第4题图） 4.【2024浙江温州瓯海区期末，中】如图，在正方形 中，点 在上，，，垂足分别为，，若 ， 则 _____. 【解析】因为四边形为正方形， ，所以 ， ， ，所以 .因为， ，所以 ，所以四边形为矩形， 为等腰直角三 角形，所以，，所以 .故答案 为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 5.【2024浙江宁波期末，较难】如图，在正方形外取一点，连结 ， ，.过点作的垂线交于点.若，，则 ____ ，正方形 的面积为_______. 90 （第5题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 【解析】如图，连结.因为，所以 ，所以 .因为四边形 是正方形，所以 ，，所以 ，所以 .在和中， 所以 ，所以，.因为， ， 所以是等腰直角三角形，所以 ，所以 ，所以 ，所以 .在 中，由勾股定理得 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 .因为， ，所以由勾股 定理得 ，所以 ，所以 .因为，所以 ， 所以 因为 ，所以 ，所以 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 ，即 ， 所以 .故答案为90， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 刷素养 走向重高 6.核心素养 推理能力 ［难］ （1）猜想与证明： 按如图（1）方式摆放矩形纸片与矩形纸片，使， ， 三点在一条直线上，在边上，连结，若为 的中点， 连结，，试猜想与 的数量关系，并证明你的结论． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 37 【解】猜想： .证明如下： 如图（1），延长交于点.因为四边形和四边形 是矩形，所以易得，所以.在 和 中，所以 ，所以 .在中，因为，所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 38 （2）拓展与延伸： 若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片与正方形纸片 ，按如图 （2）方式摆放正方形纸片与正方形纸片，使点在边上，点 仍为 的中点，连结，，猜想和 的关系，并进行证明． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 39 【解】， .证明如下： 如图（2），连结.因为四边形和四边形 是正方形，所 以 ， ,所以，， 三点在同一条直线上， 所以 .在中，因为 ，所以 ，所以.在 中，因为 ，所以，所以, . 又因为 ，， ， 所以 ，即 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 40 刷有所得 解答探究型问题时应对题目中变化的条件进行分析，把握原有图形的特点，探究 变化的条件的特点，借用类比思想逐步解题.一般情况下，每问采取的方法步骤类 似，按照题目的层层推进，找到适当的解题思路，即可解决问题. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 41 $