5.2 课时2 菱形的判定-【初中必刷题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(浙教版·新教材)浙江专用

该初中数学课件聚焦八年级下册“菱形的判定”，涵盖定义法、四边相等、对角线垂直的平行四边形三种判定方法，通过“刷基础-刷提升”分层设计，衔接平行四边形性质，构建知识支架帮助学生逐步掌握判定逻辑。 其亮点是结合中考真题与动态几何题，如动点对称问题培养空间观念和创新意识，易错点分析强化推理意识，助力学生形成严谨思维，教师可利用分层训练提升教学针对性，学生能在实践中提升解题能力与数学素养。

数 学 八年级下册 ZJ 1 2 3 第5章 特殊平行四边形 4 5.2 菱形 课时2 菱形的判定 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 定义法 1.如图，四边形是菱形，点，，， 分别在线段 ，，，上，，，， 与 相交于点 ． （1）求证：四边形 是菱形. 【证明】因为四边形是菱形，，，所以， ， 所以四边形,四边形,四边形都是平行四边形，所以 ， .因为，所以，所以平行四边形 是菱形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 （2）若四边形是菱形，求证：点是线段 的中点． 【解】由（1）可知，.因为四边形是菱形，所以 ， 所以.因为四边形是菱形，所以 ，所以 ，所以点是线段 的中点. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 知识点2 四条边相等的四边形是菱形 （第2题图） 2.【2025云南曲靖一模】如图，将矩形 两次对折：第一 次沿对折，使边与重合，展开后又沿 对折，使边 与重合，再次展开后连结，，， ，得到四边 形.若，，则四边形 的面积为( ) B A.2 B.4 C.5 D.6 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 【解析】因为四边形是矩形，所以 ， ，，，.由对折可知， ， ，所以 ，所以 ，所以四边形是菱形.由题意得， ， ，所以菱形的面积为 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 （第3题图） 3.【2025江苏南通启东模拟】如图，小红在作线段 的垂直平分线 时，是这样操作的：分别以点，为圆心，大于 的长为半径画 弧，两弧相交于点，，则直线即为所求.连结，， ， ，根据她的作图方法可知，四边形 一定是______. 菱形 【解析】因为分别以点，为圆心，大于 的长为半径画弧，两 弧相交于点，，所以，所以四边形 一定是菱形，故 答案为菱形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 思路分析 由尺规作图的痕迹可知，则四边形 是菱形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 知识点3 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4.【2024北京朝阳区质检】如图，已知四边形 是平行四边形， 从，， 中选择一个作为条 件，补充后可使四边形 成为菱形，则应选择____（填序号）. ① 【解析】①因为四边形是平行四边形，，所以四边形 为菱形， 故①符合题意；②因为四边形是平行四边形，,所以四边形 为 矩形，不能证明四边形为菱形,故②不符合题意；③因为四边形 是平行 四边形，所以,不能证明四边形 为菱形，故③不符合题意.故 答案为①. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 5.【2024云南昆明模拟】如图，在中， ， ，是的中点，过点作交于点，延长 至，使，连结，， . （1）求证：四边形 是菱形； 【证明】因为是的中点，所以.因为，所以四边形 是 平行四边形.因为，所以平行四边形 是菱形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 （2）若，，求 的长. 【解】由（1）知四边形是菱形，所以.因为， ， 所以在中， .因为 ，所以在中， . 因为，即，所以 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 刷易错 易错点 忽略前提条件导致错误判断菱形 6.小惠自编一题：“如图，在四边形中，对角线，交于点 ， ，.求证：四边形 是菱形”，并将自己的证明过程与同学小 洁交流． 小惠： 证明：因为， ， 所以垂直平分 ， 所以， ， 所以四边形 是菱形． 小洁： 这个题目还缺少条件，需 要补充一个条件才能 证明． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 16 若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法， 请你补充一个条件，并证明． 【解】赞成小洁的说法，补充条件： .证明如下： 因为，，所以四边形是平行四边形.又因为 ，所 以平行四边形 是菱形.（补充条件不唯一） 易错警示 要判定一个图形是菱形，先看它的前提条件.若是四边形，则证四条边都相等，或 者先证明它是平行四边形；若是平行四边形，则需要找一组邻边相等或对角线互 相垂直.不能忽略菱形的判定的前提条件，盲目判定四边形是菱形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 17 提升 1.【2025湖南怀化调研，较难】如图，在矩形中，为对角线 的中点， ，动点在线段上（包括端点），动点在线段 上 （包括端点），点，同时从点出发，以相同的速度分别向终点，运动.点 关于，的对称点分别为，，点关于，的对称点分别为， ， 在点，运动的整个过程中，四边形 形状的变化依次是( ) D （第1题图） A.平行四边形 矩形 平行四边形 菱形 B.平行四边形 菱形 平行四边形 菱形 C.菱形 矩形 平行四边形 菱形 平行四边形 D.菱形 平行四边形 矩形 平行四边形 菱形 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 18 【解析】如图（1），当，，三点重合时， ，易得 ，所以四边形 是菱形. 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 19 如图（2），因为四边形是矩形，所以， ，所 以 ，所以 .因为 ,，所以.因为点关于，的对称点分别为, , 点关于，的对称点分别为,，所以,, , ,所以.由对称可得 ，所以 .同理， ，所以.因为 ，所以四 边形 是平行四边形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 20 如图（3），当，分别为，的中点时，连结，.因为四边形 是 矩形，所以.又因为 ，所以 是等边三角形，所以 .又因为，所以，所以 .由对称可得， .又因为四边形是平行四边形,所以四边形 是矩形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 如图（4），当，分别与，重合时，， 都是等边三角形，则 易得四边形是菱形，所以在点，运动的整个过程中，四边形 形状的变化依次是菱形 平行四边形 矩形 平行四边形 菱形.故选D. 图（3） 图（4） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 22 关键点拨 本题综合考查平行四边形与特殊平行四边形，解题的关键是熟练应用对称性和动 态思维解题. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 23 （第2题图） 2.［中］如图，在中， ，是 的中 点，是的中点，过点作交的延长线于点 ， 连结．若，，则四边形 的面积是____. 10 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 24 【解析】因为，所以.因为是的中点， 是的中点，所以，.在和 中， 所以，所以 .因为 ，所以.又因为，所以四边形 是平行四边形.因为 ，是的中点，所以，所以四边形 是菱形. 连结，如图.因为，，所以四边形 是平行四边形，所以 .因为，所以四边形的面积 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 3.【2025陕西西安调研，中】如图，中， ，将其沿折叠后点 落在处，，是上一动点，连结，.当 取最小值时， 的度数为____ . 37 （第3题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 26 【解析】如图，连结.由折叠可得,, , .因为，所以 ，所以 ，所以，所以 ，所 以四边形是菱形，所以平分.作点关于 的对 关键点拨 由折叠的性质和平行线的性质推出,进而得出四边形 是菱形是本题的解题关键. 称点，连结，易知在上,所以，所以 ， 所以当，，三点共线，且时， 的值最小，此时， ，所以 .又因为 ，所以 .故答案为37. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 27 （第4题图） 4.【2024江苏南京秦淮区调研，中】如图，四边形 为平行四 边形，延长到点，使，连结，,, ， 若是边长为3的等边三角形，点，，分别在线段 ， ，上运动，则 的最小值为_ ___. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 28 【解析】因为四边形为平行四边形，所以, . 因为，所以,所以 .因为 是边 长为3的等边三角形，所以， ， 所以平行四边形是菱形, ，所以 ，所以 是边长为3的等边三角形.因为 ，所以.因为 ,所以 为等边 三角形，所以，所以四边形是菱形.如图，作点 关于 直线的对称点，则一定在上.过点作于点，交于点，当 与重合，与重合时，取得最小值，为菱形的高.过点 作 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 29 于 点，则，所以 ，故 的最小值为，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 思路分析 根据四边形为平行四边形，得到，，， ， 结合得到 ，根据 是边长为3的等边三角形，得到 ， ，从而得到平行四边形是菱形，结合 , ,得到，故四边形是菱形.作点 关于直线 的对称点，则一定在上，根据垂线段最短，过点作于点 ，交 于点，当与重合，与重合时，取得最小值，为菱形 的高， 过点作于点，计算 的长即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 31 5.【2024辽宁阜新质检，中】在直角坐标系中，点，，， 的坐标分别为 ，，，，若以点，，，为顶点的四边形是菱形，则 的值为_ _____. 4或 【解析】若为边，是对角线，因为四边形为菱形，所以 .因为 ，，，所以,解得 ， （舍去）.若为对角线,根据题意可求直线的表达式为 . 因为，所以设直线的表达式为因为直线过 中点 ，所以，解得，所以直线 的表达式为 .因为直线过，所以.故答案为4或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 32 6.【2025宁夏中卫期末，中】周末，小颖和妈妈买回来一盏简单而精致的吊灯， 其截面如图所示，四边形是一个菱形内框架，四边形 是其外部框架， 且点，，，在同一直线上， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 33 （1）求证：四边形外框 是菱形； 【证明】因为四边形是菱形，所以， ， .因为，所以 ，所以 ，所以 .在 和中, 所以，所以 . 同理可证,.在和中, 所以 ， 所以，所以，所以四边形 是菱形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 34 （2）若外框的周长为，，，求 的长. 【解】如图所示，连结，交于点.因为四边形 是菱 形，周长为，，所以 ， ， ，所以 ， ，所以 ，所以 ，所以的长为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 35 7.【2025云南昆明期末，较难】如图，将平行四边形 沿 折叠，点恰好落在的延长线上的点处，连结, 与交于点 . （1）求证：四边形 是菱形. 【证明】因为将平行四边形沿折叠，点恰好落在 的延长线上的点处，连结,与交于点，所以， ， ，所以.又因为 ，所以 ，所以，所以四边形 是平行四边形.又因为 ，所以平行四边形 是菱形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 36 （2）若， . ①求 的面积； 【解】因为四边形是菱形，,，所以 , ，所以.因为四边形 是菱形， 所以.因为四边形是平行四边形，所以 ，所以 .设菱形边上的高为，所以菱形 的面积为 ，即，解得 ，所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 37 ②若直线上有一点，当为等腰三角形时，直接写出线段 的长. 【解】线段的长为2或18或或5.由①得.因为四边形 是平行四边 形，所以 . 图（1） 如图（1）所示，以点为圆心， 长为半径画 弧，与直线相交于点， . 当时， 为等腰三角形， 所以 . 当时， 为等腰三角形， 所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 38 图（2） 如图（2）所示，以点为圆心， 长为半径画弧， 与直线相交于点 . 当时，为等腰三角形，作 于.由①可知 ，所以 ， 所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 39 图（3） 当时,如图（3）.由①可知 ，因为四 边形是菱形，所以,所以 ,所 以在点处，此时为等腰三角形，则 . 综上所述，当为等腰三角形时，线段 的长为2或18或 或5. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 40 刷素养 走向重高 8.核心素养 推理能力［较难］如图，在平行四边形中，，分别是 ， 的中点，，，分别是对角线的四等分点，顺次连结，，， ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 41 （1）求证：四边形 是平行四边形. 【证明】连结，如图所示.因为四边形是平行四边形，是 的中点，所 以在上，且.因为,,分别是对角线的四等分点，所以, 分别 为,的中点.因为是的中点，所以为的中位线，所以 ， ，同理可得，，所以， ，所以四边 形 是平行四边形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 42 思路分析 连结，由平行四边形的性质和已知条件得出,分别为,的中点，证出 为的中位线，由三角形中位线定理得出， ，同理可得 ，，得出， ，即可得出结论； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 43 （2）当平行四边形满足_________时，四边形 是菱形. 【解析】当满足时，四边形 是菱形.理由如下： 连结，如图.易得，，所以四边形 是平行四边形，所以 .由（1）得四边形是平行四边形，因为，所以 ， 即，所以平行四边形是菱形.故答案为 . 思路分析 .连结，证出四边形是平行四边形，再证明 ，即可得出 平行四边形 是菱形； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 44 （3）若，探究四边形 的形状，并说明理由． 【解】四边形 是矩形.理由如下： 因为由（2）得四边形是平行四边形，所以.因为 ，所以 ，所以 . 又因为由（1）知四边形是平行四边形，所以四边形 是矩形. 思路分析 由（2）得,四边形是平行四边形，得出，结合已知证出 ， 即可得出四边形 是矩形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 45 微专题4 特殊平行四边形中等积法的应用 方法指导 如图，在矩形中，，，是的中点，连结 ， ，点在线段上（点不与点，重合），过点作 于 ，于，求 的值. 解：连结.因为四边形是矩形，所以 ， ， . 因为是的中点，所以 ，所以 . 刷提升 返回目录 1 2 1 2 46 因为的面积的面积 ______________， 所以 ， 所以，解得 _ ____. 的面积 刷提升 返回目录 1 2 1 2 针对训练 1.【2025广西玉林期末，中】如图，在矩形中， ， ，于，则线段 的长是( ) C A.3 B.2.5 C.2.4 D.2 【解析】因为四边形是矩形，所以 ， ，所以 .因为 ，所以 . 故选C. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 48 2.【2024陕西咸阳秦都区调研，较难】如图所示，四边形中， 于点 ，，，点为线段上的一个动点.过点 分别作 于点，于点.连结，在点运动过程中， 的 最小值等于_____. 7.8 刷提升 返回目录 1 2 1 2 49 【解析】因为，，所以 ，四 边形是平行四边形.因为于点 ，所以平行四边 形是菱形， ，所以 .连结 ，如图所示.因为 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 ，所以当最短时， 有最小值.由垂线段最短可知， 当时，最短，所以当点与点重合时， 有最小值，最 小值为 ，故答案为7.8. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 50 思路分析 证得四边形是菱形，得，连结 ，由三角形面积关系求出 ，则当最短时，有最小值，即当时， 最短，即可得出答案. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 51 $