5.3正方形（第2课时）（教学课件）数学新教材浙教版八年级下册

5.3 正方形 （第二课时） 第5章 特殊平行四边形 学 习 目 标 1 2 3 理解正方形的性质定理，掌握正方形在边、角、对角线及对称性方面的核心特征，能准确描述其区别于其他平行四边形的几何属性。 掌握正方形性质的应用条件，会根据已知条件（如边长、角度、对角线关系），灵活运用性质定理进行线段计算、角度推导或几何证明。 体会正方形性质的综合性，理解正方形是矩形与菱形性质的“集合体”，能初步运用其性质解决简单的几何问题，建立图形间的联系思维。 旧知复习 正方形的判定 判定方法 具体条件 定义法 有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形 矩形法 有一组邻边相等的矩形 菱形法 有一个角是直角的菱形 对角线法 对角线互相垂直且相等的平行四边形 对角线法 对角线互相垂直、平分且相等的四边形 情境引入 提问：“这些图形有什么共同特征？我们小学学过正方形，它和之前学的平行四边形、矩形、菱形有什么关系？” 新知探究 用直尺和圆规画一个“有一组邻边相等的矩形”，再画一个“有一个角是直角的菱形”，观察画出的图形，提问：“这两个图形有什么共同点？” 学生分组讨论，结合操作结果和旧知，猜想正方形的定义 正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 提问：“正方形是特殊的平行四边形吗？是特殊的矩形吗？是特殊的菱形吗？为什么？” 新知探究 将平行四边形的一个角边长90°，则为矩形 矩形的两个邻边相等时为正方形 平行四边形两邻边相同是为矩形 菱形的一个角等于90°时为正方形 新知探究 提出猜想 猜想1（角）：正方形的四个角都是直角。 已知：如图，四边形ABCD是正方形，求证：∠A = ∠B = ∠C= ∠D 证明：∵正方形是特殊的平行四边形，且正方形有一个内角是直角，设∠A=90°。 ∵平行四边形邻角互补， ∴∠A+∠B=180°, ∠B=180°-90°=90°。 ∵平行四边形对角相等， ∴∠C=∠A=90°,∠D=∠B=90°。 ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°, 新知探究 提出猜想 猜想2（边）：四条边相等 已知：如图，四边形ABCD是正方形，求证：AB=BC=CD=DA 证明：∵正方形是特殊的平行四边形， ∴平行四边形对边相等， ∴AB=CD,AD=BC。 又∵正方形定义：有一组邻边相等的平行四边形， 设AB=AD。 ∴AB=AD=BC=CD, 即AB=BC=CD=DA。 新知探究 提出猜想 猜想3（对角线）：正方形的对角线相等 已知：如图，四边形ABCD是正方形，连接AC、BD相交与O，求证：AC=BD 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°, 又BC=CB(公共边) △ABC≌△DCB(SAS) ∴AC=BD。 新知探究 提出猜想 猜想4（对角线）：正方形的对角线垂直平分 已知：如图，四边形ABCD是正方形，连接AC、BD相交与O，求证：AO=CO, BO=DO, AC⊥ BD 同学们可以自己在草纸上证明一下哟 新知探究 正方形的对称性 对称类型 对称中心/对称轴 数量 特征 轴对称 对边中点所在直线、两条对角线所在直线 4 条 沿对称轴对折，两边完全重合 中心对称 两条对角线的交点 1 个 绕交点旋转180∘，与自身重合 典例分析 例题1. 如图，点P为正方形ABCD内一点，连接PB、PC、PD,若PB=PD,求证：∠ABP=∠ADP. 证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴BC=DC,∠ABC=∠ADC=90°,又∵PB=PD,PC=PC, ∴△PBC≌△PDC(SSS), ∴∠PBC=∠PDC, ∴∠ABC-∠PBC=∠ADC-∠PDC, ∴∠ABP=∠ADP. 变式训练 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和CD的延长线上，连接AE、AF、EF,且∠AEF=∠AFE。求证BE=DF 证明：∵四边形ABCD是正方形， AB=AD,∠ABE=∠ADC=∠ADF=90°, ∵∠AEF=∠AFE, ∴AE=AF, 在Rt△ABE和Rt△ADF中，AB=AD,AE=AF, Rt△ABE≌Rt△ADF(HL), ∴BE=DF. 典例分析 例题2.如图所示，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且AB=AE,则∠BEC的度数是 。 解：在正方形ABCD中，AC平分∠BAD, ∴∠BAE=45°. ∵AB=AE, ∠ABE=∠AEB=（180°-45°）÷2=67.5°又∵∠AEB+∠BEC=180°, ∴∠BEC=180°-67.5°=112.5°. 变式训练 如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边在右侧作菱形BDEF，点E、F分别在AD、BC的延长线上，连接BE，则DBE的度数为 。 解：四边形ABCD是正方形， BC=CD,∠DCB=90°, ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴∠DBC=45°, ∵四边形BDEF是菱形， ∴BE平分∠DBF, ∴∠DBE=∠DBF=22.5° 典例分析 例题3.如图所示是边长为12cm的正方形纸片ABCD,点P为边BC的中点，折叠纸片使点A落在点P处，折痕为MN,则AM的长为 。 7.5cm 变式训练 如图，先将正方形纸片ABCD对折，折痕为MN,再一次折叠纸片，使点B落在MN上的点H处，折痕为AE,则∠HBC的度数为 。 15° 典例分析 例题4.已知：如图，E,F是正方形ABCD的边AB,BC上的两点，AE=BF，连接DE,AF. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB,∠B=∠BAD=90°, 又∵AE=BF, ∴△BAF≌△ADE(SAS), ∴DE=AF; (1)求证：DE=AF. 典例分析 例题4.已知：如图，E,F是正方形ABCD的边AB,BC上的两点，AE=BF，连接DE,AF. (2)解：∵△BAF≌△ADE, ∴∠BAF=∠ADE, ∵∠AED+∠ADE=90°,∴∠AED+∠BAF=90°, ∴∠EGF=∠AED+∠BAF=90°. (2)求∠EGF的度数. 课堂练习 1.下列说法错误的是( ) A.平行四边形的对边相等 B.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形 C.矩形的对角线互相垂直平分 D.菱形的每条对角线平分一组对角 课堂练习 2 .如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是( ) A．BD=CD B．DC=BC C．∠AOB=60° D．OC=CD 课堂练习 3 . 如图，在正方形ABCD中，∠DAF=35°,AF交BD于点E,则∠BEC的度数为 . 80° 课堂练习 4 .如图，正方形ABCD的面积为4，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、AD的中点，则四边形EFGH的面积为____. 2 课堂练习 5 .如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边△PBC,连接PA,则∠PAB= 。 课堂练习 6 . 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和CD的延长线上，连接AE、AF、EF,且∠AEF=∠AFE，求证 BE=DF 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD,∠ABE=∠ADC=∠ADF=90°, ∵∠AEF=∠AFE, ∴AE=AF, 在Rt△ABE和Rt△ADF中，AB=AD,AE=AF, Rt△ABE≌Rt△ADF(HL), ∴BE=DF. 课堂练习 7 . 如图，正方形ABCD中，点E是边BC上的动点(不与点B C重合)，∠1=∠2，AE=EF，AF交CD于点H，FG⊥BC交BC延长线于点G (1)证明：∵正方形ABCD, ∠ABE=90°, ∵FG ⊥BC, ∠EGF=90°, ∠ABE=∠EGF, ∵∠1=∠2,AE=EF, △ABE≌△EGF(AAS); (1)求证：△ABE≌△EGF; 课堂练习 7 . 如图，正方形ABCD中，点E是边BC上的动点(不与点B C重合)，∠1=∠2，AE=EF，AF交CD于点H，FG⊥BC交BC延长线于点G (2)证明：∵正方形ABCD, ∴∠ABE=90° ∴∠1+∠AEB=90°, 又∠1=∠2 ∴∠2+∠AEB=90° ∴∠AEF=90° 即AE⊥EF (2)求证：AE⊥EF. 课堂小结 正方形的性质 边的性质： ①两组对边分别平行(它是平行四边形) ②四条边都相等(兼具菱形的边的特征) 角的性质： ①对角相等； ②邻角互补； ③四个角都是直角(这是正方形最独特的角的性质) 课堂小结 正方形的性质 对角线的性质： ①对角线互相平分(它是平行四边形) ②对角线互相垂直(兼具菱形的对角线特征) ③每一条对角线平分一组对角(兼具菱形的对角线特征) ④对角线相等(兼具矩形的对角线特征) ⑤对角线与边的夹角为45°(正方形独有的性质) 感谢聆听! $