第4章 因式分解 全章综合训练-【初中必刷题】2025-2026学年七年级下册数学同步课件(浙教版·新教材)浙江专用
2026-05-07
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教辅
摘要：
该初中数学单元复习课件系统梳理了因式分解的定义、方法及应用，通过考点分类（如提公因式法、公式法、分组分解法）和中考真题示例，将概念辨析、方法步骤与实际应用串联，帮助学生构建“定义-方法-应用”的完整知识网络。
其亮点在于融合“真题演练-方法提炼-综合应用”的复习策略，如通过2024江苏南京中考题中“两个奇数平方差的整除性”问题，引导学生用代数推理（设参数、平方差公式展开）培养数学思维，章测题分选择（基础）、解答（综合）等层次设计，满足不同学生需求。这种设计既巩固知识又提升运算与推理能力，助力教师精准开展分层复习。
内容正文：
数 学
七年级下册 ZJ
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第4章 因式分解
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全章综合训练
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中考
考点1 因式分解
1.【2023山东济宁中考】下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是( )
C
A. B.
C. D.
【解析】A选项， 是整式的乘法，不是因式分解，故选项A
错误选项，，故选项B错误 选项，
，故选项C正确 选项，
，故选项D错误.故选C.
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2.【2024云南中考】分解因式： ( )
A
A. B. C. D.
【解析】原式 ，故选A.
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3.【2024浙江中考】因式分解： _________.
【解析】.故答案为 .
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4.【2024山东菏泽中考】因式分解： __________.
【解析】，故答案为 .
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5.【2025北京中考】分解因式： ________________.
【解析】，故答案为 .
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6.【2023黑龙江绥化中考】因式分解： ______________.
【解析】 ，故答案为
.
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7.【2024山东威海中考】因式分解： _________.
【解析】 ，
故答案为 .
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8.【2024四川广元中考】分解因式： _________.
【解析】 .故答案为
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考点2 因式分解的应用
9.【2024江苏南京中考】任意两个奇数的平方差总能( )
D
A.被3整除 B.被5整除 C.被6整除 D.被8整除
【解析】设一个奇数为，另一个奇数为，且，, 都
是整数.根据题意，得
.因为,所以，且，所以，所以 ，所以
，故任意两个奇数的平方差总能被8整除，故选D.
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10.【2024广西中考】如果,,那么 的值为
( )
D
A.0 B.1 C.4 D.9
【解析】因为， ，所以
.故选D.
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11.【2024四川凉山州中考】已知，且，则 ____.
【解析】因为，所以.因为 ，所以
.故答案为 .
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12.【2024安徽中考】数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数 能否表示为
,均为自然数 ”的问题.
（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下为正整数 :
奇数 4的倍数
表示结果
一般结论 ________
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按上表规律，完成下列问题：
（i）（___）（___） ;
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【解】， ，
， ，
， .故
答案为7，5.
（ii） __________________;
【解析】由（i）推导的规律可知 .故答案为
.
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（2）兴趣小组还猜测：像2,6,10,14, 这些形如为正整数的正整数
不能表示为,均为自然数 .师生一起研讨，分析过程如下：
假设,其中, 均为自然数.
分下列三种情形分析：
①若,均为偶数，设,,其中, 均为自然数，则
为4的倍数.而 不是4的倍数，矛盾.
故, 不可能均为偶数.
②若,均为奇数，设,,其中, 均为自然数，则
___________________为4的倍数.而 不
是4的倍数，矛盾.故, 不可能均为奇数.
③若,一个是奇数一个是偶数，则为奇数.而是偶数，矛盾.故 ,
不可能一个是奇数一个是偶数.
由①②③可知，猜测正确.
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阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容.
【解析】 .
故答案为 .
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章测
一、选择题（30分）
1.【2024浙江温州期末】下列各式：； ；
；； ，可以用公式法分解因式的有
( )
B
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
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【解析】①不可以因式分解； ,故可以用平方
差公式进行因式分解；③不可以因式分解； ,故可以
用完全平方公式进行因式分解； ,故可以用完全平方公式
进行因式分解.故选B.
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2.若多项式可以因式分解为，则 的值为( )
A
A.3 B.2 C.1 D.
【解析】因为，所以
解得 所以 .故选A.
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3.【2024浙江杭州期末】设为某一自然数，代入代数式 计算其值时，四个
学生算出了下列四个结果，其中正确的结果是( )
D
A.521 B.1 413 C.3 721 D.1 716
【解析】原式，所以 为三个连续的自然数的积，则其中
必有一个因数为偶数，所以 的结果是一个偶数.故选D.
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4.【2024浙江嘉兴期末】计算： 的值为( )
C
A. B. C. D.
【解析】原式
，故选C.
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5.【2025浙江宁波期末】若，都是有理数，且 ，则
( )
B
A. B.8 C.32 D.2 004
【解析】因为，所以 ，
所以，所以，，解得 ，
，所以 ，故选B.
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6.多项式可因式分解成，其中，， 均为整
数，则 的值为( )
D
A.0 B.10 C.22 D.
【解析】因为 ，所以
，所以
，，所以，所以 ，故选D.
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7.如图，四边形 是一个长方形，利用不同的方法可以计算出该长方形的面积.
通过分析图形中所标线段的长度，将多项式 因式分解，其结果正
确的是( )
B
A. B. C. D.
【解析】观察题中图形可知 .故选B.
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8.已知，若，，则与 的大小关系是( )
A
A. B. C. D.不能确定
【解析】因为，所以，所以 ，
所以 ，故选A.
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9.已知长方形的周长为，它的两邻边长分别为， ，且满足
，则该长方形的面积为( )
A
A. B. C. D.
【解析】因为长方形的周长为，所以，所以 .① 因
为，所以 ，所以
，所以.② 联立①②，得解得 所以
长方形的面积 ，故选A.
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思路分析
根据长方形的周长为得出 ,利用完全平方公式因式分解求出
,与上式联立即可求出, 的值，进而可求出长方形的面积．
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10.若二次三项式，则当，，
时，， 的符号为( )
D
A.，同正 B.，同负 C.，一正一负 D.， 同号
【解析】因为 ，所以
，
所以，，.因为，， ，所以
，，，所以当,同为正时，, 同为负；当
,同为负时，,同为正，所以， 同号，故选D.
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二、填空题（18分）
11.【2024浙江宁波质检】分解因式：
______________________________.
【解析】 .故答案为
.
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12.若，则 的值为____.
【解析】因为，所以 .
故答案为 .
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13.若两个多项式有公因式，则称这两个多项式为关联多项式.若 与
为关联多项式，则 为____.
【解析】.因为与 为关联多项式，所以
.故答案为 .
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14.【2025湖南常德期中】已知，的和与差均为正整数，且，则
的值为_______.
或2
【解析】因为，所以.因为， 的值均为
正整数，所以或 解得或 所以当 ，
时，;当，时，.故答案为
或2.
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15.已知，，则 的值为___.
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【解析】因为，所以.因为 ，所以
，所以 ，所以
，所以，，解得， ，所以
，所以 .故答案为3.
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思路分析
首先根据，可得，再将 代入原方程，将13分解成
，然后应用完全平方公式化简，求出，的值，进而求出的值，最后把 ，
， 的值相加求解即可.
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16.已知正数，，，满足， .
（1） ___；
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【解析】因为，所以，所以 ，
所以 .故答案为2.
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（2）如图是三张叠放的正方形纸片，其边长分别为，， ，
若这三张正方形纸片的面积之和为，则 的值为___.
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【解析】由（1）知，，，把， 代
入，得 ，即
，所以 .这三张正方形纸片的
面积之和
.
把代入，得 .故答案为7.
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三、解答题（52分）
17.【2024浙江绍兴期末】因式分解：
（1） ;
【解】原式 .
（2） .
【解】原式 .
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18.先阅读材料，再回答问题：
分解因式： .
解：设，则原式 ，
再将代入，得原式 .
上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思
想解决下列问题：
（1）分解因式： ；
【解】设，则原式 ，将
代入，得原式 .
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（2）若为正整数，则 为整数的平方，试说明理由.
【解】原式 .
令 .
因为为正整数，所以 也是整数，则原式
.因为为整数，所以原式
为整数的平方，即 为整数的平方.
思路分析
将原式变形为.令 ，据此可得原式
，根据 为正整数可做出判断.
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19.【阅读理解】对于二次多项式，我们把 代入多项式，发现
，由此可以推断多项式中有因式.设另一个因式为 ，则
有，所以 ，解得
，因此把多项式因式分解得 .我们把以上因式分
解的方法叫作“试根法”.
【解决问题】
（1）当____时，多项式，所以 可以因式分解为______________；
【解析】当时，，所以，故答案为 ，
.
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（2）对于三次多项式，我们把 代入多项式，发现
，由此可以推断多项式中有因式 ，设另一个因式为
，则有，求, 的值；
【解】由题意可知 ，所以
，所以， ，所以
， .
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（3）对于三次多项式 ，用“试根法”因式分解.
【解】当时，
，所以多项式中有因式.设另一个因式为 ，所以
，所以
，所以 ，
，所以， ，所以
.
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20.【2025福建厦门期中】若一个整数能表示成,都是整数 的形式，则
称这个数为完美数.例如，5是完美数，因为 .
（1）请你再写出一个小于10的完美数，并判断34是否为完美数；
【解】因为 ，所以8是完美数.（答案不唯一）
因为 ，所以34是完美数.
（2）已知，都是整数，是常数，且 为完美数，
求出 的值；
【解】.因为,是整数，所以, 也是整数，所
以当，即时， 是完美数.
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（3）如果，都是完美数，试说明 也是完美数.
【解】设,,,,都是整数，则.因为,,,都是整数，所以,,, 都是
整数，所以 是完美数.
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