15.卷10 第4章 因式分解 综合检测卷-【初中上分卷】2025-2026学年七年级下册数学配套课件（浙教版·新教材）浙江专用

该初中数学课件聚焦七年级下册因式分解核心知识，涵盖公因式提取、公式法等内容，通过2025年各地期末真题导入，从基础选择到综合解答，搭建从概念理解到实际应用的学习支架。 其亮点在于真题情境化设计，如密码生成、电阻计算等实例，结合数学眼光观察生活问题，通过分组分解等策略培养数学思维。“上分点拨”总结方法，助力学生提升应用意识，为教师提供系统教学资源。

数 学 七年级下册 浙教版 1 2 3 卷10 第4章综合检测卷 考查内容：因式分解 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题列出的四 个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1.[2025台州期末]多项式 中各项的公因式是( ) C A.2 B. C. D. 【解析】多项式中各项的公因式是 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 2.[2025宁波月考]下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( ) C A. B. C. D. 【解析】 中等号右边不是乘积的形式，故A不符合题 意； 是乘法运算，故B不符合题意； 符合因式分解的定义，故C符合题意； 中，等号右边不是乘积的形式，故D不符合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 上分心得 判断一个等式是否为因式分解 抓住两个要点：①等号左边是多项式，等号右边是整式乘积的形式；②左边 右边. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 3.[2025绍兴期末]已知 可分解因式为 ，则 的值是( ) B A.1 B.6 C.7 D.8 【解析】.因为 可分解因式为 ，所以，，所以 ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 4.新考法 [2025杭州月考]课堂上老师在黑板上布置了如下所示的题目： 用平方差公式分解下列各式： ;;; . 小南马上发现了其中有一道题目错了，错误的是( ) B A.第（1）道题 B.第（2）道题 C.第（3）道题 D.第（4）道题 【解析】（1） ，它可以利用平方差公式因式分解； （2） ，它不能利用平方差公式因式分解；（3） ，它可以利用平方差公式因式分解；（4） ，它可以利用平方差公式因式分解.综上，第 （2）道题错误，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 5.[2025杭州调研]如图，长方形的长、宽分别为， ，周长为 16，面积为15，则 的值为( ) A A.120 B.128 C.240 D.250 【解析】因为长方形的周长为16，面积为15，所以， ，所以 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 6.[2025金华期末]若，则 的值是( ) C A.8 B.12 C.16 D.32 【解析】因为，所以 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 7.[2025金华期末]已知为自然数，在计算代数式 的值时，四位同学算出了 下列四个结果，其中不可能的是( ) C A.720 B.1 320 C.2 729 D.9 240 【解析】，所以 是三个连续自然 数的乘积.因为三个连续自然数中必有一个是2的倍数，必有一个是3的倍数，所以 三个连续自然数的乘积必是6的倍数，即是6的倍数.因为 ， ，，，所以代数式 的值不可能是2 729.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 上分警示 因式分解要彻底 在分解因式时，要关注结果是否还能进行分解.特别是在提出公因式后，关注剩余 部分能否继续运用公式法进一步分解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 8.[2025杭州期末，中]生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等.为方 便记忆，有一种用“因式分解法”产生的密码，其原理是将一个多项式分解成多个 因式，如：将多项式分解为.当时， ， ，此时可得到数字密码202317.将多项式 因式分解后，利 用题目中所示的方法，当时可以得到密码121415，则 为( ) D A.20 B.25 C.35 D.30 【解析】.因为当 时得到密码121415，所 以分解结果应为，即，所以， ，所以 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 9.[2025温州月考，中] 可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是 ( ) C A.61，63 B.61，65 C.63，65 D.63，67 【解析】原式 .因为 ，，，，所以 能被65和 63整除，所以这两个数为65和63.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 10.[2025宁波模拟，偏难]已知，均为正整数且满足 ， 则 的最小值是( ) A A.20 B.30 C.32 D.37 【解析】， ， ，.因为， 均为正整数， ，，所以或或 或 所以或，所以 的最小值为20.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.[2025宁波二模]因式分解： ___________. 【解析】，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 12.[2025杭州期末]已知多项式是一个完全平方式，则实数 的 值是_______. 7或 【解析】因为多项式 是一个完全平方式，所以 ，即，解得或，故答案为7或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 上分点拨 完全平方式 一个整式能够写成另一个整式的平方的形式，即，则称 是完全平方式， 亦可表示为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 13.[2025绍兴月考]已知，，则 ____. 【解析】因为，，所以.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 14.[2025湖州校级期末]我们在学习代数公式时，可以用几何图形来推理论证.受此 启发，在学习因式分解之后，小明同学将一张边长为的正方形纸片剪去2个长为 ， 宽为的长方形以及3个边长为 的正方形（如图（1））之后，又将剩余部分拼成 了如图（2）所示的长方形.观察图（1）和图（2）的阴影部分，请从因式分解的角 度，用一个含有， 的等式表示从图（1）到图（2）的变化过程：_____________ ___________________. 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 【解析】题图（1）阴影部分面积为 ，题图（2）中的阴影部分是长 为，宽为的长方形，因此面积为 .因为两个图形阴影部 分面积相等，所以 ，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 15.[2025绍兴期中，中]已知，，则 的值为___. 6 【解析】因为，，所以 ， ，所以，，解得，，所以 . 故答案为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 16.[2025湖州期末，偏难]一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式 ，（其中，， 均是不为零的常数）及这两个代数式 的一些信息，如表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 （说明：， 均是不为零的常数） 有学生探究得到以下四个结论：①当时，；②当 时， ；③当时，；④当时， ，以上结 论中正确的序号是________. ①②③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 【解析】因为 ，所以 ， .因为 ，所以 ， .①当时，，此时，，则 ，故① 正确，符合题意；②当时，由和，可得 ，故 ②正确，符合题意；③当 时，因为 ，,所以 ，故③正确，符合 题意；④当时，，则，，所以 ，故④错误， 不符合题意.故答案为①②③. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 上分点拨 因式分解是恒等变形 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作因式分解.因式分解是中学数学中重 要的恒等变形之一，利用该特点可以建立起相关参数之间的等量关系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 三、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤） 17.（本题6分） （1）利用因式分解进行简便计算： ； 【解】原式 （1分） .（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 （2）因式分解： . 【解】 .（4分） 设，可得原式 （5分） .（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 18.[2025温州校级开学]（本题8分） （1）已知 可以被10到20之间的两个整数整除，求这两个整数. 【解】原式 （1分） （2分） （3分） ，所以这两个整数为17和15.（4分） （2）已知关于的多项式有一个因式是，求实数 的值. 【解】设另一个因式为 ，则 ，所以 ， ，（6分） 解得，，所以实数 的值为20.（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 19.[2025浙江期中]（本题8分）在一次数学课上，老师提出问题：如何将代数式 进行因式分解呢？ 小季同学经过思考后作如下解答： . 小戴同学在仔细研读上述解答过程后，获得如下结论： ，在代数式中，，即无论 取 何值，都大于等于0，所以，则有最小值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 （1）请仿照小季同学的解答过程，将代数式 分解因式； 【解】原式 （2分） （3分） .（4分） （2）求代数式 的最大值. 【解】原式 .（6分） 因为无论取何值，都小于等于0，所以 ，则 有最大值18.（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 20.（本题8分） （1）因式分解可以简化一些复杂的计算，如图，把，， 三个电阻串联起来， 线路上的电流为，电压为，则.当 ， ， ，时，请利用因式分解计算出 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 【解】因为， ， ， ， ， 所以 （2分） .（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 （2）如图，在半径为的圆形钢板上裁去四个半径为 的小圆.当 ， 时，利用因式分解的知识，计算剩余部分的面积. 取 【解】因为， ， 所以 （6分） . 答：剩余部分的面积是 .（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 21.[2025杭州钱塘区校级期末]（本题10分）【基础巩固】从课本中我们学习了因 式分解的常见方法：提取公因式法和公式法. （1）填空：因式分解： __________. 【解析】，故答案为 .（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能 直接运用公式分解因式，但是通过适当的调整能将多项式转化为可分解的若干部 分，并综合运用其他方法完成分解，这种方法叫分组分解法.例如：“ ”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以因式分解，后两项 也可因式分解，前后两部分分别分解因式后产生了公因式，然后再提取公因式即 可，具体过程如下： . （2）［中］请运用分组分解法，分解下列因式： ① ； 【解】 （3分） .（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 ② . 【解】 （5分） .（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 【应用尝试】 （3）［中］已知实数，满足，求 的值. 【解】 ，（8分） 所以， ， 所以， ，（9分） 所以 .（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 22.[2025宁波校级期中]（本题12分）“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，而 对于形如的关于， 的二元二次式也可以用十字相 乘法来分解. 如图（1），首先对前三项进行“十字相乘”：将分解成和 的乘 积，,作为第一列，分解成和的乘积，,作为第二列，使得 ； 其次对进行“十字相乘”：分解成和的乘积，, 作为第三列，使得 ； 最后若，则原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 图（1） 图（2） 例：分解因式： . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 解：如图（2），首先对前三项进行“十字相乘”： ， ，；其次对 进行“十字相 乘”：， ； 最后验证： ，所以 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： （1）分解因式： ______________________. 完成下列填空： 分解因式： . （2分） 图（3） ①如图（3），首先对 进行“十字相乘”. ②再对 进行“十字相乘”. ③验证： . ④写出结果： _______________________________. （4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 （2）［中］因式分解： . 【解】如图，先对 进行“十字相乘”.（5分） 再对 进行“十字相乘”. （6分） 验证： ，（7分） 所以 .（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 （3）［偏难］已知，为整数，且满足 ， 求， 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 【解】因为 ， （10分） 所以 . 因为， 为整数， 所以和 均为整数， 所以或 解方程组得 （不合题意，舍去）.（11分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 解方程组得 故的值为0， 的值为2.（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 $