精品解析：四川绵阳南山中学双语学校2026年春季八年级第一学月定时作业数学试题

2026年春季八年级第一学月定时作业（数学试题） 满分：100分；考试时间：90分钟 一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上（　　）根木条． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则的结果是（ ） A. B. C. a D. 5. 如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（ ） A. 8或9 B. 9或10 C. 8或9或10 D. 9或10或11 7. 如图所示，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. 点A到直线的距离为2 D. 8. 甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都是，甲客轮用到达点A，乙客轮用到达点B．若A，B两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ） A. 北偏西 B. 南偏西 C. 南偏西 D. 南偏东 9. 如图，圆柱的底面周长为12cm，AB是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC上有一点D，且，．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是（ ）cm． A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 10. 如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点，若，，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，其中成立的有（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ②③④ D. ②④ 二．填空题（共6个小题，每小题3分，共18分） 13. 若有意义，则x的取值范围为_____． 14. 如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为______． 15. 已知，则的值是________． 16. 如图，在中，对角线，BD交于点O,，于点，若AB=2，，则的长为__________________． 17. 如图，在中，，，，， 分别是 ， 边上的动点，当 最小值时，则 为____． 18. 平行四边形中，，，，P 是平行四边形边上的一个动点，连接，，当是直角三角形时，则的长是________． 三．解答题（共6小题，共46分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，已知四边形是平行四边形，为边的中点，连接并延长，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，，求点到的距离． 22. 在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离， （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 23. 如图，在中，，垂足为E，，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF，EG，AG，． （1）若，，求BE的长； （2）求证：． 24. 如图，中，，于点O，，． （1）求，的长； （2）若点D是射线的一个动点，作于点E，连结． ①当点D在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长． ②设直线交直线于点F连结、，若，则CD的长为 　 　（直接写出结果）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季八年级第一学月定时作业（数学试题） 满分：100分；考试时间：90分钟 一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义，解题的关键是掌握二次根式的定义． 需依据“形如（），根指数为2且被开方数非负”的特征判断选项． 【详解】解：A选项：的被开方数，式子无意义，不是二次根式； B选项：的根指数为2，被开方数，符合二次根式定义，是二次根式； C选项：中，当时，，式子无意义，不一定是二次根式； D选项：的根指数为3，是三次根式，不是二次根式； 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质、合并同类项法则计算即可； 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确； 故答案选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的计算、零指数幂和合并同类项的计算，准确计算是解题的关键． 3. 三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上（　　）根木条． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】三角形具有稳定性，所以要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条． 【详解】解：过五边形的一个顶点作对角线，有条对角线，所以至少要钉上2根木条． 4. 实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则的结果是（ ） A. B. C. a D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值．由数轴可知，，进而可得，根据绝对值性质和二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知，， ，， ， 故选A． 5. 如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出的长，则可得到的长，再用点C表示的数减去的长即可得到a的值． 【详解】解：如图所示，由勾股定理得 ∴， ∴． 6. 一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（ ） A. 8或9 B. 9或10 C. 8或9或10 D. 9或10或11 【答案】D 【解析】 【分析】先根据多边形内角和公式求出新多边形的边数，再根据多边形截去一个角的三种情况，讨论得到原多边形的边数． 【详解】解：设内角和为的新多边形的边数是，根据多边形内角和公式可得 ， 解得， ∵多边形截去一个角共有三种情况， ①截线不过原多边形顶点时，新多边形边数比原多边形多， ②截线过原多边形一个顶点时，新多边形边数与原多边形相等， ③截线过原多边形两个顶点时，新多边形边数比原多边形少， ∴原多边形边数为或或，即原来多边形的边数是或或． 7. 如图所示，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. 点A到直线的距离为2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据格点及勾股定理可得，，，然后根据勾股定理逆定理及等积法可进行求解． 【详解】解：由图可得：，，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， 设点A到直线的距离为h， ∴， ∴， 综上可知只有B选项错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 8. 甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都是，甲客轮用到达点A，乙客轮用到达点B．若A，B两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ） A. 北偏西 B. 南偏西 C. 南偏西 D. 南偏东 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及方向角，依照题意画出图形，根据路程=速度×时间可求出，根据的长度，利用勾股定理的逆定理即可得出，结合的度数即可求出和的度数，此题得解． 【详解】解：依照题意画出图形， 甲的路程，乙的路程， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且． ∵， ∴， ∴乙客轮的航行方向为南偏东或北偏西， ∴乙客轮的航行方向可能是南偏东， 故选：D． 9. 如图，圆柱的底面周长为12cm，AB是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC上有一点D，且，．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是（ ）cm． A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长12cm，求出 AB 的值，由BC=10cm，DC=2cm，求出 DB的值，再在 Rt△ ABD 中，根据勾股定理求出 AD 的长，即可得答案． 【详解】解：圆柱侧面展开图如下图所示， ∵圆柱的底面周长为12cm， ∴ AB =6cm， ∵BC=10cm，DC=2cm， ∴DB=8， 在 Rt△ABD 中，( cm )， 即蚂蚁从 A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点 D 的最短距离是10cm， 故选： C ． 【点睛】此题主要考查了圆柱的平面展开图，以及勾股定理的应用，解题的关键是画出圆柱的侧面展开图． 10. 如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明GF=GE，再证明四边形CEGF是平行四边形，可得四边形CEGF是菱形，再求解 利用勾股定理求解 利用四边形CEAF是菱形，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接CE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴ ∴∠AEF=∠CFE， ∵∠AEF=∠CEF， ∴∠CEF=∠CFE， ∴CE=CF， ∵图形翻折后EC与AE完全重合， ∴AE=CF， ∴四边形CEAF是平行四边形， ∵CE=CF， ∴四边形CEAF是菱形． ，， 四边形CEAF是菱形， 故选D 【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用翻折不变性解决问题，属于中考常考题型． 11. 如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与几何综合，数形结合，由直角三角形边长表示出是解决问题的关键． 在中，设，则由勾股定理可得，根据阴影部分的面积关系满足，由圆的面积公式、直角三角形面积公式表示出与，从而得到，由完全平方公式恒等变形即可得到，即可得到答案． 【详解】解：在中，设， ， 由勾股定理可得，则， 则 ， ， ， ，即， 则， ， 则，即， ， 故选：A． 12. 如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，其中成立的有（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ②③④ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质及角平分线的定义易证是等边三角形，再根据等边三角形的性质及线段的数量关系即可判断①；根据等腰三角形的性质及角的和差即可得出，再根据三角形的面积公式即可判断②；根据线段的关系及三角形面积公式即可判断③；根据平行四边形的性质及含30度的直角三角形的性质得出，再根据线段间的关系即可判断④ 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故①错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ∵， ∴E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确，符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故④正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质以及等边三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 二．填空题（共6个小题，每小题3分，共18分） 13. 若有意义，则x的取值范围为_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式的概念是关键． 分式有意义的条件是分母不为零，二次根式则要求被开方数非负，结合在一起解不等式组即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得且， 故答案为：且． 14. 如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为______． 【答案】44 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用和勾股定理的应用，解题的关键是理解题意． 设直角三角形的两直角边为，斜边为，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为，斜边为， ∵图1中大正方形的面积是24， ， ∵小正方形的面积是4， ， ， ∴图2中最大的正方形的面积， 故答案为：44． 15. 已知，则的值是________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，求代数式的值，根据二次根式的被开方数非负，确定的值，再代入方程求出的值，最后计算代数式的值即可，熟练掌握二次根式的非负性是解此题的关键． 【详解】解：∵和都有意义， ∴，且， 解得：， 将代入方程，得， 即， ∴， ∴， 故答案为： 0． 16. 如图，在中，对角线，BD交于点O,，于点，若AB=2，，则的长为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求得AC的长，结合平行四边形的性质求得AO的长，然后利用相似三角形的判定和性质求解． 【详解】解：∵，，AB=2 ∴在Rt△ABC中，AC= ∴在中，AO= 在Rt△ABO中，BO= ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴， 解得：AH= 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及勾股定理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键． 17. 如图，在中，，，，， 分别是 ， 边上的动点，当 最小值时，则 为____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，作关于的对称点，连接，则，关于的对称点也在上，连接，可得当，，三点共线，且时，，此时最小；证明为等边三角形，可得，，，从而可得答案． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，则，关于的对称点也在上，连接， ∴当，，三点共线，且时，，此时最小； ∵，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，垂线段最短的含义，作出合适的辅助线是解本题的关键． 18. 平行四边形中，，，，P 是平行四边形边上的一个动点，连接，，当是直角三角形时，则的长是________． 【答案】4或 或 【解析】 【分析】根据直角顶点的位置，分三种情况讨论：当在上，且时，当在上，时，当在上，当时，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，当在上，且时： ∵，，， ∴， ∴； 当在上，时，如图， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当在上，当时，如图，过作于，则， 设，则，而， ∴， 整理得：， 解得：或， 当时，，与第一种情况相同，舍去， 当时，． 当在边上，不符合题意，舍去． 综上：的长为或或． 故答案为：或或 【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，平行四边形的性质，正确作图和掌握相关的性质和定理进行分类讨论是解题的关键． 三．解答题（共6小题，共46分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；． 【解析】 【分析】先根据平方差公式和完全平方公式把所给代数式化简，再把代入计算即可． 【详解】原式= = =， 当时， 原式=． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应． 21. 如图，已知四边形是平行四边形，为边的中点，连接并延长，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，，求点到的距离． 【答案】（1） 证明：为边的中点， ． 四边形是平行四边形， ， ． ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由为边的中点，得到，由平行四边形的性质得到，即可得到结论； （2）由得到，由平行四边形的性质得到，求出，根据勾股定理求出，继而求出点到的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． 四边形是平行四边形， ． ． ，， ， 点到的距离． 22. 在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离， （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，则，利用勾股定理列出方程，求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，即可解决问题． 本题考查了勾股定理的应用，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， 答：绳子的总长度为27； 【小问2详解】 如图2， 由（1）得：， 由题意可知，，，， ， 由勾股定理得：， ， ， 答：此时物体C升高了 23. 如图，在中，，垂足为E，，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF，EG，AG，． （1）若，，求BE的长； （2）求证：． 【答案】（1）4 （2） 证明：延长AG交BC延长线于点M， 在△DCF和△ECG中， ∵∠1=∠2，∠C=∠C， CD=CE， ∴△DCF≌△ECG（AAS）， ∴CG=CF， ∵CE=2CF， ∴CG=CG， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADG=∠MCG， 在△ADG和△MCG中， ∵∠ADG=∠MCG， DG=CG，∠AGD=∠MGC， ∴△ADG≌△MCG（ASA）， ∴AG=MG， ∵∠AEC=90°， ∴EG=AG=GM， ∴∠GEC=∠M， ∵∠AGE=∠GEC+∠M， ∴． 【解析】 【分析】（1）求出DC=CE=2CF=5，求出AB，根据勾股定理求出BE即可； （2）延长AG交BC延长线于点M，证名△DCF≌△ECG，推出CG=CF，再证明△ADG≌△MCG，可得AG=MG，再根据直角三角形的性质，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵CE=CD，点F为CE的中点，CF=2.5， ∴DC=CE=2CF=5， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD=5， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB=90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理得： ； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力． 24. 如图，中，，于点O，，． （1）求，的长； （2）若点D是射线的一个动点，作于点E，连结． ①当点D在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长． ②设直线交直线于点F连结、，若，则CD的长为 　 　（直接写出结果）． 【答案】（1）、 （2）①的长为6或；②或 【解析】 【分析】（1）根据可得的长，分别根据勾股定理可得和的长； （2）①分两种情况：和时，分别画图，根据三角形的中位线定理和证明三角形全等可解决问题； ②分两种情况： i）当D在线段上时，如图3，过B作于G，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，得，可得，证明是等腰三角形，得，最后利用勾股定理可得结论； ii）当D在线段的延长线上时，过B作于G，同i）计算可得结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ； 【小问2详解】 解：①分两种情况： i）当时，过O作于N，如图1所示： ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴； ii）当时，如图2所示： 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为6或； ②分两种情况： i）当D在线段时，过B作于G，如图3所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴； ii）当D在线段的延长线上时，过B作于G，如图4所示： 同理得： ， ∵， ∴， 同理得：是等腰三角形， ∴， ∴， 中， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线性质、三角形的面积、勾股定理、分类讨论等知识；证明是等腰三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $