精品解析：河南南阳市方城县第一高级中学2026届高三下学期第二次学业质量调研抽测数学试卷

方城县第一高级中学2026届高三下学期第二次学业质量调研抽测数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 某药品检测机构定义集合，.若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出集合，将必要不充分条件转化为集合之间的包含关系，由此求得实数m的取值范围. 【详解】由，得，所以， 故. 因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集，. 即是集合的真子集，又， 所以， 故选：C. 2. 已知，则的虚部为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则，将化成的形式，即可得到其虚部. 【详解】因为，所以. 所以的虚部为. 3. 狄利克雷函数与黎曼函数是两个特殊函数，狄利克雷函数，黎曼函数定义在上，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据狄利克雷函数与黎曼函数的定义求解即可. 【详解】因为， 而为上的无理数，所以， 因为，所以. 故选：D. 4. “”是“函数为奇函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的性质，结合充分性和必要性的定义进行求解即可. 【详解】若，则， 是奇函数，因此能推出为奇函数，充分性成立， 若为奇函数，则对任意满足， 即，化简得， 展开整理后可得，即，不一定等于， 因此为奇函数推不出，必要性不成立。 因此“”是“为奇函数”的充分而不必要条件. 5. 某学校开设了5门不同的科技类课程，5门不同的运动类课程和5门不同的自然类课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ） A. 5种 B. 15种 C. 25种 D. 125种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理即可求得结果. 【详解】根据分类加法计数原理，从各类课程中任选1门课程的不同选法共有种． 故选：. 6. 在正四棱台中，已知，该正四棱台的体积为168，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据台体的结构特征以及台体的体积公式运算求解. 【详解】连接相交于点，相交于点，连接， 则为正四棱台的高，作，垂足为， 则，， 四边形是等腰梯形，， 所以，， ， 由，得， 可得． 故选：C. 7. 过点作的切线，切点为，以为直径的圆与轴交于另一点，则到的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据导数的几何意义求出切点，从而可求出以为直径的圆的方程，进而可求出点的坐标，再根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】由题意知，设切点为，所以切线方程为， 又切线过点， 所以，解得， 所以或，两点关于轴对称，则， ∴切线为或， 则以为直径的圆为或均交轴于， 所以到的距离. 故选：B． 8. 若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程、已知圆的圆心及半径，再利用圆的切线性质列式求解即可. 【详解】双曲线的渐近线为， 圆的圆心为，半径为1，依题意，， 则，所以双曲线离心率为. 故选：B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知数据的平均数为，方差为，中位数为，极差为；数据，的平均数为，方差为，中位数为，极差为.则（ ） A. B. C. 可以等于 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据均值，方差，中位数，极差的计算公式，注意中位数、极差的计算需先排序，再逐一比较即可． 【详解】对于A，根据题意，， ，则，故A正确； 对于B，， ，故与大小无法比较，故B错误； 对于C，当时，， 此时，故C正确； 对于D，取，可得； 取，可得，故D错误， 故选：AC． 10. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，的最小正周期为 B. 存在整数，使得的图象关于直线对称 C. 不存在整数，使得的最大值为2 D. 当时，在上恰有四个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二倍角公式和三角函数的性质逐项分析即可. 【详解】当时，， ，其最小正周期， ，其最小正周期， 是两个函数相加，故的最小正周期是的最小公倍数， 故的最小正周期为，故A正确. 的图象关于直线对称，则， 取，则， ，， ，故不存在整数，故B错误， 的最大值为2，需， ， 令，左边为奇数，右边为偶数，无整数解， 故不存在整数，使得的最大值为2，故C正确， 当时，为奇数，则， 令，则， 又均为奇数，根据奇数幂的性质可知，即， 当时，， 当时，不在上；当时，不在上；发现代入其他的值导致x更大或更小，故都不在区间内， 当时，， 当时，在上； 当时，在上； 当时，在上； 当时，在上； 当时，不在上，， 综上，发现只有4个值符合题意，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线与和圆交于四个点，且自上而下分别是为坐标原点，直线与的准线交于点，则（ ） A. B. C. D. 的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由题意可得，化简后进行判断，对于B，根据抛物线的定义分析判断，对于C，设直线为，，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系计算判断，对于D，根据抛物线的定义结合基本不等式分析判断. 【详解】由题意得抛物线C：的焦点为，，准线方程为， 圆圆心坐标为，半径为. 对于A：所以本选项说法错误； 对于B：因为， 所以，所以本选项说法正确； 对于C：设直线为，， 由，得， 因为，所以， 直线的方程为， 所以点的坐标为，因为， 所以点的坐标为，而点的坐标为， 所以点的纵坐标和点的纵坐标相同， 所以，因此本选项说法正确； 对于D：设， 由选项C可知，且， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是，所以D正确， 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中，的系数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出项，对项进行整理后，令的次数为，解出的值，再将的值代入项，计算得到的系数. 【详解】设项为含的项，， 则，解得，， 则的系数是. 故答案为：. 13. 设数列的前项和，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用数列的通项与前n项和的关系求解. 【详解】数列的前项和， 当时，， 当时，， 因为适合上式，所以. 故答案为： 14. 若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______. 【答案】16； 【解析】 【详解】依题意，为偶函数， 展开式中的系数为，故，的系数为，故，令，得，由对称轴为-2可知，将该式分解为，可知其在和处取到最大值，带入，可知最大值为16. 【考点定位】本题考查函数的性质，考查学生的化归与转化能力以及基本运算能力. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. （1）求角C及边c的值； （2）求的最大值. 【答案】（1）， （2）4 【解析】 【小问1详解】 由， 根据余弦定理，得， 因为，则. 由，得， 根据正弦定理，得，则. 【小问2详解】 由（1）知，， 则，即， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为4. 16. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）当时，求在上的最小值； （3）若在上存在零点，求的取值范围. 【答案】（1）极大值为，没有极小值 （2）0 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导函数求函数的极值； （2）根据导函数求函数的最值； （3）根据的导数，对进行分类，结合函数的单调性和极值可得的取值范围. 【小问1详解】 当时，，定义域是 求导可得 令，解得， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递增 极大值 单调递减 由此可得的极大值为，没有极小值. 【小问2详解】 当时，，定义域是 求导可得 令，定义域是，则 求导可得，当时，，因此在上是增函数， 所以，即在上是增函数，. 【小问3详解】 ，定义域是 求导可得， 令，定义域是 求导可得 分类讨论， 当时，，因此在上是减函数，； 当时，是负数，因此，在上是减函数，，不符合题目要求； 当时，，，因此存在，使得，即， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递增 极大值 单调递减 因此，只需要，即时，在上存在零点； 当时，由第一问可知在上是增函数，，不符合题目要求； 当时，，即，在上是增函数，，不符合题目要求， 综上所述，的取值范围是. 17. 如图，边长为2的正方形所在的平面与平面垂直，且. （1）证明：平面平面； （2）当时，求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）因为平面平面，交线为平面， 所以 平面，又 平面，故. 又因为平面， 所以平面，而 平面， 故平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由平面垂直可得出线面垂直，再由线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 . 因为 ，由题设得，， 设是平面的法向量，则 ，即，令，可得. 又是平面 的法向量， 设平面与平面 所成角为， ，所以， 所以平面与平面 所成角的正弦值是. 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，上顶点为． （1）求的方程； （2）延长交于点，求线段的长； （3）若是上的动点（异于），直线与轴交于点，直线与交于点，求点的轨迹方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过椭圆顶点、焦点的坐标关系，结合已知线段长度求出，得到椭圆方程； （2）求出直线的方程，联立椭圆方程得到交点，再用距离公式计算的长； （3）设动点的坐标，推导直线与轴的交点，进而得到直线的方程，联立后结合在椭圆上的条件，化简得到的轨迹方程. 【小问1详解】 椭圆上顶点，右焦点，右顶点. 由，， 代入得，得. ， 椭圆的方程为. 【小问2详解】 ，，直线的方程为. 联立，得，整理为， 解得或. 对应，对应. 线段的长为. 【小问3详解】 设，满足（）. ，直线的方程为，令得. ，直线的方程为，令得. 直线（）的方程为， 直线（）的方程为. 联立两直线方程，约去得，交叉相乘化简得， 代入直线的方程得. 由，，得，代入椭圆方程得， 即. 19. 设、为实数，且，函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，， 设， 则， 由于，则 ， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则 ，即. （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义直接求解即可； （2）设，求导，分析函数的单调性，进而求证即可； （3）设，转化问题为函数有且仅有2个零点，分析易得 时才能满足题意，设，分析可得需满足，，设，利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【小问1详解】 当 时，，则， 而，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， 由题意，曲线与直线有且仅有两个交点， 则函数有且仅有2个零点， 而， 令，得，而，则 ， 当 时，，则函数在上单调递增， 此时函数最多有1个零点，不符合题意； 当 时，令 ，得，令 ，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又时，，时，， 要使函数有且仅有2个零点， 则，即， 设，则， 当时，，则，不满足题意； 当时，设，则， 则函数在上单调递减，又， 则时，，即， 则的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 方城县第一高级中学2026届高三下学期第二次学业质量调研抽测数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 某药品检测机构定义集合，.若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的虚部为（   ） A. B. C. D. 3. 狄利克雷函数与黎曼函数是两个特殊函数，狄利克雷函数，黎曼函数定义在上，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 4. “”是“函数为奇函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 某学校开设了5门不同的科技类课程，5门不同的运动类课程和5门不同的自然类课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ） A. 5种 B. 15种 C. 25种 D. 125种 6. 在正四棱台中，已知，该正四棱台的体积为168，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 过点作的切线，切点为，以为直径的圆与轴交于另一点，则到的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线离心率为（ ） A. B. C. D. 2 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知数据的平均数为，方差为，中位数为，极差为；数据，的平均数为，方差为，中位数为，极差为.则（ ） A. B. C. 可以等于 D. 10. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，的最小正周期为 B. 存在整数，使得的图象关于直线对称 C. 不存在整数，使得的最大值为2 D. 当时，在上恰有四个零点 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线与和圆交于四个点，且自上而下分别是为坐标原点，直线与的准线交于点，则（ ） A. B. C. D. 的最小值是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中，的系数是_____． 13. 设数列的前项和，则________. 14. 若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. （1）求角C及边c的值； （2）求的最大值. 16. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）当时，求在上的最小值； （3）若在上存在零点，求的取值范围. 17. 如图，边长为2的正方形所在的平面与平面垂直，且. （1）证明：平面平面； （2）当时，求平面与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，上顶点为． （1）求的方程； （2）延长交于点，求线段的长； （3）若是上的动点（异于），直线与轴交于点，直线与交于点，求点的轨迹方程． 19. 设、为实数，且，函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $