精品解析：河南南阳市方城县第一高级中学2026届高三总复习全真模拟测试数学试题

方城县第一高级中学2026届高三总复习全真模拟测试数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 样本数据2，4，7，8，11，13，19的下四分位数（第25百分位数）为（ ） A. 2 B. 4 C. 7 D. 13 2. 已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则的虚部是（ ） A. i B. 1 C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数恰有一个零点，则实数（ ） A. 1 B. C. 0 D. 6. 在中，是角所对的边长.若，则（ ） A. B. C. D. 7. 设．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆，点和均为椭圆的顶点，直线与椭圆交于两点．当四边形面积取最大值时，实数的值为（ ） A. 0 B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数．则下列结论正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 在区间上单调递减 C. 把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象． D. 若函数的图象关于轴对称，则正数的最小值为 10. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点P为C右支上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C与双曲线有相同的渐近线 B. 若，则的周长为 C. 若，则的面积为2 D. 若M为圆上一点，则的最大值为7 11. 已知正四面体的外接球表面积为，则下列说法正确的是（　　） A. B. 正四面体的体积为 C. 正四面体的内切球体积为 D. 已知平面上任意一点满足，则平面截四面体所得的截面面积为1 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则__________. 13. 已知直线（，），若直线被圆所截得的弦长为，则的最大值为_____． 14. 一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数，现随机将骰子抛掷3次，且各次抛掷结果相互独立，则三次抛掷出现向上的点数之积能被4整除的概率为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 记为数列的前n项和，且为等差数列，为等比数列，． （1）求的值，并求的通项公式； （2）探究是否存在唯一的最大项； （3）证明：． 16. 已知四边形为等腰梯形, ,为的中点（如图甲），以为折痕把折起，使点到达点的位置且平面平面（如图乙）． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 17. 深圳是一个沿海城市，拥有大梅沙等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩.为了合理配置旅游资源，文旅部门对来大梅沙游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览海滨栈道，另外的人选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩.每位游客若选择只游览海滨栈道，则记1分；若选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，则记2分.假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率. （1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取个人，记这个人的合计得分恰为分的概率为，求； （3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由. 18. 已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）若一条斜率为的直线与抛物线相交于不同的两点为坐标原点， （ⅰ）当时，求以线段为直径的圆的面积； （ⅱ）若在抛物线上存在点（位于直线的左侧），使得以为顶点的满足，求重心的坐标． 19. 定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． （1）设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； （2）若为“整数等差函数”，求实数的最小值； （3）已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 方城县第一高级中学2026届高三总复习全真模拟测试数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 样本数据2，4，7，8，11，13，19的下四分位数（第25百分位数）为（ ） A. 2 B. 4 C. 7 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的求法求得正确答案. 【详解】因为，向上取整为2，所以下四分位数是第2个数，即4. 2. 已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则的虚部是（ ） A. i B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的几何意义得，再由复数、共轭复数的定义及复数的运算，即可求解. 【详解】因为复数在复平面内对应点坐标为，则，所以， 则，所以的虚部是. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解分式不等式得出集合A，再应用交集定义计算求解. 【详解】，即，，解得， 又因为集合，则. 4. 已知向量满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量垂直及数量积的运算律得，再由向量的夹角公式求与的夹角. 【详解】由题设，则， 所以，， 所以. 故选：B 5. 已知函数恰有一个零点，则实数（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，由偶函数且恰有一零点可得，求出后再检验即可得解. 【详解】由得， 而， 故为偶函数. 由对称性，，从而 当时， 当时，，即无零点， 由对称性，时，也无零点，从而仅有一解，即满足题意. 故选：A 6. 在中，是角所对的边长.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理找到三角形中边之间的关系，再利用余弦定理可计算出的值，即可求解. 【详解】因，设，则 由余弦定理知 ， 由正弦定理， . 故选：B. 7. 设．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 而在上单调递增，所以． 8. 设椭圆，点和均为椭圆的顶点，直线与椭圆交于两点．当四边形面积取最大值时，实数的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据顶点得出椭圆，再联立得出韦达定理，最后表示面积应用三角换元得出面积最大时参数值. 【详解】由和可得，所以椭圆方程为， 因直线的斜率为，可得其方程为， 又因为直线，将其与联立消去，可得， 由解得， 由韦达定理得，所以， 因为，所以四边形为梯形，而直线的方程即， 则梯形的高也即点到直线的距离为， 故梯形的面积为， 由图知面积最大值不在时（此时在上方）取得，故只需考虑， 令，则，则，则， 再令，则，， 故， 故当时，取得最大值为. 此时，所以，故当四边形面积取最大值时，此时的值为. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数．则下列结论正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 在区间上单调递减 C. 把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象． D. 若函数的图象关于轴对称，则正数的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】应用两角和正弦公式结合二倍角公式和辅助角公式化简得出解析式判断A，应用正弦函数单调性判断B，应用平移变换判断C，由对称性得出即可判断D. 【详解】因为 所以的最大值为，故A错误； 若，则， 所以得在区间上单调递减，故B正确； 将的图象上所有点向右平移个单位长度， 得到的图象，故C错误； 若的图象关于轴对称， 则， 所以，所以的最小正值为，故D正确. 10. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点P为C右支上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C与双曲线有相同的渐近线 B. 若，则的周长为 C. 若，则的面积为2 D. 若M为圆上一点，则的最大值为7 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出两条双曲线的渐近线后可判断A的正误，根据双曲线的定义可求的周长，从而可判断B的正误，根据余弦定理和双曲线定义可求焦点三角形的面积，从而可判断C的正误，根据双曲线的定义结合圆的性质可求的最大值，从而可判断D的正误. 【详解】对于A：双曲线，，， 故渐近线方程为，即，双曲线，，， 故渐近线方程为，即，A正确； 对于B：由题意得，，， 由双曲线的定义得，，∵，∴，， 故的周长为，B正确； 对于C：P在右支上，设，则，， 因为，所以，解得（负值舍去）， 所以的面积为，故C错误； 对于D：圆的圆心E的坐标为，半径为1， 易知为双曲线的左焦点，故， 则， 当M为线段PE的延长线与圆的交点时等号成立， 所以的最大值为7，D正确． 故选：ABD. 11. 已知正四面体的外接球表面积为，则下列说法正确的是（　　） A. B. 正四面体的体积为 C. 正四面体的内切球体积为 D. 已知平面上任意一点满足，则平面截四面体所得的截面面积为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据外接球表面积求出正四面体的棱长，再利用正四面体的性质逐项分析. 【详解】设正四面体的棱长为，则其外接球半径（将正四面体补成一个正方体，正方体的外接球就是正四面体的外接球）为，故，解得. 选项A：正四面体中，对棱互相垂直，这是正四面体的固有特性，因此，A正确； 选项B：正四面体的体积为， B错误； 选项C：正四面体的内切球半径为，，C正确； 选项D：因为，即，则. 分别取的中点，，即， 故点所在的平面为线段的中垂面. 如图，取棱的中点，连接，则四边形即为平面截正四面体所得的截面图形， 易知截面图形为边长为1的正方形，故所求面积为1，D正确． 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用诱导公式和二倍角公式运算求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 已知直线（，），若直线被圆所截得的弦长为，则的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，结合已知得圆心在直线上，则，再应用基本不等式求的最大值. 【详解】因为圆的半径，圆心，直线被圆截得的弦长为， 所以圆心在直线上，即， 又因为，当且仅当时，等号成立． 所以得的最大值为． 故答案为： 14. 一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数，现随机将骰子抛掷3次，且各次抛掷结果相互独立，则三次抛掷出现向上的点数之积能被4整除的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】应用互斥事件概率和公式及独立重复事件概率公式计算求解. 【详解】记事件表示三次抛掷出的点数之积能被4整除， 则事件有两种情况：第一种是至少有一次掷出点数为4；第二种是没有掷出点数4，但点数2或6两者一共至少被掷出两次； 则. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 记为数列的前n项和，且为等差数列，为等比数列，． （1）求的值，并求的通项公式； （2）探究是否存在唯一的最大项； （3）证明：． 【答案】（1），； （2）不存在唯一的最大项； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用等差、等比中项的性质得、，联立求得或，讨论求数列的通项公式； （2）讨论的大小，得到，即可得结论； （3）法一：由（1）有，进而有，累加得，即可证；法二：应用错位相减法、等比数列前n项和公式求，即可证. 【小问1详解】 因为为等差数列，取前3项知2，，成等差数列，即， 因为为等比数列，取前3项知，，成等比数列，即． 代入，得，这等价于， 也即，所以或． 若，那么，所以，但不为等比数列，与题干不符， 所以，得，经检验得符合题意，故． 【小问2详解】 令，解得，令，解得， 当时，，． 所以，即最大项不唯一， 故不存在唯一的最大项． 【小问3详解】 法一：因为， 记，注意到， 所以， 于是， 因此． 法二：①． 两边同乘，得②． ①－②，整理得③． 两边同乘，得④． ③－④，整理得， 即． 16. 已知四边形为等腰梯形, ,为的中点（如图甲），以为折痕把折起，使点到达点的位置且平面平面（如图乙）． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平面平面，得到平面，进而得到，再结合，即可求证； （2）建系，求得直线的方向向量，和平面的法向量，代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 证明：因为四边形为等腰梯形，为的中点，则, 且，所以． 又因为， 所以，所以，所以． 因为，所以． 所以． 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面． 因为平面，所以． 又因为平面， 所以平面． 【小问2详解】 解：以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则：， ． 设平面的一个法向量为， 则：即取，则， 所以． 设直线与平面所成角为，则， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为． 17. 深圳是一个沿海城市，拥有大梅沙等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩.为了合理配置旅游资源，文旅部门对来大梅沙游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览海滨栈道，另外的人选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩.每位游客若选择只游览海滨栈道，则记1分；若选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，则记2分.假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率. （1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取个人，记这个人的合计得分恰为分的概率为，求； （3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由. 【答案】（1）分布列见解析， （2） （3）是， 【解析】 【分析】（1）根据题意得到变量的可能取值为，结合独立事件的概率乘法公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，求得期望. （2）由这人的合计得分为分，得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解. （3）记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，得到，结合数列的递推关系式，进而求得数列的通项公式，得到答案. 【小问1详解】 依题意，随机变量的可能取值为， 则，， 所以的分布列如下表所示： 2 3 4 数学期望为. 【小问2详解】 由这人的合计得分为分，得其中只有1人既游览海滨栈道又到海滨公园游玩， 于是，令数列的前项和为， 则， 于是， 两式相减得 ，因此， 所以. 【小问3详解】 在随机抽取的若干人的合计得分为分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为分或分， 记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，与是对立事件， 则，，，即， 由，得，则数列是首项为，公比为的等比数列， ，因此， 随着的无限增大，无限趋近于0，无限趋近于， 所以随着抽取人数的无限增加，趋近于常数. 【点睛】方法点睛：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解． 18. 已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）若一条斜率为的直线与抛物线相交于不同的两点为坐标原点， （ⅰ）当时，求以线段为直径的圆的面积； （ⅱ）若在抛物线上存在点（位于直线的左侧），使得以为顶点的满足，求重心的坐标． 【答案】（1）； （2）（i）;（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义，利用焦半径公式可求，进而可得抛物线的方程. （2）设直线：. （i）将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合，可确定的值，再利用弦长公式求，进而可得以为直径的圆的面积. （ii）先确定的形状，结合已知条件可确定点，，的坐标，再结合三角形重心的坐标公式可确定三角形重心坐标. 【小问1详解】 因为点在抛物线上，所以由焦半径公式得： 所以，所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为：，点 （i）联立得：，化简得：. 当，即时， 由韦达定理得：. 因为，所以， 所以，所以，符合条件. 由弦长公式得：. 所以以线段为直径的圆的面积. （ii）不妨设点在轴上方，如图： 因为， 所以由正弦定理得：三边长对应之比为， 结合余弦定理知：， . 又因为直线的斜率为，所以得到：轴，所以可得点. 所以直线的倾斜角为，即. 又因为， 所以，解得：. 所以，， ， 所以， 即的重心的坐标为. 19. 定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． （1）设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； （2）若为“整数等差函数”，求实数的最小值； （3）已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 【答案】（1）不是“整数等差函数”，是“整数等差函数” （2）答案见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设公差为，根据所给定义及导数的几何意义得到，即可判断； （2）设公差为，则且，由得到从而确定的最小值； （3）首先证明充分性，再说明必要性，设公差为，结合所给定义得到，令，结合推出为常值函数. 【小问1详解】 假设成等差数列，得， 设公差为，则， 对于：直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，恒成立， 取，，则成等差数列且均为整数，故是“整数等差函数”． 对于，直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意， 若，则， 令，，则恒成立，所以在上单调递减， 所以，即在上恒成立， 即恒成立，所以无解， 故不是“整数等差函数”． 【小问2详解】 因为为“整数等差函数”，所以成等差数列且均为整数， 设公差为，则，且， 直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，， 又的定义域为，有， 当时,,此时,无最小值； 当时,因为，， 所以 ， 则，可取使等号成立，故的最小值为; 综上，实数无最小值； 【小问3详解】 充分性，因为为常值函数，所以， 任意取等差数列 ，则直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 因为，所以为“等差函数”． 必要性，因为为“等差函数”，所以成等差数列， 设公差为，则， 直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 由题意，, ， 令， 则 ， 令， 则， 因为在上为增函数，所以，在上为增函数， 因为，所以，在上为增函数， 因为，所以在上恒成立， 又，由的单调性知， 故，， ，为常数， ， ， ， 接下来，一方面，因为，且在上为增函数， 所以在上为增函数，故，， 由，可得， 另一方面，因为， 所以，可得， 以此类推，在上恒成立，即为常值函数． 命题得证！ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $