精品解析：河南南阳市方城县第一高级中学2026届高三下学期4月高考模拟数学试题调研卷（一）

方城县第一高级中学2026届高三下学期4月高考模拟数学试题调研卷（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以. 2. 已知复数，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数模的计算公式计算即可. 【详解】因为， 所以. 3. 设样本数据的平均数，中位数，众数和标准差分别为.当取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，将整理成二次函数的形式，然后根据二次函数的性质来求得正确答案. 【详解】令， 是一个开口向上的关于的二次函数，故函数在对称轴处取得最小值， 即. 故选：A. 4. 有学员甲、乙、丙、丁、戊参加某培训，现要分配到三个不同的项目组：项目A需1人，项目B和C各需要2人.分配方案数为，甲和乙被分配到同一项目的概率为，则的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步计数原理和分类计数原理及古典概率计算公式计算即可求解. 【详解】第一步：先从5人中选1人分配到项目A， 第二步：从剩下4人中选2人分配到项目B， 第三步：从剩下2人中选2人分配到项目C， 所以分配方案数为； 其中甲、乙2人分在同一组，则甲乙只能分配到项目B或项目C， 第一种情况，甲、乙在项目B，则从剩下3人中选1人到项目A，剩下2人到项目C，有种方案； 第二种情况，甲、乙在项目C，则从剩下3人中选1人到项目A，剩下2人到项目B，有种方案； 所以甲、乙2人分在同一组共有种分配方案， 设事件“甲和乙被分配到同一项目组”， 所以，即. 故选：B． 5. 已知是角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，求得，结合，即可求解. 【详解】因为点是角终边上一点，可得， 则. 故选：A. 6. 在数列中，若，，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用累乘法求数列通项，注意验证是否满足通项，即可得. 【详解】由题设，，则，，， 当时，，，，，，， 所以，且， 显然均满足上式，所以. 故选：C 7. 设函数则方程的实数根的个数可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先对求导，利用导求出的单调区间和极值，画出的大致图象，然后令，则，可得方程有两个不相等的实根，设为，将问题转化为与，交点个数，利用图象求解即可. 【详解】的定义域为， 由，得， 由，得，由，得或， 所以在上递增，在和上递减， 所以的极大值为，极小值为， 当时，，则的大致图象如图所示， 令，则， 所以方程有两个不相等的实根，，， 所以由图可知，的图象与有2 个不同的交点，的图象与有1 个不同的交点， 所以原方程有3个不同的根. 故选：B 8. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解指数、对数不等式得到集合的范围，再计算即可. 【详解】因为，所以 ，又因为，所以 所以 故选：B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若，则下列与角的终边可能相同的角是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过正切函数值相等，分析判断对应角的终边是否相同. 【详解】对于A，，因此A正确； 对于B，，因此B不正确； 对于C，，因此C正确； 对于D，，因此D正确. 故选：ACD. 10. 为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如表数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 10 40 50 未使用药物 30 20 50 合计 40 60 100 从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的优势，在发生的条件下的优势，则（ ） A. 的估值为，的估值为 B. 的估值为，的估值为 C. 可化简为 D. 可化简为 【答案】AC 【解析】 【详解】由列联表可知，， 所以，，故A正确、B错误． 已知，，则， 由条件概率公式，所以 ，故C正确、D错误． 11. 函数，，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则函数在上单调递减 B. C. 方程可能无解 D. 若为奇函数，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题可根据复合函数的单调性、函数的奇偶性、方程的解等知识，对选项逐一进行分析. 【详解】选项A： 当 时， ，则 ， 令 ，对 变形可得 ， 对于函数 ，当 时，单调递增， 单调递减， 所以 在 上单调递减. 又因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递减，故A正确； 选项B： 已知 ，则 . . 令 ，则 ，故B 正确； 选项C： 方程 即 ，变形可得 ； 令 ，则. 再令，，则. 当 时， 单调递减；当 时， 单调递增； 所以在处取得最小值，即 恒成立，所以 在 上单调递增； 又因为当 时，；当时，， 所以对于任意的 ，方程 都有解，即方程 总有解，故C错误; 选项D： 若 为奇函数，则 ，即 ，所以 ； 由 ，则 ，化简得 ，所以 ， 又因为为奇函数，其定义域需关于原点对称，由 的解集关于原点对称可得 . 则 ，所以 ，故D正确. 综上，答案是ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知恰能被13整除，则的最大负整数取值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理展开，根据整除性即可确定. 【详解】因 ， 因是整数，恰能被13整除， 则，故的最大负整数取值为. 13. 已知平面向量，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由题设中数量积的坐标运算求出x的值，再直接根据向量模的计算公式计算即可． 【详解】， 则，解得， 所以，则． 14. 已知平面向量，，满足：，，，则___________，且的取值范围为___________. 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】第一空：直接根据模的计算公式即可求解；第二空，由向量之间的“三角不等式”即可求解. 【详解】第一空：因为，，， 所以， ； 第二空：对于两个向量，有， 进一步有， 所以， 注意到，， 从而，等号成立当且仅当反向， ，等号成立当且仅当同向， 所以的取值范围为. 故答案为：5；. 【点睛】关键点点睛：第一空的关键是在于利用整体思想结合，得到，其中，，由此即可顺利得解. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 重庆一中为培养学生综合能力，积极开展围棋选修课，甲、乙两位同学进行围棋对弈训练，已知甲赢下第一局的概率为，且每位同学在前一局已经获胜的条件下，继续赢下后一局的概率都为.如此重复进行，每局比赛都无平局. （1）求甲同学第2局获胜的概率； （2）记甲同学第局获胜的概率为（）. （i）求的表达式； （ii）若存在正整数，使成立，求整数的最小值.（参考数据，题中是自然对数的底数） 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件和对立事件的概率公式结合意求解即可； （2）（i）由题意得时，，从而可求出；（ii）由题意得，令，利用导数可判断在上递减，则问题转化为求的最大值，进而可求得答案. 【小问1详解】 由题意，甲前2局都赢的概率为， 甲输第1局且赢第2局的概率为， 所以甲第2局获胜的概率为. 【小问2详解】 （i）记事件：“在第局获胜的条件下，第局也获胜”，则， 事件：“在第局落败的条件下，第局获胜”，则， 由全概率公式可得，当时，，即，又， 所以是首项和公比都为的等比数列，所以，则. （ii）原条件等价于， 令，则， 易知在上单调递减且，所以时， 则在上单调递减，显然， 因此的最小值是在最大时取得，为奇数时，； 为偶数时，，此时单调递减，所以， 综上，的最大值为，所以. 因为在上单调递减，所以， 而，， 综上所述，所以满足的整数的最小值为. 16. 如图，在三棱锥中，底面是正三角形，中心为. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的正切值. 【答案】（1）延长交于点，则为的中点，连接 ，如下图所示： 因为 为正的中心，所以 ， 又因为，即 ，所以 ，故 ， 因为 平面 ， 平面 ，故 平面 . （2） 【解析】 【分析】（1）延长交于点，则为的中点，连接 ，证明出 ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）方法一：以为原点， 、 所在直线分别为、轴，建立空间直角坐标系，设点，根据，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，可得出点的坐标，再利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得平面 与平面夹角的正切值； 方法二：在平面 内作 ，垂足为点，过点在平面内作 ，垂足为点，连接 ，推导出 平面 ，可知平面 与平面夹角为 ，求出、 的长，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于 ，为的中点，故 . 又因为为等边三角形，所以， 因为 ， 、 平面 ，所以 平面 ， 方法一：因为 平面 ，且， 以为原点， 、 所在直线分别为、轴，建立空间直角坐标系， 则平面的一个法向量为. 易知、、，所以， 设点，则，解得，即点， 因此. 设平面 的一个法向量为，则， 取得，即平面 的一个法向量为， 设平面 与平面夹角为，则， 所以，所以， 故平面 与平面夹角的正切值为. 方法二：在平面 内作 ，垂足为点，过点在平面内作 ，垂足为点，连接 ， 因为 平面，平面，所以平面平面， 又平面平面， 平面， 所以 平面， 因为 平面，所以 ， 又因为 ， ，、 平面 ，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 ， 所以平面 与平面夹角为 ， 在 中，， ，则，故， 由余弦定理可得， 所以， 故，， 所以， 易知，故，所以 ， 所以，即平面 与平面夹角的正切值为. 17. 已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且． （1）求角； （2）若，的周长为，求的面积； （3）若，过点在所在平面内作，且，求线段的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据平行向量的坐标公式化简，再结合正弦定理即可求解； （2）根据条件及余弦定理求得，再结合三角形的面积公式即可求解； （3）先设，根据正弦定理分别求出，和关于的表达式，从而得到关于的表达式，进而根据正弦函数的性质即可求出其最大值． 【小问1详解】 由，，且， 则， 则由正弦定理得， 又在锐角中，， 则,即，解得． 【小问2详解】 由，的周长为，则， 又由余弦定理有， 即，得， 所以的面积为． 【小问3详解】 在中，，不妨设，则，， 由正弦定理有， 得，， 在锐角中，由，则， 由正弦定理有，得， 所以 ， 又，则，则，所以， 故，即线段的最大值为． 18. 已知点，均在椭圆上，点是椭圆上的动点，面积的最大值为. （1）求椭圆的方程； （2）过点作椭圆的切线，记椭圆的右焦点关于直线的对称点为，求动点的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质结合条件求出,即可得到椭圆方程； （2）设，依题推得直线为的垂直平分线,写出直线的方程并与椭圆方程联立，由计算化简得到，由，即可推出点的轨迹是圆，写出其轨迹方程即可. 【小问1详解】 由，均在椭圆上知， 故面积的最大值为. 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知椭圆的右焦点. 设，则由右焦点关于直线的对称点为可知直线为的垂直平分线. 当时，直线的方程为，此时，解得或3； 当时，直线的方程为， 联立，得， 即 因为直线与椭圆相切，故， 即，则， 即， ， 即， 因为， 所以，而，也满足该式， 故点的轨迹是圆，该圆的方程为，即. 19. 设定义在上的可导函数满足，且. （1）用表示，并求的单调区间； （2）若，记在点处的切线为，证明:除切点外，曲线在上的图象位于切线上方； （3）证明:当时，. 【答案】（1），函数的递减区间为，没有递增区间. （2）证明:在切线， 即， 令函数， 则，则， 由（1）可知，令， 则， 当时，，，∴且， ∴，即函数单调递增； ∴当时，，即，∴单调递减， 当时，，即，∴单调递增， ∴，即， ∴除切点外，曲线在上的图象位于切线上方； （3）证明:令函数，则， ，∵， ∴， 令，则， 当时，，，故，即函数单调递增， ∴， 即当时，， ∴，即， ∴. 【解析】 【分析】（1）由等式得，令并求的值，通过导数即可求得的值域，从而得到的范围，即可求得函数的单调区间. （2）写出切线方程，然后令，求导数，通过函数的导数，求得函数单调性，从而得到的单调区间，即可求得的值域，从而得证； （3）令，求导数，在令，通过导数得到在单调性，从而求得的值域，即可求得的值域，从而得到函数的值域，即可得证. 【小问1详解】 ∵，∴， 令函数， 则， 当时，，即，函数单调递增，∴， 当时，，即，函数单调递减，∴， ∴， ∴， 即函数的递减区间为，没有递增区间. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 方城县第一高级中学2026届高三下学期4月高考模拟数学试题调研卷（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 3. 设样本数据的平均数，中位数，众数和标准差分别为.当取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 4. 有学员甲、乙、丙、丁、戊参加某培训，现要分配到三个不同的项目组：项目A需1人，项目B和C各需要2人.分配方案数为，甲和乙被分配到同一项目的概率为，则的值分别为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 6. 在数列中，若，，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数则方程的实数根的个数可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若，则下列与角的终边可能相同的角是（ ） A. B. C. ， D. ， 10. 为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如表数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 10 40 50 未使用药物 30 20 50 合计 40 60 100 从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的优势，在发生的条件下的优势，则（ ） A. 的估值为，的估值为 B. 的估值为，的估值为 C. 可化简为 D. 可化简为 11. 函数，，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则函数在上单调递减 B. C. 方程可能无解 D. 若为奇函数，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知恰能被13整除，则的最大负整数取值为______. 13. 已知平面向量，，若，则________． 14. 已知平面向量，，满足：，，，则___________，且的取值范围为___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 重庆一中为培养学生综合能力，积极开展围棋选修课，甲、乙两位同学进行围棋对弈训练，已知甲赢下第一局的概率为，且每位同学在前一局已经获胜的条件下，继续赢下后一局的概率都为.如此重复进行，每局比赛都无平局. （1）求甲同学第2局获胜的概率； （2）记甲同学第局获胜的概率为（）. （i）求的表达式； （ii）若存在正整数，使成立，求整数的最小值.（参考数据，题中是自然对数的底数） 16. 如图，在三棱锥中，底面是正三角形，中心为. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的正切值. 17. 已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且． （1）求角； （2）若，的周长为，求的面积； （3）若，过点在所在平面内作，且，求线段的最大值． 18. 已知点，均在椭圆上，点是椭圆上的动点，面积的最大值为. （1）求椭圆的方程； （2）过点作椭圆的切线，记椭圆的右焦点关于直线的对称点为，求动点的轨迹方程. 19. 设定义在上的可导函数满足，且. （1）用表示，并求的单调区间； （2）若，记在点处的切线为，证明:除切点外，曲线在上的图象位于切线上方； （3）证明:当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $