4.5 课时1 垂线-【初中必刷题】2025-2026学年七年级下册数学同步课件(湘教版·新教材)

该初中数学课件聚焦“平面内的两条直线”中垂线的核心内容，涵盖定义、判定及与平行线的综合应用。课堂导入通过复习相交线、对顶角等旧知，结合具体例题引入垂直概念，搭建从角的和差关系到垂直判定的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于分层设计练习，基础题巩固定义与运算，提升题结合几何直观（如作辅助线）和推理意识（如分情况讨论），易错点警示垂直传递性误区。例如通过“两边垂直的角”一题培养分类讨论能力，助力学生发展逻辑思维和应用意识，也为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

数 学 七年级下册 XJ 1 2 3 第4章 平面内的两条直线 4 4.5 垂线 课时1 垂线 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 垂线的定义及运算 1.如图，直线，相交于点，，垂足为 .若 ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 【解析】因为，所以 .因为 ，所以 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 关键点拨 利用垂直得到直角，再根据角的和差关系即可求解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 2.两条直线相交所构成的四个角中： ①有一个角是直角； ②有一对对顶角相等； ③有一对邻补角相等； ④有三个角都相等. 以上4种条件中，能判定这两条直线互相垂直的条件有( ) C A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 【解析】两条直线相交构成四个角.①有一个角是直角，能判定这两条直线互相垂 直，正确；②有一对对顶角相等，不能判定两条直线互相垂直，错误；③有一组 邻补角相等，则这两个角都为 ，能判定两条直线互相垂直，正确；④有三个 角都相等，则每个角都等于 ，能判定两条直线互相垂直，正确.所以能判定这 两条直线互相垂直的有①③④，共有3种，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3.【2025湖南益阳期末】如图，直线，相交于点，于点 ， ，则的度数为____ . 50 【解析】因为，所以 .因为 ，所以 ，故答案为50. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 4.【2025湖南株洲期末】如图，已知直线，相交于点 ， ，点为垂足，平分 . （1）若 ，求 的度数； 【解】因为平分， ， 所以 . 因为，所以 ， 所以 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 （2）若，求 的度数. 【解】因为 ， 所以设, . 因为平分，所以，所以 . 因为，所以 ， 所以 , 所以 ，故的度数为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 知识点2 垂线与平行线 （第5题图） 5.如图所示，，图中与直线 垂直的直线是( ) D A.直线 B.直线 C.直线， D.直线，， 【解析】因为，，所以.因为， ，所以 与直线垂直的直线是直线，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 6.【2025湖南长沙期末】如图，点，在线段上，点在线段 上，连接 ，，，，.若 ，则 的度数为____. （第6题图） 【解析】因为，所以 .因为 ，所以 ，所以 .故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 7.【2024湖南株洲质检】如图，已知，， .试说 明： . 【解】因为，所以，所以.又因为 ，所以 ，所以.因为，所以 .因为 ，所以 ，所以 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 刷易错 易错点 混用传递性导致错误 8.在同一平面内有三条直线，，，如果，，那么直线与 的位置关 系是______. 平行 【解析】画图即可得直线与 的位置关系是平行. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 易错警示 本题易误填垂直，错在想当然认为垂直具有传递性. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 提升 1.［中］如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使 ，，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 【解析】如图,过点作，所以 .因为 ，所以，所以 ,所以 ，所以 .因为,所以 .因为 ，所以的度数为 .故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 2.【2024湖南永州调研，中】在同一平面内，有2 008条直线：，， ， ，如果，，， ，那么与 的位置关系是 ( ) A A.垂直 B.平行 C.相交但不垂直 D.以上都不对 【解析】根据垂线及平行线的性质可知,，，, ,观察可得规 律：当为奇数时与平行；当为偶数时与垂直，所以 .故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 3.【2025湖南长沙期中，中】如图，一张长方形纸片剪去两个角， 测得， ，则 ____. 【解析】过作，交于，如图.因为四边形 是 长方形，所以，所以 ，所以 ， .因为 ， 所以 .因为 ，所以 .因为 ，所以 ，所以 ， 故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 4.［中］已知在同一平面内，一个角的度数是 ，另一个角的两边分别与它的 两边垂直，则另一个角的度数是___________. 或 【解析】因为同一平面内的两个角的两边互相垂直 （如图所示），所以这两个角互补或相等.因为其中一个角的 度数为 ，所以另一个角的度数为 或 ，故答案为 或 . 思路分析 画图分析可知，同一平面内的两个角的两边互相垂直，则这两个角互补或相等， 再根据其中一个角为 ，即可求得另一个角的度数. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 5.［较难］已知和互为邻补角，且，平分 ， 射线在内部，且 ， ， ， 则 ___________. 或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 【解析】分两种情况进行讨论： ①如图（1）所示，在 上方. 因为平分，所以 . 因为 ， ，所以 ， 即.设 ，则 ， . 因为为平角，所以 ，即 ，解得 ，所以 .又因为 ， 所以 ，所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 图（1） 图（2） ②如图（2）所示，在下方.同理可得， .又因为 ，所 以 ，所以 . 综上所述，的度数为 或 . 故答案为 或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 易错警示 本题由于题目没有给出图形，所以注意分类讨论，不要漏解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 6.【2025湖南长沙质检，中】直线，相交于点，过点作 . 图（1） 图（2） （1）如图（1），若，求 的度数. 【解】因为，所以 ，即 . 因为，所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 （2）如图（2），作射线，使，则是 的平分线.请说明理由. 【解】因为,所以 ， 即 . 因为，所以 . 又因为，所以，即是 的平分线. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 （3）在图（1）上作，写出与 的数量关系，并说明理由. 【解】如图（1）， .理由如下： 因为，所以 ， 即 . 因为 . 所以 ，即 . 因为，所以 . 因为 ，所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 图（1） 图（2） 如图（2）， .理由如下： 因为，所以，所以 . 因为，所以，所以 ， 所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 刷素养 走向重高 7.核心素养 几何直观 【2024湖南邵阳质检，较难】如图，直线， 相交于点 ，平分 . 【基础尝试】 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 （1）如图（1），若 ，求 的度数. 【解】因为 ， ，所以 .因为平分，所以 . 因为 ，所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 【画图探究】 （2）作射线，设 ，请你在图（2）中画出图形，并求出 的度数（结果用含 的代数式表示）. 【解】当在 内部时，如图（1）所示. 因为 ， ，所以 .因为 平 分，所以 .因为，所以 ， 所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 当在 内部时，如图（2）所示. 因为 ， ，所以 .因为 平 分，所以 .因为，所以 ， 所以 . 综上所述, 或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 易错警示 分两种情况讨论：当在内部时；当在 内部时，注意不要漏解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，可能和 互补吗？请你作出判断并说明理由. 【解】可能和 互补. 理由如下：如图（3），当，且与 重合时， .因为平分 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 ，即 和 互补. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 $