13.3 数据的离散程度 课件 2025-2026学年青岛版八年级数学下册

第13章 数据的分析 13.3 数据的离散程度 第13章 数据的分析 13.3 数据的离散程度 课时1 离散程度 1、能通过实例知道描述一组数据的分布时，除关心它的集中趋势外，还需分析数据的波动大小. 2、能了解数据离散程度的意义. 3、能结合统计图能感知并比较数据的波动大小. 学习目标 某互联网公司为了激活数量可观的“沉默用户”，将这些用户随机分成人数相等的两组，分别实施激活方案A和方案B.记录两组用户中每天被成功激活的数量，得到如图所示的各种统计图表.如何比较这两种方案的实施效果呢？ 新课导入 4 两组数据的离散程度不同时,应该用什么统计量来比较它们的离散程度呢？ 新课导入 章引言中关于“激活沉默用户”的问题,两个方案实施7天的激活人数情况如下表所示: 哪个方案的效果好呢？ 两个方案这7天激活人数的平均数都是1 046.A方案激活人数的中位数为1025,B方案激活人数的中位数为1022,二者相差不大. 观察与发现： 新课讲授 画出两个方案的折线统计图.参照平均数可以看出,A方案的数据更集中,B方案的数据差异较大,波动也较大.相比之下,A方案的数据更稳定,效果更好. 新课讲授 阅读教材“观察与发现”，思考： 1.研究一组数据的波动程度有什么实际意义? 一组数据波动程度的大小,反映了这组数据差异的大小,说明这组数据是比较分散还是比较集中. 新课讲授 8 2.如何衡量一组数据的波动程度？结合折线统计图说明. 在折线统计图中,以这组数据的平均数所表示的直线为参照,若表示这组数据的各个点分布在直线附近,说明这组数据比较集中,否则就说明这组数据比较分散. 新课讲授 一组数据的差异程度叫作这组数据的离散程度. 在统计中，通常需要综合分析一组数据的集中趋势和离散程度，数据的离散程度一般用这组数据偏离其平均数的程度来衡量. 一组数据偏离其集中趋势(如平均数)的波动情况，波动越小，离散程度越小；波动越大，离散程度越大. 归纳 10 例 下表为某中学田径队的甲、乙两名运动员最近8次百米跑的成绩： (1)在这8次训练中，甲、乙两名运动员百米跑成绩的平均数、中位数、众数分别是多少？ (2)分别在两个平面直角坐标系中，以次序为横坐标，成绩为纵坐标，描出各点，并判断哪位运动员成绩更稳定. 典例精析 11 解：(1)甲、乙两名运动员的百米跑成绩的平均数都是12.5，中位数都是12.45，众数都是12.2. (2)作图分别描出甲、乙两名运动员最近8次百米跑成绩，如下图. 作出表示12.5的水平直线，由各点相对于平均数的偏离程度可以判断，乙的成绩更稳定. 典例精析 12 1.两组同学的跳绳成绩(单位：次/分钟)如下： 第一组：118，120，122，119，121； 第二组：100，110，120，130，140. 请判断哪组同学的跳绳成绩更稳定，并说明理由. 平均数均为120，观察数据可知第一组同学的跳绳成绩更稳定. 当堂检测 13 2.某面包店从甲、乙两位师傅制作的面包中各随机抽取了5包，分别测得它们的质量(单位：g)如下： 甲师傅：495，500，505，498，502； 乙师傅：480，500，520，490，510. 在平面直角坐标系内描点表示甲、乙两位师傅制作面包的质量.由图可以看出，哪位师傅制作的面包质量更稳定？ 当堂检测 14 甲师傅制作的面包质量更稳定. 当堂检测 15 甲师傅值 Y 值 1 2 3 4 5 495 500 505 498 502 次序题 面包质量/g 乙师傅 Y 值 1 2 3 4 5 480 500 520 490 510 次序 面包质量/g 1.核心概念：一组数据的差异程度叫作这组数据的离散程度. 2.判断方法：直接观察数据,绘制折线统计图或散点图. 3.学习了本节课，你有何感想？请畅所欲言. 课堂小结 16 第13章 数据的分析 13.3 数据的离散程度 课时2 离差和方差 1.了解离差平方和、方差的概念. 2.会计算一组简单数据的离差平方和、方差，知道离差平方和、方差都能刻画这组数据的离散程度. 学习目标 关于“激活沉默用户”的问题中两个方案分别实施7天的激活人数情况如下表： A，B两个方案的平均激活人数都是1 046，但是它们的离散程度不同，应该用什么统计量来比较它们的离散程度呢？ 新课导入 19 任务一：认识离差——量化波动的基础 请阅读教材“观察与发现”. 问题1：什么是离差？ 问题2：离差可能是什么数？ 在一组数据中，一个数据与这组数据的平均数的差叫作这个数据的离差. 离差可能是正数、负数或0. 新课讲授 20 问题3：离差的符号及其绝对值有什么有意义？ 离差的符号及其绝对值分别反映了该数据偏离平均数的方向与大小.离差符号为正表示该数据大于平均数，离差符号为负表示该数据小于平均数. 新课讲授 21 请计算“激活沉默用户”问题中 A，B两个方案相应的两组数据的离差. 离差分别为: A组 27 44 54 -21 -25 -21 -58 B组 -24 -136 234 -126 246 -24 -170 问题4：把离差相加得到的和能表示一组数据的离散程度吗？ A 组、B组数据的离差和均为0，不能表示一组数据的离散程度. 新课讲授 22 任务二：优化方法——推导方差公式 (1)为了解决离差符号对和(即离差正负抵消)的影响，可以采取什么方法呢？ 取离差的绝对值. 具有局限性，绝对值运算在计算器运算中容易出错. 新课讲授 23 (2)还有什么方法能避免离差正负抵消且运算方便？ 计算离差的平方和： A 组：272+442+542+(-21)2+(-25)2+(-21)2+(-58)2=10 452； B组：(-24)2+(-136)2+2342+(-126)2+2462+(-24)2+(-170)2=179 696. 新课讲授 24 (3)若两组数据个数不同，直接对比平方和合理吗？怎样优化？ 求离差的平方的平均数： A 组：=； B组：=. 新课讲授 25 (4)定义离差平方和与方差. 设n个数据x1，x2，…，xn 的平均数为，各个数据离差的平方和叫作这组数据的离差平方和，即 (x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2. 各数据离差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记作s2，即 s2 =[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]. 新课讲授 26 (5)验证意义. A 组、B组数据的方差分别是=，= ，由< 可知，A方案7天的激活人数与B方案相比，波动较小，更加稳定，这与前面直观判断的结果是一致的. 新课讲授 27 离差平方和、方差都是刻画一组数据的离散程度的统计量. 当一组数据的离差平方和较大时，方差也较大；当一组数据的离差平方和较小时，方差也较小.反过来也成立. 方差刻画了一组数据偏离平均数的程度，克服了数据量的影响，所以通常用于比较多组数据的离散程度.(方差越小，数据波动越小，越稳定.) 归纳 28 任务三：知识迁移与运用 例 甲、乙两名篮球运动员本赛季出场次数分别为10次和9次，得分情况为： 甲 12 15 28 15 26 19 11 10 8 6 乙 14 16 13 15 19 13 17 13 15 依照这些数据，如何评价这两名运动员本赛季的得分能力？ 典例精析 29 解：甲==15， 乙 ==15. 两名运动员在这个赛季的平均得分相同，说明他们的得分能力相当. =×[(12-15)2+(15-15)2+(28-15)2+(15-15)2+(26-15)2+(19-15)2+ (11-15)2+(10-15)2+(8-15)2+(6-15)2]=48.6， 典例精析 30 =×[(14-15)2+(16-15)2+(13-15)2+(15-15)2+(19-15)2+(13-15)2+ (17-15)2+(13-15)2+(15-15)2]≈3.78， 由> 可知，甲运动员在这个赛季的得分波动较大，乙运动员在这个赛季的得分更稳定. 典例精析 31 1.求下列两组数据的方差： 甲组：4，5，6，7，8； 乙组：2，4，6，8，10. 甲组数据的方差为2，乙组数据的方差为8. 当堂检测 32 2.某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每天投篮10次，现对甲、乙两名队员在五天中进球数(单位：个)进行统计，结果如下表： (1)求甲进球的中位数； (2)经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2.如果综合考虑平均数和进球稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁? 当堂检测 33 (1)将10，6，10，6，8按从小到大的顺序排列，可得6，6，8，10，10，所以甲进球的中位数为8. (2)乙进球的平均数=8， 乙进球的方差为×[(7-8)2+(9-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(9-8)2]=0.8. 因为两人进球的平均数相同，=3.2，=0.8，所以> ， 所以乙的进球更稳定，所以应选乙去参加定点投篮比赛. 当堂检测 34 1.什么是离差？有何意义？ 2.什么是方差？有何意义？ 3.学习了本节课，你有何感想？请畅所欲言. 课堂小结 35 第13章 数据的分析 13.3 数据的离散程度 课时3 组内离差平方和 1.了解组内离差平方和的概念. 2.会利用计算器和电子表格计算数据的组内离差平方和的方法. 学习目标 某班要定制校服，需要统计同学们的身高尺码，一组学生的身高尺码(单位：cm)如下： 155，160，160，165，165，160，170，165，160，165. 负责采购的老师该选择哪种尺码的校服作为主要采购款呢？ 问题1：观察数据，哪种尺码出现的次数最多？ 问题2：选择出现次数最多的尺码有什么好处？ 160 cm出现4次，165 cm出现4次，其他尺码出现次数较少. 能满足大多数同学的需求. 新课导入 38 任务一：探究组内离差平方和 问题1：如何直观看出7位客服人员一天接待用户人数这组数据的波动程度？ 新课讲授 39 问题2：将这7位客服人员分为两组，使得每组的客服人员接待的用户人数尽量接近.你建议怎么分组？ 将接待用户人数较多的客服作为一组，接待用户人数较少的作为另一组. 两种情况： 编号为1，2，3的客服在一组，编号为4，5，6，7的客服在另一组. 编号为1，2，3，4的客服在一组，编号为5，6，7的客服在另一组. 新课讲授 40 问题3：把7位客服人员接待的用户人数从小到大排列后，依次分为两组，有多少种可能的分组情况？ 计算两组数据各自的离差平方和. 6种情况. 问题4：如何判断所分成的两组的组内数据接近呢？ 新课讲授 41 全班同学分为6组，分别计算6种分组方式下两个组的离差平方和之和(精确到0.1). 把7位客服接待的用户人数从小到大排列，得到： 143，148，157，165，178，192，204. 计算每种分组方式下两个组的离差平方和之和，计算结果如表： 新课讲授 42 新课讲授 43 将按从小到大顺序排列的n个数据x1，x2，…，xn 分为两组，x1，x2，…，xm 为第一组，xm+1，xm+2，…，xn 为第二组，两组数据的离差平方和之和叫作这n个数据的组内离差平方和，记作，即=[(x1- 1)2+(x2-1)2+…+(xm-1)2]+[(xm+1- 2)2+(xm+2-2)2+…+(xn-2)2]，其中，1=，2=. 归纳 44 归纳组内离差平方和的计算步骤. ①计算每组平均数； ②求每组离差平方和； ③相加. 归纳 45 任务二：知识迁移与运用 例 下表是某市2022年每个月的平均气温.按照使组内离差平方和最小的方法，将数据分为两组. 典例精析 46 解：将每个月的平均气温按照从小到大的顺序排列，如下表： 借助计算器或电子表格软件分别计算各种分组情况下的组内离差平方和，列表如下： 典例精析 47 典例精析 48 按照使组内离差平方和最小的方法，将这些数据分为两组有两种方案. 方案一：1月，2月，12月，11月，3月为一组；4月，10月，5月，9月，8月，7月，6月为一组. 方案二：1月，2月，12月，11月，3月，4月，10月为一组；5月，9月，8月，7月，6月为一组. 典例精析 49 1.下表给出了21名运动员的百米比赛成绩由高到低的分组方案以及组内离差平方和，结合表格给出最合理的分配方案是 （ ） A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.方案4 C 当堂检测 50 2. 下面是8名同学在射击游戏中的平均成绩(单位：环)： 9.5，9.8，10.0，10.3，9.3，9.4，10.7，10.2. 将这些平均成绩分成两组： 第一组：9.3，9.4，9.5，9.8； 第二组：10.0，10.2，10.3，10.7. 试计算上述分组情况下的组内离差平方和. 当堂检测 51 设第一组的平均数为x1，第二组的平均数为x2，组内离差平方和为， 则1=×(9.3+9.4+9.5+9.8)=9.5， 2=×(10.0+10.2+10.3+10.7)=10.3， 所以=(9.3-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.5-9.5)2+(9.8-9.5)2+(10.0-10.3)2+ (10.2-10.3)2+(10.3-10.3)2+(10.7-10.3)2=0.40. 当堂检测 52 1.什么是组内离差平方和？有何意义？ 2.怎样计算组内离差平方和？ 3.学习了本节课，你有何感想？请畅所欲言. 课堂小结 53 $