18.3 正方形-【初中必刷题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(华东师大版·新教材)

该初中数学课件聚焦八年级下册“18.3 正方形”，系统覆盖定义、性质、判定及几何应用，通过“刷基础”到“刷提升”的梯度设计，衔接矩形、菱形知识，以例题解析和关键点拨为支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于分层练习与核心素养融合，通过构造辅助线、全等证明（如将军饮马模型）培养几何直观和推理能力，动态问题（直角顶点移动）激发创新意识。“刷有所得”总结规律，助力学生发展空间观念，教师可借助系统题目及解析提升教学效率。

数 学 八年级下册 HS 1 2 3 第18章 矩形、菱形与正方形 4 18.3 正方形 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 正方形的定义及基本性质 1.【2024浙江杭州模拟】正方形具有而矩形不一定具有的性质是( ) D A.对角线互相平分 B.对角相等 C.对边平行且相等 D.对角线互相垂直 【解析】正方形和矩形的对角线都互相平分，故A选项不符合题意；正方形和矩形 的对角都相等，故B选项不符合题意；正方形和矩形的对边都平行且相等，故C选 项不符合题意；正方形对角线互相垂直，但矩形的对角线不一定互相垂直，故D选 项符合题意.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 （第2题图） 2.如图，在正方形的外侧，作等边,， 相交于点 ，则 的度数为( ) A A. B. C. D. 【解析】在正方形中， ，， ，在等边 中， ，， ， ， .又 ， ，故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 （第3题图） 3.【2025天津滨海新区期中】如图，延长正方形边 至 点，使，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】连结，如图. 四边形是正方形， ， 且 .又， ， ， ．故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 （第4题图） 4.【2024河南郑州模拟】如图，正方形的边长为4，点 为对 角线上任意一点，为上一点，且，则 的最小 值为___. 5 【解析】连结，交于点，连结，如图. 四边形 为正 方形，，关于对称， ， ， ，的最小值为的长. 正方 形的边长为4，，， ， ， 的最小值为5.故答案为5. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 关键点拨 由正方形的性质得到，关于对称，进而得到 是解题的关键. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 5.如图，正方形的边长为4，若是正方形的中心，直角绕点 旋转，则 与正方形的边围成的四边形的面积是___. 4 （第5题图） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 【解析】如图,连结,,设,与正方形 的边的交点分 别为, 为正方形的中心， ， ， 为正方形的中心， ， .在 和中， ， ，即 .故答 案为4. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 关键点拨 与正方形的边围成的四边形的面积恒等于正方形面积的 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识点2 正方形的判定 6.已知四边形是平行四边形，再从; ; ;四个条件中，选两个作为补充条件，使得四边形 是 正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( ) B A.①② B.②③ C.①③ D.②④ 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 【解析】A选项，由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是 直角的菱形是正方形，所以平行四边形 是正方形，正确，故本选项不符合题 意；B选项，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平 行四边形是矩形，不能得出平行四边形 是正方形，错误，故本选项符合题意； C选项，由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的菱形是 正方形，所以平行四边形 是正方形，正确，故本选项不符合题意；D选项， 由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的矩形是正 方形，所以平行四边形 是正方形，正确，故本选项不符合题意.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 （第7题图） 7. 开放性试题 【2025黑龙江佳木斯一模】如图，在四边形 中， ，与互相平分，且相交于点 ．要使 得四边形 是正方形，则还需增加一个条件是_______________ _______________． （答案不唯一） 【解析】与互相平分， 四边形 是平行四边形. ， 四边形是矩形.当 时，四边形 是正方形.故答案为 （答案不唯一）. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 （第8题图） 8.【2025河南平顶山期中】如图，菱形的对角线 ， 相交于点，点，同时从点出发在线段上以 的速度反向运动（点，分别到达， 两点时停止运动）， 设运动时间为．连结，，，，已知 是边 长为的等边三角形，当___时，四边形 为正方形. 3 【解析】由题意得，. 菱形的对角线 ， 相交于点，，， 四边形是菱形， 当 时， 四边形是正方形.是边长为的等边三角形， ， ，解得， 当时，四边形 是正方形，故答案为3. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 9.【2024山西太原模拟】如图，已知四边形和四边形 均是正方形，点在上，延长到点，使 ，连 结，，， .求证： （1） ； 【证明】 四边形是正方形， ， ， ， .在 和中， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 （2）四边形 是正方形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 【解】 四边形和四边形均为正方形，， ， ，, , ，,, . 同理，可得，， 四边形 是菱形. ，， ， 四边形 是正方形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 提升 （第1题图） 1.【2025重庆万州区期末，中】如图，在平面直角坐标系中，将 直角三角形的直角顶点固定在点 处，转动直角三角形， 若两条直角边分别与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点 ， 则 的值为( ) D A.8 B.10 C.16 D.20 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 【解析】如图，作轴于， 轴于 ， 四边形 为矩形， ， ， ， 矩形 为正方形， 关键点拨 作轴于，轴于 ，构造全等三角形，从而得到相等的边是本题解 题关键. .在和 中， ， ， ．故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 （第2题图） 2.【2025江苏镇江质检，中】如图，在正方形中，点是 上一点，过点作交于点，连结， ，若 ，则 的度数是( ) C A. B. C. D. 【解析】过点作于，于，如图. 四边形 是 正方形， , ， ， 四边形是矩形， ， ， .在 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 和中， ， ， ， ， . 在和中， ， ，， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 （第3题图） 3.［中］如图，在边长为4的正方形中，点，分别是边 , 上的动点,且，连结,，则 的最小值为 ( ) C A. B. C. D. 【解析】连结，如图（1）. 四边形是正方形， ， .又，, , 的最小值等于的最小值.作点关于的对称点 ，如图（2）， 连结，与的交点即为所求的点,连结.根据对称性可知 ， ，.在 中， ,的最小值为 . 故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 思路分析 先通过证明得出，然后将问题转化为求动点 到两个定点 , 距离之和的最小值（将军饮马模型），再利用对称和两点之间线段最短得到结果. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 4.【2025北京海淀区质检，中】如图，点为正方形内一点， ， 将绕点按顺时针方向旋转 得到．延长交于点 ，连结 ．下列结论：；②四边形是正方形；③若 ，则 ，其中正确的结论是________.（填序号） ①②③ （第4题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 【解析】设交于，如图（1）. 四边形 是正方形， ， 将绕点 按顺时针方向旋转 得到，， ， ，，故①正确. 将绕点 按顺时针方向旋转 得到， ，， .又 ， 四边形是矩形.又， 四边 形是正方形，故②正确.如图（2），过点作于 ， ，， 四边形 是正方形， ， ， ， .又 ，， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 将绕点按顺时针方向旋转 得到 ， 四边形是正方形，，， ，故 ③正确. 正确的结论是①②③. 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 5.【2024江苏盐城质检，较难】如图，在中， ， ，，，两锐角的平分线交于点，点， 分别 在边，上，且 ，连结，则 的周长为___. 4 【解析】如图，过点作于，于，于 ， 则 .在上取一点，使得 ，连 结平分，平分，， 四边形 是正方 形，， .在 和 中， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 ，， ， ， .在 和中， ， ， 的周长为 , ，， ， 的周长为4. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 关键点拨 本题需要作辅助线构造出正方形，再通过证明三角形全等求解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 6.【2024吉林长春期末，难】在中， ，以斜边 为边向上 作正方形，若正方形的对角线交于点 （如图（1））. 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 （1）求证：平分 . 【证明】如图，延长至点，使,连结 . 四边形是正方形， , , , ， ， ， . 又 , ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 ， , . , ， ， 是等腰直角三角形， ， ,即平分 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 （2）如图（2）,过点作交延长线于，过点作,分别交 延长线和延长线于，.求证：四边形 为正方形. 【解】 四边形 是正方形， ， . ， ， ， ， ， . 在与中， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 38 . 同理可得，， ， , , ，即 . 又 ， 四边形 为正方形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 刷素养 7.核心素养 几何直观 【2025四川成都期末，较难】如图，正方形中， 是对角线，现有一个直角，一边始终经过点，直角顶点在射线 上移动，另一 边交射线于 . 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 40 （1）如图（1），当点在边上时，猜想并写出与 所满足的数量关系，并 加以证明； 图（1） 【解】.证明：如图（1），过作， ，垂足分 别为，为正方形对角线上的点，平分 ， ，， 四边形 为正方形， ， ， . 在和中， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 41 思路分析 过作，，证明 即可； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 42 （2）如图（2），当点落在的延长线上时，猜想并写出与 满足的数量关 系，并证明你的猜想. 图（2） 【解】.证明：如图（2），过作，交 的 延长线于点，于点为正方形对角线 的延长 线上的点，所在的直线平分，平分 ， , ， 四边形为正方形. ， 思路分析 证明思路同（1），只要证明 即可. ，.在和 中，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 43 微专题4 中点四边形 1.判断形状 【2025陕西西安期末，中】如图，点，，， 分别为四边形 四条边的中点，连结，，，，得到四边形，连结 , ．下列说法： （第1题图） ①四边形 是平行四边形； ②当四边形为平行四边形时，四边形 是菱形； ③当四边形为矩形时，四边形 是菱形； ④当时，四边形 是矩形； ⑤若四边形是正方形，则四边形 一定是正方 形．其中正确的是( ) A A.①③④ B.①②⑤ C.①③④⑤ D.②④⑤ 刷提升 返回目录 1 2 1 2 44 【解析】，分别为，的中点，，同理， ， ，，，， 四边形 是平行四边形， 故①正确.当四边形是矩形时，则，， 四边形 是 菱形，当四边形是平行四边形时，不能证得四边形 是菱形，故②错误， ③正确.当时，，，分别为，，的中点， ， ，， 四边形是矩形，故④正确. ， ，四边形是正方形，， ， ，，不能说明四边形 是正方形，故⑤错误.故选A. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 45 刷有所得 中点四边形的一般结论：任意四边形的中点四边形都是平行四边形. 若原四边形的对角线相等，则中点四边形是菱形；若原四边形的对角线垂直，则 中点四边形是矩形；若原四边形的对角线既相等又垂直，则中点四边形是正方形. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 46 （第2题图） 2.面积规律问题 【2025广东广州期中，中】如图，已知菱 形的边长为2， ，进行如下操作：第一次， 顺次连结菱形各边的中点，得到四边形 ；第 二次，顺次连结四边形 各边的中点，得到四边形 ；…,如此反复操作下去，则第 次操作后，得到 四边形 的面积是_ ____. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 47 【解析】连结，，，，易知,,, 交于一点，令该点 为点 四边形为菱形，，， ， ， ， 为等边三角形， ，，， ， . 第一次，顺次连结菱形 各边 的中点，得到四边形，， ， ，,，, 四边形 为平行四边 刷提升 返回目录 1 2 1 2 48 形.， ， ， ， 四边形为矩形， ， . 第二次， 顺次连结四边形各边的中点，得到四边形 ， ， ， ， 四边形 为菱形， .故第 次操作 后可得， ． 刷提升 返回目录 1 2 1 2 $