18.3 第2课时 正方形的判定-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步课件（华东师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦正方形的判定，通过“剪正方形检验”情境讨论导入，关联矩形、菱形判定方法，搭建新旧知识支架，帮助学生构建四边形间转化关系的知识脉络。 其亮点在于以情境驱动和分类推理培养数学眼光与思维，如通过小明等不同检验方法引发探究，例题从四边形、平行四边形等多路径证明正方形，总结判定方法体系。学生能提升逻辑推理与几何直观，教师可借助清晰结构高效实施教学。

学练优九年级英语（RJ） 教学课件 18.3 正方形 第18章 矩形、菱形与正方形 第2课时 正方形的判定 一个角是直角 有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做正方形 正方形 平行四边形 正方形的 两条对角线互相垂直平分且相等 正方形的四条边都相等 正方形的四个角都是直角 边 对角线 角 正方形的定义: 正方形的性质 一组邻边相等 新知导入 平行四边形、矩形、菱形的判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 讨论 老师给学生一个任务：从一张彩色纸中剪出一个正方 形. 小明剪完后，这样检验它：比较边的长度，发现四条 边是相等的，于是就判定自己完成了这个任务.这种检验 可 信吗？ 小兵用另一种方法检验：他量的不是边，而是对角线， 发现对角线是相等的，于是就认为自己正确地剪出了正方 形. 这种检验对吗？ 新知讲解 小英剪完后，比较了由对角线相互分成的4条线 段， 发现它们是相等的.按照小英的意见，这说明剪 出的四边形是正方形. 你的意见怎样？ 你认为应该如何检验，才能又快又准确呢？ 1.判定方法： (1)从四边形出发：①有四条边相等，四个角都是直角的 四边形是正方形；②对角线互相平分、垂直且相等的 四边形是正方形； (2)从平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个角 是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且 相等的平行四边形是正方形； (3)从矩形出发：①有一组邻边相等的矩形是正方形； ②对角线互相垂直的矩形是正方形； (4)从菱形出发：①有一个角是直角的菱形是正方形； ②对角线相等的菱形是正方形． 2.四边形间的关系： (1)四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的 包含关系如图. (2)四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的 转化关系如图： 7 7 7 7 下列三个图形都是正方形,你同意吗? 5 5 5 5 5 5 5 5 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 既是菱形又是矩形的四边形 是正方形。 两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 × × × ① 对角线相等的菱形是正方形 ② 对角线互相垂直的矩形是正方形. ③ 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形. ④ 四条边都相等的四边形是正方形. ⑤ 四个角都相等的四边形是正方形. ⑥ 四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形. （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 判断对错： 例1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F. 求证：四边形CFDE是正方形． 要证四边形CFDE是正方 形，首先要确定这个正方 形建立在哪种四边形的基 础上，即先证它是什么四 边形；再证这种四边形是 正方形需要补充的条件． 分析： 证法一：∵DE⊥BC，AC⊥BC，∴DE∥CF. 同理DF∥CE， ∴四边形CFDE是平行四边形． ∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∴ CFDE是菱形． ∵∠ACB＝90°，∴菱形CFDE是正方形． 证法二：∵∠ECF＝∠CFD＝∠CED＝90°， ∴四边形CFDE是矩形． ∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∴矩形CFDE是正方形． 证明条件中不含对角线的四边形是正方形的四种方法： 方法1：证：“四边形＋四边相等＋四个直角”； 方法2：证：“平行四边形＋一组邻边相等＋一个直角”； 方法3：证：“矩形＋一组邻边相等”； 方法4：证：“菱形＋一个直角”． 归纳总结 例2 如图，已知在 ABCD中，对角线AC，BD交于点 O，E是BD的延长线上的点，且EA＝EC. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若∠DAC＝∠EAD＋∠AED，求证：四边形 ABCD是正方形． 要证 ABCD是正方形有三种途径可走：即在平行四边 形、菱形、矩形的基础上，找各需补充的对角线的条件 进行证明；若要证明 ABCD是菱形，由于题中条件与 对角线相关，则需证AC⊥BD. (1)首先根据平行四边形的性质可得AO＝CO，再由 EA＝EC可得△EAC是等腰三角形，然后根据等腰三角 形三线合一的性质可得EO⊥AC，根据对角线互相垂直 的平行四边形是菱形可证出结论； (2)首先根据角的关系得出AO＝DO，进而得到AC ＝BD，再根据对角线相等的菱形是正方形可得到结论． 分析： (1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO. 又∵EA＝EC，∴EO⊥AC，即BD⊥AC， ∴四边形ABCD是菱形． (2)∵∠ADO＝∠EAD＋∠AED， ∠DAC＝∠EAD＋∠AED， ∴∠ADO＝∠DAC，∴AO＝DO. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC＝2AO，BD＝2DO，∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是正方形． 证明： 证明条件中含对角线的四边形是正方形的方法： (1)证：“四边形＋对角线互相垂直、平分且相等”； (2)证：“平行四边形＋对角线互相垂直且相等”； (3)证：“矩形＋对角线互相垂直”； (4)证：“菱形＋对角线相等”． 证明一个四边形是正方形的方法：结合条件选择合理的 判定方法，一般先证明是矩形，然后找出一组邻边相等 或对角线互相垂直；或者先证明是菱形，然后找一个角 是直角或对角线相等． 归纳总结 例3 已知：如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝ BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点． 求证：四边形EFGH是正方形． 要证四边形EFGH是正方形， 以四边形、平行四边形、矩 形、菱形为基础都可以证出 所要证的结论；若以四边形 为基础，则只需证明四条边 相等，四个角是直角即可． 分析： ∵E、F、G、H分别为四边形ABCD各边的中点， ∴EF∥GH∥AC，FG∥EH∥BD， 且EF＝GH＝ AC，FG＝EH＝ BD. 又∵AC⊥BD，AC＝BD， ∴∠HEF＝∠EFG＝∠GHE＝∠FGH＝90°， EF＝FG＝GH＝HE. ∴四边形EFGH是正方形． 证明： 几种常见的中点四边形的命题： (1)连结四边形各边中点的四边形是平行四边形； (2)连结对角线互相垂直的四边形各边中点的四边形是矩形； (3)连结对角线相等的四边形各边中点的四边形是菱形； (4)连结平行四边形各边中点的四边形是平行四边形； (5)连结矩形各边中点的四边形是菱形； (6)连结菱形各边中点的四边形是矩形． 归纳总结 中点四边形的形状是由外围四边形的对角线之间的 关系确定的．任意四边形的中点四边形是平行四边形； 对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；对角线互相 垂直的四边形的中点四边形是矩形；对角线相等且互相 垂直的四边形的中点四边形是正方形. 课堂练习 1. ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添 加一个条件：______ __，使得ABCD为正方形． 2.下列判断错误的是(　　) A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形 C．四条边都相等的四边形是菱形 D．两条对角线垂直且互相平分的四边形是正方形 3.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题， 从下列四个条件： ①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD. 从中选两个作为补充条件，使 ABCD为正方形(如图)，现有 下列四种选法，你认为其中错误的是(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．②④ A B C D C/ A/ B/ D/ 4.如图，点A' 、 B' 、 C'、D'分别是正方形 ABCD 四条边上的点，并且AA'=BB'=CC'=DD'. 求证：四边形A'B'C'D'是正方形. 5.如图，△ABC中， ∠ACB=90°，CD平分 ∠ACB，DE ⊥BC，DF ⊥AC，垂足分别为E、F，求证:四边形CFDE是正方形。 6.已知：如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB． （1）试说明四边形AEDF的形状，并说明理由． （2）连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？ （3）在②的条件下,当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由． 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结 课堂小结 布置作业 必做：教材P138练习T1，2 选做：请完成《名校作业》对应习题 $