1.2 等腰三角形 习题课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

1.2 第2课时　等腰三角形的性质(2)—— 三线合一 1.等腰三角形______________、_____________、 ____________重合．(简称“三线合一”) 几何语言：如图， (1)∵AB＝AC，∠1＝∠2，∴_________，___________； (2)∵AB＝AC，BD＝CD，∴_________，__________； (3)∵AB＝AC，AD⊥BC，∴_________，___________． 顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高 BD＝CD AD⊥BC ∠1＝∠2 AD⊥BC ∠1＝∠2 BD＝CD 2. (新教材P20习题T1改编)如图，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，∠BAC＝80°.求∠BAD的度数．   解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD. ∵∠BAC＝∠BAD＋∠CAD ＝80°， ∴∠BAD＝∠CAD＝40°. 3.(新教材P15T1改编)如图，AB＝BC，BD平分∠ABC，AC＝10.求AD的长． 解：∵AB＝BC，BD平分∠ABC， ∴AD＝CD. 又∵AC＝AD＋CD＝10， ∴AD＝5. 4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E在AB上，BE＝BD，∠BAC＝80°. (1)求∠BDE的度数； 解：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝80°， ∵BD＝BE， ∴∠BDE＝∠BED＝ (180°－∠B)＝65°. ∴∠B＝∠C＝ (180°－∠BAC)＝50°. (2)求∠ADE的度数． 解：(2)∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC. ∴∠ADB＝90°. ∴∠ADE＝∠ADB－∠BDE＝25°. 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，点E在AD上．请写出图中的全等三角形，并选择其中的一对加以证明． 解：△ABE≌△ACE，△EBD≌△ECD， △ABD≌△ACD. 选择△ABE≌△ACE. 证明如下： ∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE. ∴△ABE≌△ACE(SAS). 在△ABE和△ACE中， 6.(2025·佛山期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD⊥BC，垂足为D，下列结论不正确的是 ( ) A. ∠B＝∠C B ∠BAD＝∠CAD C．BD＝CD D．BD＝ AD D 7.(2025·汕头期中改编)如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是底边BC上的高． (1)∠B＝_____°，∠BAD＝____°； (2)若BD＝4，则BC＝____． 45 45 8 8.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝130°，求∠BAC的度数． 解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC. ∵∠ADC＝130°，∴∠CDE＝50°. ∴∠DCE＝90°－∠CDE＝40°. 又∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠DCE＝80°. 又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝80°. ∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)＝20°. 9.如图，已知AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AM⊥CD于点M.求证：CM＝MD. 证明：如图，连接AC，AD. ∴△ABC≌△AED(SAS). ∴AC＝AD. 又∵AM⊥CD，∴CM＝MD. 在△ABC和△AED中， 10.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：AD垂直平分EF. 证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠FAD. ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°. ∴△AED≌△AFD(AAS).∴AE＝AF. 又∵AD是∠EAF的平分线， ∴AD垂直平分EF. 在△AED和△AFD中， 11.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.求证： (1)△AEF≌△CEB；  证明：(1)∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠AEF＝∠ADC＝90°. ∴∠BCE＋∠CFD＝90°，∠BCE＋∠B＝90°. ∴∠CFD＝∠B. ∵∠CFD＝∠AFE，∴∠AFE＝∠B. ∴△AEF≌△CEB(AAS). 在△AEF和△CEB中，  (2)AF＝2CD. 解：(2)∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD.∴BC＝2CD. 由(1)得△AEF≌△CEB， ∴AF＝CB.∴AF＝2CD. 谢谢 * $1.2 第3课时　等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角_______，那么这两个角所对的边相等(简称为“______________”). 几何语言：如图，∵∠B＝∠C，∴_____________． 相等 等角对等边 AC＝AB 1. 如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝70°. 求证：AB＝AC.   证明：在△ABC中， ∠C＝180°－∠A－∠B ＝180°－40°－70° ＝70°. ∴∠C＝∠B. ∴AB＝AC. 2. (2025·肇庆期末)如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于点E.求证：△CEB是等腰三角形．  证明：∵CE∥AD， ∴∠A＝∠CEB. ∵∠A＝∠B， ∴∠CEB＝∠B. ∴CB＝CE. ∴△CEB是等腰三角形. 3. (新教材P16例1)如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于点E. 求证：△AED是等腰三角形．  ∴△ABD≌△DCA(SSS). ∴∠EDA＝∠EAD. ∴△AED是等腰三角形． 证明：在△ABD和△DCA中， 4. (2025·梅州期中)如图，C是∠MON内一点，CA⊥OM于点A，CB⊥ON于点B，连接AB，∠CAB＝∠CBA. 求证：OC平分∠MON. 证明：∵∠CAB＝∠CBA，∴CA＝CB. 又∵CA⊥OM，CB⊥ON， ∴点C在∠MON的平分线上． ∴OC平分∠MON. 5. (新教材P17例2)用反证法证明：在△ABC中，不能有两个角是直角． 证明：在△ABC中，假设有两个角是直角， 不妨设∠A＝∠B＝90°， ∴∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C ＝180°＋∠C >180°， 这与三角形内角和定理相矛盾． ∴在△ABC中，不能有两个角是直角． 6. (新教材P18T2)已知五个正数的和等于1，用反证法 证明：这五个正数中至少有一个数大于或等于 . 则这五个正数的和一定小于1. 这与已知相矛盾， 故假设不成立，原命题成立． 证明：假设这五个正数都小于 ， ∴这五个正数中至少有一个数大于或等于 . 7.(新教材P17T1改编)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E.求证：BE＝DE. 证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD. ∵DE∥BC， ∴∠CBD＝∠BDE. ∴∠ABD＝∠BDE. ∴BE＝DE. 8. (新教材P21T6改编)如图，点E在BA的延长线上，AD平分∠CAE，AD∥BC. 求证：AB＝AC. 证明：∵AD平分∠CAE， ∴∠EAD＝∠CAD. ∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠B，∠CAD＝∠C. ∴∠B＝∠C.∴AB＝AC. 9.(1)用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC.求证：∠B<90°.”应先假设 ( ) A．∠B≥90°　　　　 B．∠B>90° C．∠B<90°     D．∠B≠90° A (2)(新教材P22T12)如图，一艘轮船从A处出发，以18 kn的速度向正北航行，经过10 h到达B处．分别从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°.求从B处到灯塔C的距离．(1 kn表示1海里/时) 解：(2)∵∠NBC是△ABC的外角， ∴∠C＝∠NBC－∠NAC＝42°. ∴∠C＝∠BAC. ∴BC＝BA＝18×10＝180(海里). 答：从B处到灯塔C距离是180海里． 10.(2025·清远期中)如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作DE∥AB交AC于点E. (1)求证：△AED是等腰三角形； (1)证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD. ∵DE∥AB， ∴∠EDA＝∠BAD. ∴∠EDA＝∠CAD. ∴EA＝ED. ∴△AED 是等腰三角形． (2)若∠C＝110°，∠B＝30°，求∠AED 的度数． (2)解：∵DE∥AB，∠B＝30°， ∴∠CDE＝∠B＝30°. ∵∠AED是△CED的外角，∠C＝110°， ∴∠AED＝∠C＋∠CDE＝140°. 11.(新教材P21T7)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，EP⊥BC，垂足为P，EP交AB于点F.求证：△AEF是等腰三角形． 证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵EP⊥BC， ∴∠C＋∠E＝90°，∠B＋∠BFP＝90°. ∴∠E＝∠BFP. ∵∠BFP＝∠AFE，∴∠E＝∠AFE. ∴AF＝AE. ∴△AEF是等腰三角形． $1.2 第4课时　等边三角形的判定 等边三角形的性质 图形 等边三角形的判定 (1)边：__________；     (1)三边_____⇒等边三角形； (2)角：__________； (2)三角_____⇒等边三角形； (3)“三线合一” (3)等腰三角形＋一个___________⇒等边三角形 三边相等 三角相等 相等 相等 60°内角 1. (新教材P21T8改编)如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，DE分别交边AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形． 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝∠A＝60°. ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B＝60°， ∠AED＝∠C＝60°. ∴∠ADE＝∠AED＝∠A＝60°. ∴△ADE是等边三角形． 2. (新教材P20练习T1)已知：如图，BD∥AC，∠C＝60°，DA平分∠BDC.求证：△ACD是等边三角形． 证明：∵BD∥AC， ∴∠BDA＝∠DAC. ∵DA平分∠BDC， ∴∠BDA＝∠CDA. ∴∠DAC＝∠CDA. ∴△ACD是等腰三角形． 又∵∠C＝60°， ∴△ACD是等边三角形． 3. (新教材P53T22改编)已知：如图，在等边三角形ABC的三边上分别取点D，E，F，使得AD＝BE＝CF.求证：△DEF是等边三角形． 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C. ∵AD＝BE＝CF，∴AC－CF＝AB－AD，即AF＝BD. ∴△ADF≌△BED(SAS). ∴DF＝DE. 同理可证DE＝EF. ∴DE＝DF＝EF. ∴△DEF是等边三角形． 在△ADF和△BED中， 4.如图，在等边三角形ABC中，D是边AB上一点，过点A作AE∥BC，且AE＝BD. 求证：(1)△BCD≌△ACE； 证明：(1)∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°. ∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB＝60°. ∴∠B＝∠EAC. ∴△BCD≌△ACE(SAS). 在△BCD和△ACE中， (2)△CDE是等边三角形． 证明：(2)由(1)可知，△BCD≌△ACE， ∴CD＝CE，∠BCD＝∠ACE. ∵∠BCD＋∠ACD＝∠ACB＝60°， ∴∠ACE＋∠ACD＝60°，即∠DCE＝60°. 又∵CD＝CE，∴△CDE是等边三角形． 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于____________． 几何语言：如图， ∵_____________________， ∴___________． 斜边的一半 　∠C＝90°，∠A＝30°　 BC＝ AB 5.如图，在△ABC中，∠C＝90°. (1)若∠A＝30°，AB＝8，则BC的长为_____； (2)若∠B＝60°，BC＝3，则AB的长为_____． 4 6 6. 如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠C＝30°，点D在BC上，AB⊥AD，AD＝4.求BD和BC的长． 解：∵AB＝AC，∠C＝30°， ∴∠B＝∠C＝30°. ∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°. ∴BD＝2AD＝2×4＝8， ∠ADB＝60°. 又∵∠ADB＝∠C＋∠DAC， ∴∠DAC＝30°.∴∠DAC＝∠C. ∴CD＝AD＝4. ∴BC＝BD＋DC＝12. 7. (新教材P20练习T2)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，且BD＝1，求AD的长． 解：∵∠ACB＝90°， ∠B＝60°，CD是△ABC的高， ∴∠BCD＝∠A＝30°. ∵BD＝1， ∴BC＝2. ∴AB＝4. ∴AD＝AB－BD＝3. 8.(1)如图，下列条件中能推出△ABC是等边三角形的是 ( ) A. ∠B＝∠C B．AD⊥BC，BD＝CD C．AD⊥BC，BD＝CD，∠BAD＝30° D. AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD C (2)(2025·陇南期末)如图，在△ABC中，D为边AB上一点，DF⊥BC于点F，延长FD，CA相交于点E，∠E＝30°，AD＝AE.求证：△ABC为等边三角形． (2)证明：∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠E＝30°. ∵∠CAB是△ADE的一个外角， ∴∠CAB＝∠E＋∠ADE＝60°. ∵DF⊥BC，∴∠EFC＝90°. ∴∠C＝90°－∠E＝60°. ∴∠B＝180°－∠C－∠CAB＝60°. ∴∠C＝∠B＝∠CAB. ∴△ABC为等边三角形． 9. (新教材P22T9)某屋架的一部分如图所示，其中BC⊥AC，∠A＝30°，AB＝7.4 m，D是AB的中点，且DE⊥AC，垂足为E，求BC，DE的长． 解：∵BC⊥AC，∴∠ACB＝90°. ∵∠A＝30°，AB＝7.4 m， ∵D是AB的中点， ∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°. ∴BC＝ AB＝3.7(m). ∴AD＝ AB＝3.7(m). ∵∠A＝30°，∴DE＝ AD＝1.85(m). 10. 如图，△DAC，△EBC均是等边三角形，点A，C，B在同一条直线上，且AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N. 求证： (1)AE＝DB； 证明：(1)∵△DAC，△EBC均为等边三角形， ∴AC＝DC，EC＝BC，∠ACD＝∠ECB＝60°. ∴∠ACE＝∠DCB＝120°. ∴△ACE≌△DCB(SAS). ∴AE＝DB. (2)△BCN≌△ECM； 证明:(2)由(1)得△DCB≌△ACE,∴∠CBN=∠CEM. ∵∠ACD+∠MCE+∠ECB=180°, ∴∠MCE=180°-60°-60°=60°. ∴∠MCE=∠NCB.在△BCN和△ECM中, ∴△BCN≌△ECM(ASA). 16 (3)△CMN为等边三角形． 证明：(3)由(2)得△BCN≌△ECM，∴CN＝CM. 又∵∠MCN＝60°， ∴△CMN为等边三角形． $1.2 第1课时　等腰三角形的性质(1)——等边对等角 (新教材P14引例改编) 题目 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C 方法 方法一：取BC的中点D，连接AD 证明 结论 等腰三角形的两底角_______ 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD(SSS).∴∠B＝∠C 证明：如图，取BC的中点D，连接AD.∴BD＝CD. 相等 (新教材P10引例改编) 题目 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C 方法 方法二：作∠BAC的平分线AD，交BC于点D 证明 结论 等腰三角形的两底角_______ ∴△ABD≌△ACD(SAS).∴∠B＝∠C 证明：如图，作∠BAC的平分线AD，交BC于点D.∴∠BAD＝∠CAD. 在△ABD和△ACD中， 相等 等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角_____，简写成“__________”． 几何语言： 如图，∵AB＝AC， ∴_________． ∠C＝∠B 相等 等边对等角 1.下列各图中，已知AB＝AC，写出x的值． 　　　　 (1)x＝_____；　(2)x＝_____；　(3)x＝_____． 70 30 35 2. 如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE. 求证：AD＝AE. 证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. ∴△ABD≌△ACE(SAS). ∴AD＝AE. 在△ABD和△ACE中， 3.(2025·汕尾期中)如图，AB＝AD，AD∥BC.求证：BD平分∠ABC. 证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC. ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB. ∴∠DBC＝∠ABD. ∴BD平分∠ABC. 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 4. 如图，△ABC和△ADE都是等边三角形．求证：BD＝CE. 证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°. ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE. ∴△BAD≌△CAE(SAS). ∴BD＝CE. 5.(新教材P15T2)如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数． 解：∵△ADE是等边三角形， ∴AD＝DE＝AE， ∠ADE＝∠DAE＝∠AED＝60°. ∵D，E是BC的三等分点， ∴BD＝DE＝EC.∴AD＝BD.∴∠B＝∠BAD. ∵∠ADE＝∠B＋∠BAD＝60°， ∴∠BAD＝∠B＝30°. 同理可得∠EAC＝∠C＝30°. ∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAE＋∠EAC＝120°. 6.(1)(2025·西安期中)等腰三角形的一边长9 cm，另一边长 4 cm，则该等腰三角形的周长是______． (2)(2025·福州期中)若等腰三角形的一边长为8 cm，周长为18 cm，则腰长为 ( ) A．10 cm或5 cm　　 　B．8 cm或5 cm C．8 cm或2 cm D．5 cm 22 cm B 7.(1)(2025·汕头期末)等腰三角形的顶角为36°，则它的底角为 ( ) A．36°　　B．54°　　C．72°　　D．108° (2)(2025·赤峰期中)等腰三角形的一个内角是40°，则它的底角是 ( ) A．70°     B．40° C．40°或70°     D．30°或75° C C 8.(新教材P21T5改编)证明：等腰三角形两底角的平分线相等．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD和CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE. 证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. ∵BD，CE是△ABC的角平分线， ∴∠ECB＝∠DBC. 又∵BC ＝CB， ∴△EBC＝△DCB(ASA). ∴BD＝CE. 9.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE＝BF. (1)求证：△ABE≌△CBF； (1)证明：依题意，得 ∠CBF＝∠ABE＝90°. ∴△ABE≌△CBF(SAS). 在△ABE和△CBF中， (2)解：∵AB＝CB，∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝∠BAC＝45°. 又∵∠BAC＝∠BAE＋∠CAE， ∴∠BAE＝45°－30°＝15°. 由(1)得△ABE≌△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝15°. ∴∠ACF＝∠ACB＋∠BCF＝60°. (2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数． 谢谢 * $