1.2 第3课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质-【初中学霸创新题】2025-2026学年八年级下册数学习题课件(北师大版·新教材)

该初中数学课件聚焦“等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质”，通过基础题（如已知AB=AC，∠B=60°判定三角形形状）衔接等腰三角形知识，逐步过渡到性质应用（如电线杆钢索长度计算），构建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于融入原创题（五育文化衣架设计）、新情境题（小区绿化成本计算）及探究性问题（证明“直角边为斜边一半则对锐角30°”），以数学眼光观察现实，用数学思维推理证明，借数学语言解决实际问题。学生能提升应用与探究能力，教师可通过分层练习（练基础、提升、素养）优化教学。

2 2　等腰三角形 第3课时　等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 3 练基础 练提升 练素养 4 练基础 知识点1 等边三角形的判定 1. 在△ABC 中，AB=AC，若∠B=60°，则△ABC 的形状为（　　） A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 不等边三角形 B 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 2. 如图，以点O 为圆心，以任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以点B为圆心，以BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则∠O的度数为（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° C 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 3. 如图，等边三角形ABC 中，AD 是BC 上的高，∠BDE=∠CDF=60°，图中与BD 相等的线段有（　　） A. 5条 B. 6条 C. 7条 D. 8条 C 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4. 原创题 五育文化 学校开展“自理劳动，家务劳动教育”活动，嘉嘉在晾衣时发现家里衣架没有柔性，挂衣服时不太方便操作。就设计了一种在使用时能轻易收拢的衣架，套进衣服后松开即可。如图1，衣架杆OA=OB，若衣架收拢，如图2，当∠AOB= °时，O，A，B三点构成的三角形是等边三角形。 60 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5. 如图，已知∠AOB=30°，点P 在∠AOB 的内部，点P1与点P关于OB 对称，点P2与点P关于OA 对称，连接P1P2，OP1，OP2，如果△OP1P2的周长是18，那么OP= 。 6 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6. 如图，在△ABC 中，CD 是AB 边的中线，∠CDB=60°，将△BCD沿CD折叠，使点B 落在点E 的位置，连接AE。求证：AE⫽CD。 证明：∵CD 是AB 边的中线，∴AD=BD。 ∵将△BCD 沿CD 折叠，使点B落在点E的位置， ∴ED=BD=AD，∠EDC=∠CDB=60°， ∴∠EDA=180°-∠EDC-∠CDB=60°， ∴△EAD 为等边三角形，∴∠EAD=60°=∠CDB， ∴AE⫽CD。 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7. （郑州金水区期末）如图，从电线杆离地面4 m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索与地面的夹角为30°，那么钢索的长为（　　） A. 4 m B. 6 m C. 4 3 m D. 8 m D 知识点2 含30°角的直角三角形的性质 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8. 如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°,CD⊥AB 于点D，若∠A=60°，AD=1，则BC的长为（　　） A. B. 2 C. 3 D. 6 B 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 新情境 生活实践 今年以来，河南省三门峡市启动小区环境升级专项行动，通过“绿化提质+环境整治”双轮驱动策略，让小区面貌焕然一新。如图是某小区的一块三角形绿化地，AB=20 m，BC=30 m，∠B=150°，已知在对该区域进行绿化时，每平方米的成本为a元，则该区域的绿化成本一共为多少元？ 解：如图，作CD⊥AB，交AB 的延长线于点D。∵∠ABC=150°，∴∠DBC=30°。 ∵CD⊥BD，BC=30 m，∴CD=15 m。 ∵AB=20 m，∴S△ABC=AB·CD=×20×15=150（m2）。 ∵每平方米的成本为a 元， ∴该区域的绿化成本一共为150a 元。 D 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13 10. 如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA 上，OP=5 cm，点M，N 在边OB上，PM=PN，若MN=2 cm，则OM的长为（　　） A. 2 cm B. 2.5 cm C. 1.5 cm D. 3 cm C 练提升 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11. 如图，某同学用圆规BOA 画一个半径为4 cm的圆，测得此时∠O=90°，为了画一个半径更大的同心圆，固定A 端不动，将B 端向左移至B′处，此时测得∠O′=120°，则BB′的长为（　　） A. （2-4）cm B.（ -2）cm C.（4-4）cm D.（2-2）cm A 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12. ［教材P20随堂练习T2 改编］如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=10 cm，CB1⊥AB，B1C1⊥AC，垂足分别是B1，C1，那么B1C1=　　　cm。 3.75 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13. 如图，在△ABC 中，AB=AC，点D在BC 上，AD=DE，如果∠BAD=20°，∠AED=60°，那么∠EDC的度数为　　　　°。 10 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14. 新趋势 动点探究题 如图，AB=AC=8，∠BAC=110°，AD是∠BAC 内的一条射线，且∠BAD=25°，P为AD上一动点，则| PB - PC |的最大值为　　　　。 8 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15. （山东中考）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，如图1。 （1）求∠ADC的度数； 解：（1）在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=30°， ∴∠BAC=60°。 ∵∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D， ∴∠BAD=∠CAD=30°， ∴∠ADC=180°-30°-30°=120°。 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2）已知AB=3，分别以点C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，交AD的延长线于点F。如图2，求DF的长。 （2）由（1）知∠ACD=∠CAD=30°， ∴AD=CD，∠ADB=60°，∴∠CDF=60°。 如图，连接CF，由作图过程可知MN 是CD 的垂直平分线， ∴FC=FD，∴△CDF 是等边三角形，∴FC=FD=CD=AD。 ∵∠ABC=90°，∠BAD=30°， ∴AD=2BD，又∵AB=3，AB2+BD2=AD2， ∴BD= ，AD=2，∴DF=AD=2。 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 新趋势 探究性问题 在学习《三角形的证明及其应用》这一章的内容时，小 郑认为“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”是正确的，为了证明这个命题的正确性，他画出了如图1 所示的图形。 （1）请你根据小郑画的图形，写出已知和求证，并完成证明。 练素养 解：（1）已知：如图1，△ABC 是直角三角形，∠C=90°，BC=12AB。 求证：∠BAC=30°。 证明：如图1，延长BC 至点D，使得CD=BC，连接AD。 ∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°。又∵AC=AC，CD=CB， ∴△ABC≌△ADC，∴AB=AD。∵BC=CD=BD，BC=AB， ∴BD=AB，∴AB=AD=BD，∴△ABD 是等边三角形，∴∠B=60°。 又∵∠ACB=90°，∴∠BAC=30°。 D 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2）如图2，小郑取了一张长方形纸片EFGH，且FG=2EF，沿过点G 的折痕将∠F 翻折，使得点F 落在EH上的点F′处，折痕交EF 于点M，则∠FGM的度数为 。 15° 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （3）如图2，按如下步骤可以把△GHF′分成三个全等的小三角形（图中虚线表示折痕）： ①折叠△GHF′，使直角边GH 落在斜边GF′上，点H 落在斜边点N 处； ②将折叠后的纸片再沿PN 折叠，则△F′NP≌△GNP≌△GHP。 G N F′ P H （3）小郑在（2）的基础上，想把△GHF′分成三个全等的小三角形，如何分？请说出方法。 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 绿卡图书—走向成功的通行证 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 24 $