精品解析：山东泰安英雄山中学2026普通高等学校招生全国统一考试冲刺压轴卷(一) 数学

2026普通高等学校招生全国统一考试·冲刺压轴卷（一） 数学 全卷满分150分 考试时间120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上. 2.作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为集合，，， 所以，所以. 2. 若，其中是虚数单位，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算计算出，再由复数模长计算公式求结果. 【详解】因为，所以. 故选：A. 3. 已知数据，，的平均数为2，数据，，，，的平均数为10，则数据的平均数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数的概念和公式进行求解即可. 【详解】数据，，的平均数为2，数据，，，，的平均数为10， 数据的平均数为. 故选：D. 4. 已知直线，平面，且，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】先判断充分性，再判断必要性，得到“”是“”的既不充分也不必要条件． 【详解】由，可得或，所以“”不是“”的充分条件， 由，可得或与是异面直线，所以“”不是“”的必要条件， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式和弦化切思想即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以. 所以. 故选：B. 6. 设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）两点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意写出以为直径的圆的方程，与双曲线的渐近线方程联立求得点的纵坐标，再根据即可求得. 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为， 如图，设双曲线的焦距为，以为直径的圆的方程为：， 即，联立， 解得，即由对称性可得，，且， 则，可得，故离心率. 故选：B 7. 如图所示，在的两条边上分别有和共9个点，连接线段，如果其中两条线段不相交，则称之为1对“和睦线”，则图中的“和睦线”共有（ ）． A. 60对 B. 62对 C. 72对 D. 124对 【答案】A 【解析】 【分析】由分步乘法原理、组合数即可求解. 【详解】任意一个四边形恰有1对“和睦线”，故有（对）． 故选：A. 8. 已知点在圆上运动，若过点可以作曲线的切线，则点的轨迹长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求在、、的切线，再分析变化过程中确定点的轨迹，再由弧长公式求解. 【详解】由，则，且，故， 所以在处的切线方程为， ，，则在处的切线方程为， ，，则在处的切线方程为， 当的切点横坐标从，切线由变为， 此时两切线与圆的交点左边从，右边从， 同理的切点横坐标从，切线由变为， 此时两切线与圆的交点左边从，右边从， 所以的轨迹为劣弧，其中，故， 所以轨迹对应圆心角为，由弧长公式得. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 不是等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】设的公比为，根据题意求出基本量，进而逐项验证即可求解. 【详解】设的公比为，则由，单调递增，得， 因为，所以，解得或（舍去）， 对于A，，故A正确； 对于B，，.故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，， 所以是首项为3，公比为的等比数列，故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 有两个零点 C. 在点处切线的斜率为 D. 在单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇函数的定义、零点的求解、导函数和函数的单调性进行逐一判断即可. 【详解】对于A： 函数的定义域为，关于原点对称， 而，所以函数为奇函数，A正确； 对于B： 令，则，则或， 所以，所以函数只有一个零点，B错误； 对于C： 当时，，对函数求导得 ，那么， 所以函数在点处切线的斜率为，C正确； 对于D： 当时，，所以函数在上单调递增，D正确. 故选：ACD. 11. 在斜中，若，则（ ） A. B. 的最大值为 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理及三角恒等变换判断得出. 【详解】对于A，由余弦定理得 ，再由正弦定理得 即，整理得：，即，故A错误； 对于B，因为，，所以，， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以，又因为，所以，所以的最大值为，故B正确； 对于C，由A可知，即， 又因为 ， 即， 同理可得， 所以， 即， 所以，故C正确； 对于D，因为， 又因为，所以， ，所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据向量共线的坐标表示得，再结合向量的模的坐标公式求解即可. 【详解】因为向量，，且 所以，解得， 所以， 因此. 13. 已知正方形的边长为2，其中一个顶点为原点，另外三个顶点中有两个在抛物线上，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，不妨设在坐标原点，则关于轴对称，可求得的坐标，进而计算可求得. 【详解】因为正方形的边长为2，其中三个顶点在抛物线上， 则不妨设在坐标原点，则关于轴对称， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 14. 已知对恒成立，则的最小值为______. 【答案】6 【解析】 【分析】首先分析函数在区间的零点和正负区间，再根据不等式分析函数的零点，利用韦达定理表示 关系，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】当，，则， 当，， 当，，， 当，， 当，，， 若对恒成立， 则，并且函数的两个零点分别是1和7， 则，则，，， 所以， 当，，即时，等号成立， 所以的最小值为6. 故答案为：6 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2025年7月22日是二十四节气中的第十二个节气——大暑.受今年气候等多因素的影响，全国各地高温天气持续不断.某校以“预防中暑，防止脱水”为主题举行活动.为了解男女同学对该活动的兴趣程度，对多位该校同学进行了调查，并将结果整理成如下列联表. 性别 兴趣程度 合计 感兴趣 不感兴趣 男生 女生 合计 （1）当m足够大时，估计从该校任选一名对该活动不感兴趣的学生是男生的概率； （2）若根据小概率值的独立性检验，认为对该活动是否感兴趣与性别有关，求正整数m的最小值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）根据频率估计概率，结合古典概型公式，即可得答案. （2）先求得，由题意可得，分析计算，即可得答案. 【小问1详解】 由调查数据可知当m足够大时，以频率估计概率可知， 从该校任选一名对该活动不感兴趣的学生是男生的概率为. 【小问2详解】 由题意可得， 若根据小概率值的独立性检验，认为对该活动是否感兴趣与性别有关， 则，解得 因为m为正整数， 所以m的最小值为10. 16. 已知点在椭圆上，与椭圆的上，下顶点的连线的斜率之积为． （1）求椭圆的离心率； （2）若直线与椭圆相交于、两点，且的面积为（为坐标原点），求椭圆的标准方程． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由题意推理可得，利用点在椭圆上，代入消元后可得，结合即可求得离心率； （2）设、，由直线与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出弦长和点 到直线的距离，由三角形面积列出方程，求出参数值即得椭圆方程. 【小问1详解】 因椭圆上、下顶点的坐标分别为、， 依题意，整理得（*）， 因点在椭圆上，则，即， 代入（*），化简得： ，又，所以， 则椭圆的离心率； 【小问2详解】 如图，设、，由（1）已得， 则由，消去并整理得， 此时，解得， 由韦达定理得，， 所以， 又原点到直线的距离， 所以的面积，解得， 故椭圆的方程为． 17. 是等差数列的前项和，数列满足，，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为． ①求； ②若集合且，求集合中所有元素的和． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）分别令和，解方程可得，，可得与，进而可得； （2）利用分组求和的方法可得，进而确定集合中元素. 【小问1详解】 当时，， 所以，解得， 当时，， 所以，解得， 则， 所以，， 则； 【小问2详解】 ① ； ② ， 当为偶数时，， 所以当为偶数时，恒成立， 当为奇数时， ， 令， 又函数在上单调递增，且，， 所以， 所以集合中所有元素的和为. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在线段上且满足，点在线段上且满足. （1）证明：； （2）若，求的值； （3）若存在，使直线与平面所成角为，求的取值范围. 【答案】（1）证明：∵平面，平面，∴， 又∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴， 又∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直的性质定理得，再根据线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的性质定理和判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的判定定理得平面，进而根据线面垂直的性质定理得，根据与相似得，利用勾股定理得及，即可求解. （3）建立如图空间直角坐标系，设，，则，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式列方程求得，设，由题意在上有零点，利用判别式法求得，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，又，，平面， ∴平面，∵平面，∴， 由（1）可知，在中，，∴. 则与相似，则， 在中，，，∴， ∴.∴. 【小问3详解】 以为原点，以，所在直线分别为轴，轴， 以过点垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ∵，，∴， 不妨设，，，，∵， ∴即，由知，（*） 于是，，，， 设，则，， 由可得， ∴，，，， 设平面的一个法向量为， 于是，所以， 令，得，，故可取， 因， ∴，结合化简得， 设，， ∵要存在，使与平面所成角为，∴在上有零点. ∵结合（*）知函数图象的对称轴，故， 又， ∴只需满足，所以， ∴AB的取值范围. 19. 已知函数（其中为自然对数的底数，）. （1）当时，求处的切线方程. （2）若函数在其定义域上不单调，求证：. （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明：因为，所以， 当时，，在上为减函数，不合题意. 当时，由得，由得， 所以在上单调递增，在上单调递减，符合题意， 此时， 要证，只需证，即证， 不等式等价于， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，故. （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式计算可得； （2）由题意得，，只需证明，利用导数分析单调性可证明结论； （3）不等式等价转化为，对分类讨论可得结果. 【小问1详解】 当时，则，， 所以， 所以在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得， ， 令，则等价于恒成立， 令，则， 当时，，则，在上单调递减， 当时，令，则，故在上单调递增， 又，所以存在唯一的，使得， 且当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增， 综上所述，在上单调递减，在上单调递增， 因为，故存在唯一，使得， 从而； 由（1）知：①当时，是减函数，故的值域为，此时存在恒成立，符合题意； ②当时，是减函数，故的值域为，此时存在，不符合题意； ③当时，，又当时，，故的值域为， 若即时，，此时恒成立，符合题意， 若即时，取，此时存在，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026普通高等学校招生全国统一考试·冲刺压轴卷（一） 数学 全卷满分150分 考试时间120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上. 2.作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，其中是虚数单位，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 3. 已知数据，，的平均数为2，数据，，，，的平均数为10，则数据的平均数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 已知直线，平面，且，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）两点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 7. 如图所示，在的两条边上分别有和共9个点，连接线段，如果其中两条线段不相交，则称之为1对“和睦线”，则图中的“和睦线”共有（ ）． A. 60对 B. 62对 C. 72对 D. 124对 8. 已知点在圆上运动，若过点可以作曲线的切线，则点的轨迹长度是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 不是等比数列 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 有两个零点 C. 在点处切线的斜率为 D. 在单调递增 11. 在斜中，若，则（ ） A. B. 的最大值为 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则______. 13. 已知正方形的边长为2，其中一个顶点为原点，另外三个顶点中有两个在抛物线上，则___________． 14. 已知对恒成立，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2025年7月22日是二十四节气中的第十二个节气——大暑.受今年气候等多因素的影响，全国各地高温天气持续不断.某校以“预防中暑，防止脱水”为主题举行活动.为了解男女同学对该活动的兴趣程度，对多位该校同学进行了调查，并将结果整理成如下列联表. 性别 兴趣程度 合计 感兴趣 不感兴趣 男生 女生 合计 （1）当m足够大时，估计从该校任选一名对该活动不感兴趣的学生是男生的概率； （2）若根据小概率值的独立性检验，认为对该活动是否感兴趣与性别有关，求正整数m的最小值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16. 已知点在椭圆上，与椭圆的上，下顶点的连线的斜率之积为． （1）求椭圆的离心率； （2）若直线与椭圆相交于、两点，且的面积为（为坐标原点），求椭圆的标准方程． 17. 是等差数列的前项和，数列满足，，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为． ①求； ②若集合且，求集合中所有元素的和． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在线段上且满足，点在线段上且满足. （1）证明：； （2）若，求的值； （3）若存在，使直线与平面所成角为，求的取值范围. 19. 已知函数（其中为自然对数的底数，）. （1）当时，求处的切线方程. （2）若函数在其定义域上不单调，求证：. （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $