2026普通高等学校招生全国统一考试·冲刺压轴卷(二) （2026届山东聊城市临清市第二中学）高三一模数学试题

绝密★启用前 2026普通高等学校招生全国统一考试·冲刺压轴卷（二） 数学 全卷满分150分考试时间120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。 2.作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答 题区域均无效。 3.考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},则B∩CA= A.{5,6} B.{3,4,5,6} C.{1,2,5,6} D.⑦ 2.已知i为虚数单位，若z=2十i,z2=1一2i,则4一3i= A.21+z2 B.21-22 C.ZZ2 : D. 3.平面向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的 边长均为1，则(a一c)·b= A.-5 B.5 C.1 D.-1 4.设{an}为公差不为0的等差数列，且a2,a1,a4成等比数列，则21= a2 A.-3 B.-2 C.2 D.3 5.瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩 4 绘.通过在窑内的高温烧制，瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种化 学变化.某瓷器可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体， 如图所示，该瓷器的体积为 A.556π B.900π C.732π D.588π 6.已知(1十ax)(x一2)5的展开式中x3项的系数为一80，则实数a的值为 A B.2 C.1 D.-2 1 【冲刺压轴卷（二）·数学第1页（共4页）X】 扫描全能王创建 7.已知O为坐标原点，直线1：x=1y十4与圆C:x2+y2一8x十12=0相交于A,B两点，则OA. OB= A.8 B.5 C.6 D.12 8.已知正实数a,b,c满足2a+log2a=3b+log3b=4c+log1c<2,则 A.a<b< B.c<b<a C.b<a<c D.a<c<b 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知一组数据4,2a,3一a,5,6的平均数为4，则 A.a=2 B.该组数据的方差是2.8 C该组数据的中位数是号 D.该组数据的极差是5 10.若函数f(x)=asin十cosx(a∈R)满足对任意x∈R,都有f(5-x=f(x),则 A.a=√3 B.a=3 3 C.fr+)是偶函数 D.f(x)在[-经，-]上单调递减 11.已知平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上，点B在y轴上，满足|AB=3,点P满足3AP =2AB,记P的轨迹为E,则 A.|OP|≤2 BE的方程为置+少-1 C.当直线AB与E相切时，|OP|=√3 D.存在线段AB,使得△OAB内心在E外部 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. l2.已知tana=3,tan(a-β)=2，则tanB= l3.若函数f(x)=cosx一ax在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是 14.已知集合U={1,2,3,4},现独立地随机选取集合U的两个非空子集A,B(A与B可以相 同)，则事件“集合A中的最大元素小于集合B中的最小元素”的概率为 【冲刺压轴卷（二）·数学第2页（共4页）X】 扫描全能王创建 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2b+c=2 acos C. (1)求A的大小： (2)若D为边BC的中点，且b=4,c=2,求AD的长. 16.(15分) 如图甲所示，四边形MNPQ为正方形，AP=AQ=PQ,S为AP的中点.将△APQ沿直线 PQ翻折使得QS⊥平面APN,如图乙所示. (1)求证：平面APQ⊥平面MNPQ; (2)求平面AMN与平面MNPQ的夹角的余弦值. 17.(15分) 已知函数f(x)=e一ax(a为常数). (1)当a=一1时，求曲线y=f(x)在x=0处的切线； (2)讨论函数f(x)的单调性； (3)证明：当x>0时，x2<e. 【冲刺压轴卷（二）·数学第3页（共4页）X】 6 扫描全能王创建 18.(17分) 斯诺克是一项流行的台球运动.其大致规则为：两人比赛，其中一人上场击球，按一颗红球，一 颗彩球的顺序循环击打.台面上共有15颗红球，6颗彩球，其分值如下表.若一人击球未进，则 该人下场换对方上场击球.规定每次上场的第一颗球只能击打红球.今甲和乙进行练习赛。 红球 黄球 绿球 咖啡球 蓝球 粉球 黑球 分值 1 2 3 4 5 6 7 (1)若甲进球概率为分，乙进球概率为2甲先击球，且二人击打彩球时只击打黑球，设X为双 方从开始至击打完成三杆球后甲的得分，求X的分布列和数学期望 (2)丙加入了比赛.但由于球桌有限，当三人中两人比赛时，另一人在场下坐冷板凳.当对局结 束，获胜者留在场上，失败者下场，并由坐冷板凳者上场.甲乙丙三人实力相当，故彼此对 局时获胜概率均等.若第一场比赛由乙对战丙，设第场比赛时甲坐冷板凳的概率为p (i)求pn; (ⅱ)从比赛公平性的角度，简要说明当n充分大时，p,的实际含义. 19.(17分) 知双曲线C无-芳1(Q>0,b>0)的离心率为V5,点(w2,2)在C上A B为C的左、右顶点， (1)求C的方程， (2)若点M,N在C的右支上(M在第一象限)，直线AM,BN分别交y轴于 P,Q两点，且OQ=3OP, (ⅰ)探究：直线MN是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定 点，请说明理由. (i)设S1,S2分别为△AMN和△BMN的面积，求S,-S2的取值范围， 【冲刺压轴卷（二）·数学第4页（共4页）X】 扫描全能王创建2026普通高等学校招生全国统一考试·冲刺压轴卷（二） 数学·参考答案 1.A因为全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3,4},所以CA={5,6},又因为B=3,4,5,6},所以B∩CA= {5,6}.故选A. 2.C对于A,1十2=(2+i)+(1一2i)=3-i,故A错误；对于B,1-2=(2十i)一(1-2i)=1十3i,故B错 误：对于C=(2-i)1-2=2-计i-2=4i:故C正确：对于D是-告-2器 =i,故D错误故选C 3.C以网格中左下角一点为原点建立平面直角坐标系，则各向量可用坐标表示.易得α =(2,2),b=(1,-2),c=(-1,1).因此，(a-c)·b=(2+1)×1+(2-1)×(-2)= 1.故选C. 4.A设数列{an}的公差为d,则a2=a1十d,a4=a1十3d,由a2,a1,a4成等比数列，得 ai=(a+d)(a十3d),化简得4ad+3d=0,又d≠0，得d=-专a,故公 a =-3.故选A. a1+（- 5.D由题图可知，半球和圆柱的半径为6，圆柱的高为8，圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，高为9，所以 该瓷器的体积为号×号x×6十x×6X8+号(6+2+6×2)×9=588x.散选D. 6.A由(1十ax)(x一2)5=(x-2)5十ax·(x一2)5，而(x一2)5展开式中的通项为Tk+1=C·x5·(一2) =C·(一2)·x5-,k=0,1,2,3,4,5,令5-k=3,得k=2;令5-k=2,得k=3,则(1十Q.x)(x-2)5的展 开式中2项的系数为C·(一2)2+aC·(一2)=-80，解得a=号故选A. 7.D圆C的标准方程为(x一4)2+y2=4,圆心为C(4,0),半径为r=2,易知直线1过圆 心C,所以C为线段AB的中点，所以OA·O店=(O心+CA)·(O元+C范)= (O心+CA)·(O心-CA)=O心-CA2=42-22=12.故选D. 8.B设f(x)=2x十log2x,g(x)=3x+log3x,h(x)=4x+log4x,则f(x),g(x),h(x)均在 (0,+∞)上单调递增，又f(1)=2,g(1)=3,h(1)=4,故0<a,b,c<1.假设0<a≤b<1,则2a+log2a<3a+ log3a≤3b+logb,与题干矛盾，所以有b<a;假设0<b≤c<1,则3b+logb<4b十logb≤4c+logc,与题干 矛盾，所以有c<b.综上可得c<b<a.故选B. 9.ABD由题意可得4十2a十3一a+5+6=4,解得a=2,A说法正确；该组数据是1,4,4,5,6，则该组数据的方 5 差为号[(4-4)2+(4-4)2+(1-4)2+(5-4)2+(6-4)2]=2.8，B说法正确：该组数据的中位数是4，C 说法错误；该组数据的极差是6一1=5，D说法正确.故选ABD. 1BD对于A.B.因为对任意xR,都有（停厂x).所以政=0，可得f(）=0)→。+号 1P-停故A铝误，B正确：对于C.因为对任意∈R,都有侵-：列一.即/2)的图象关于直线： 【冲刺压轴卷（二）·数学参考答案第1页（共6页）X】 =晋对称，f(+否)即把f()的图象左移否个单位，所以f(x+)的图象关于y轴对称，所以f(x+否)》 是偶两数，放C正确：对于D.f)-号n叶cosx=2in(e+）因为x[-要：-]，所以x十音 ∈[一。-]，由正浓函数的单调性可得x)在[-受，一否]上单调递减，故D正确，故选BCD, 11.AC由题意可设A(a,0),B(0,b),P(x,y),而AB|=3,故a2+b2=9,由3AP=2AB,得3(x-a,y)= 3(x-a)=-2a, (a=3x, 2(-a,b),则可得 所以 3y=2b, 6-义.故(3x)+(受)=9即2+号-1，故E的方程为r+ 兰=1，B错误：由x2+=1,得y2=4-4x2,故OP=√+y=4-37≤2，当且仅当x=0时等号成 4 4 y=kx+m, 立，A正确；当直线AB与E相切时，设直线AB的方程为y=kx十m,联立 x2+义， 得(4十k2)x2+ 41, 2kmx+m2-4=0,则△=(2km)2-4(4+k2)(m2-4)=0,即得m2=4+k2,又因为A(a,0),B(0,b)在直 线y=虹十m上，故=一合=m,代人m=4十，得公-4什名联立。+-9，解得。2=3,6-6，由 a=3x, x= 3 3y得 b2 则OP=V+可-√+誓-√号=，C正确：椭圆 2b Ly= 3, 的对称性，不妨取△OAB内心在第一象限内情况，△OAB为直角三角形，设其内切圆半 径为，则内切圆圆心为(，)，若△OAB内心在E外部，则需满足广+>1，即r> 25:又8w=分a-什3则，之g曲于公6=9，设=3o9.=n.市于考德的 是第一象限情说（可包含坐标轴，故0∈[p,吾引，则一片设c0s0十n.则1 3X3-1 巨sin(0+平)1≤≤E,则r=+ -×学a于塔-专 2 2 2 2 25,故<C一卫与>2矛眉，即不存在线段AB,使得△0AB内心在E外部，D错误故法AC 2 m=a红黑a。产多g=子 12. 13.[1,十o∞)函数f(x)=cosx-ax的定义域为R,求导得f(x)=一sinx-a,依题意，Hx∈R,f(x)≤0， 即a≥-sinx恒成立，而-sinx≤1，则a≥1，所以实数a的取值范围是[1，十oo). 三1,2,3,4，故集合U=1,2,3,4)的非空子集个数为个2 取集合U的两个非空子集A,B(A与B可以相同)，所以所有可能的选取情况数15×15=225种.当A中最 大元素为1时：A是{1}，此时B可以是(2}，{3}，(4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{2,3,4}共7种情况，当A中 最大元素为2时：可以是{2}，{1,2}，此时B可以是(3)，{4}，{3,4}共2×3=6种情况.当A中最大元素为 3时：A可以是{3}，{1,3}，{2,3}，〈1,2,3}，此时B可以是{4}，共4×1=4种情况，当A中最大元素为4 时：A可以是{4}，{1,4}，{2,4}，{3,4}，{1,2,4}，〈1,3,4}，{2,3,4}，〈1,2,3,4}，此时B没有满足条件的 子集，共0种情况，故满足条件的子集选取情况总数为7+6十4+0=17，根据古典概型概率公式，事件“集合 A中的最大元素小于集合B中的最小元素”的概率P= 2251 【冲刺压轴卷（二）·数学参考答案第2页（共6页）X】 15.解：(1)由正弦定理边化角可得2sinB+sinC=2 sin Acos C, 再利用三角形内角和可知sinB=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 所以有2(sin Acos C+cos Asin C)+sinC=2 sin Acos C, 整理得2 cos Asin C+sinC=0, 3分 在三角形中sinC>0, 所以有2cosA+1=0→cosA=- 1 2 ………4分 又因为A∈(0，π)，所以A=2 6分 (2)由中线向量可得AD=(AB十AC),………8 则1A2=子A店+AC=子(A亩+2店·AC+AC)=(4-2×2×4×2+16) =3,…… …11分 所以AD=√3.…13分 16.解：(1)证明：因为QS⊥平面APV,PNC平面APV,所以QS⊥PN,…2分 又PQ⊥PN,QS∩PQ=Q,QS,PQC平面APQ,所以PN⊥平面APQ,……4分 又PVC平面MVPQ,所以平面APQ⊥平面MNPQ.………………………………6分 (2)取PQ的中点为O,MN的中点为E,因为△APQ为等边三角形，则AOLPQ, 又平面APQ⊥平面MNPQ,平面APQ∩平面MNPQ=PQ,AOC平面APQ, 所以AO⊥平面MNPQ,如图建立空间直角坐标系， 设MN=PQ=2,则A(0,0,√5)，M(2,-1,0),V(2,1,0), 则MA=(-2,1W5),MN=(0,2,0),…9分 n·MA=-2x+y+√5x=0, 设平面AMN的一个法向量为n=(x,y,之)，则 n·MN=2y=0, 令x=√3，则之=2，所以n=(√尽，0,2)，… 12分 显然平面MNPQ的法向量为m=(0,0,1),………………… 13分 设平面AMN与平面MVPQ的夹角为0， 则cos0= |m·n_2W7 m n 7 故平面AMN与平商MN7Q的夹角的余孩值为2， …15分 17.解：(1)当a=-1时，f(x)=e+x. f(0)=心十0=1，.切点为(0,1).…1分 (x)=e十1，.切线斜率k=(0)=e°十1=2，……2分 ∴.切线方程为y一1=2(x-0),即2x一y十1=0. 3分 (2)f(x)=e-a,x∈R,… 4分 当a≤0时，(x)>0恒成立，f(.x)在R上单调递增；…5分 当a>0时，由f'(x)>0→x>lna,由f(x)<0→x<lna, ∴.f(x)在（一oo,lna)上单调递减，在(lna,十o∞）上单调递增. 7分 综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递增； 当a>0时，f(x)在（一o∞，lna)上单调递减，在(lna,十o∞）上单调递增. 8分 (3)证明：构造函数h(x)=一x2,x>0.h'(x)=e一2.x,……9分 【冲刺压轴卷（二）·数学参考答案第3页（共6页）X】 设g(x)=e-2x,则g'(x)=e-2,函数g(x)在(0，十o∞)上单调递增，且9(ln2)=en2-2=0, 当0<x<ln2时，g(x)<0,e(x)在(0，ln2)上单调递减，所以h'(x)在(0，ln2)上单调递减， 当x>ln2时，9'(x)>0,p(x)在(ln2,十∞)上单调递增，所以h'(x)在(ln2,十∞)上单调递增. …… ……………………………………11分 ∴.当x>0时，h'(.x)的最小值为h'(ln2)=2-2ln2.……12分 .当x>0时，h'(x)≥h'(ln2)=2(1-ln2)>0, .h(x)在(0，十∞)单调递增，…… 13分 .当x>0时，h(x)>h(0)=e°-02=1>0， .当x>0时，x2<e.…15分 18.解：(1)由题意可知，甲先击球，双方累计3次，规则如下： 首次上场必须先打红球，若打进后打黑球，若未进球换对方上场，必须击打红球： 甲进球概率为子，乙进球概率为2， 1 分析可知，甲的可能得分为X=0,1,8,9,…………1分 即当X=0时，可能情况为：①甲未进，乙未进，甲未进，②甲未进，乙进球，乙进球，③甲未进，乙进球，乙 未进 概率为：P(X=0)=号×名×号+号×2×号+号×号×-号 2分 当X=1时，可能情况为：①甲进球，甲未进，乙未进，②甲未进，乙未进，甲进球，③甲进球，甲未进，乙进球. ………………3分 当X=8时，可能情况为：甲进球，甲进球，甲未进， 极幸为：P=8)吉×分×号-异 3 4分 当X=9时，可能情况为：甲进球，甲进球，甲进球。 概率为：P(X=9)=号×号×号=动 …………………5分 .甲的得分情况的分布列为： 甲得分(X) 0 1 8 9 概率 1 9 3 2 2 6分 数学期望为：E(X)=0× 号+1+8X品+9x- …8分 (2)(1)已知3人实力相当，则获胜概率均为2， ,第一场比赛乙对战丙，甲坐冷板凳， ∴.1=1， 分析状态转移规律：从任何状态，下一场比赛坐冷板凳者变为当前比赛失败者，概率各 则递推关系为：九.=号(1一力，1)… …10分 对p,=(1一p。1)展开并移项得：p。=- 2.1+2>2). 假设存在常数为使得{九，一构成等比数列，即A。一=一合（力。1一）， 【冲刺压轴卷（二）·数学参考答案第4页（共6页）X】 令q=p- 子则9= 1 29m-1, g.是首项为g,公比为一合的等比数列.则9=p一号-号 12分 14分 (1)当一十时，()广0，放A→号这表明在长期比赛中，甲，乙、丙三人坐冷板凳的概率趋于分 体现了比赛的公平性，由于3人实力相等且转移概率对称，系统稳定时每人坐冷板凳机会均等.…17分 1.解：1)因为离心率e=日=5，所以c=5a,而c2=a2+,所以2=4a, 3y2 所以双曲线的方程为7一三1… 2分 将点，2)代人双曲线方程，得导一奇=1.所以a=1,心=4。 所以C的方程为2-苦-1.…4分 (2)(1)直线MN过定点(2,0).…5分 由双曲线C的方程可知A(一1,0)，B(1,0),设M(x1y1),N(x2,y2). 方法一：由O0=3OP,可设P(0,t),Q(0,3t),则直线AM(即AP)的方程为y=t(x十1) 联立 女-学-1：整理得4-)-240 y=t(x+1), 由题设知4一t≠0，且△=64>0. 由根与系数关系得（一1）·=学所以-告 所以=+)，即M告去)片 ………………6分 又直线BN(即BQ)的方程为y=-3t(x-1), 联立 得(4-92)x2+18t2x-92-4=0, y=-3t(x-1), 由题设知4-9t2≠0，且△=324t+4(4一9t2)(9t2+4)=64>0. 由与系数关系程1·=兰，所以-部青 所以y2=一 影1）n4(+2兴) （9t2-4'9t2-4 7分 当x1≠x2时，直线MN的斜率 -24t8t kw=2二y 9t2-44-t -24t(4-t2)-8t(9t2-4) -8t ………8分 x2一x1 9t十4t+4 (9t+4)(4-t)-(t2+4)(9t2-4)4-3t2: 9t2-44-t 直线MN的方程为y=1二(-) 8t -8t 化简整理得y=(一2.直线MN过定点(2.0). 9分 当1=时，M=一，即8= 24t 4-t-9t2-4' 解得P=专=x2=2.直线MN也过定点(2,0). 【冲刺压轴卷（二）·数学参考答案第5页（共6页）X】 综上，直线MN过定点(2,0).… 10分 {x2-y=1 法二：设直线MN的方程为x=my+n,联立 4 x=my+n, 整理得(4m2-1)3y2+8mny+4n2-4=0, 则十=城 8mn 所以(1-n2)(y1十y2)=2m1y1y2.“ ……6分 直线AM:y=升+I.令x=0,得P(0:】 直线BN:=产u-1.令=0，得Q0,普)】 7分 由0d=30驴，得二业=3y x2-1x1+1 即y2(x1+1)+3y1(x2-1)=0, 所以y2(my1+n+1)+3y1(my2+n-1)=0. 即4my1y2十(n十1)y2十3(n-1)y1=0.…8分 因为(1-n2)(y1+y2)=2ny1y2, 所以2(1-n2)(y+y2)+n(n+1)y2+3n(n-1)y1=0. 整理可得(n-1)(n一2)y1一(n-2)(n十1)y2=0.…9分 所以n=2,所以直线MN过定点T(2,0). 10分 (i)由(i)知，直线MN过定点T(2,0), 则S-=AT-BT-=×8-1)-=1-1 ………………………………11分 由(1)知y1十y2= 8mn =4n2-4 4m2-1y%=4m-1,n=2, ∴.y1+y2= 16m 12 4m2-1hy2= 4m2-1 S,-S2=|y-y2l=Vy+y2)=4y2=√(4m-1)- 256m2 48(4m2-1) (4m2-1)3 4m2+3 44%21 13分 又点M,N在双曲线C的右支上，双曲线C的渐近线方程为x=士2y 所以-<m<号 令u=4m2+3,则u∈[3,4)， 于是1S-S|=4√(uP4) 4 15分 16一8 令f)=u+,u∈[3,4)，则r)=1- 9<0,w)=a+9在[3,4)单调道减。 所以|S1-S2= 4在[3,4)单调递增，…… 16-8 16分 Vut 当u=3,即m=0时，|S1-S2取得最小值4V3. 所以S一S2的取值范围是[4√3，十o∞）.…17分 【冲刺压轴卷（二）·数学参考答案第6页（共6页）X】