精品解析：北京市中国人民大学附属中学朝阳学校2025-2026学年下学期期中高二数学试卷

北京市中国人民大学附属中学朝阳学校2025-2026学年下学期期中高二数学试卷 说明：本试卷分I卷和II卷，I卷18道题，共100分；II卷7道题，共50分. I卷、II卷共25题，合计150分，考试时间120分钟，练习日期：2026年4月22日； 学生务必将答案客在答卡上，在试卷上作无效. I卷(共18道题，满分100分) 一、选择题(本大共10小题，每小题4分，共40分，在每小给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答纸上的相应位置.) 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 3. 袋中有2个黑球、5个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（ ） A. 取到的球的个数 B. 取到红球的个数 C. 至少取到一个红球 D. 至少取到一个红球的概率 4. 已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（ ） A. 22.5% B. 30% C. 40% D. 45% 5. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 6. 函数的部分图象如图所示，是的导函数，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④ 其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 8. 已知函数，，其中，，那么“对任意的实数都有”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 是周期函数 B. 在上单调递增 C. 存在实数，使得函数的零点恰有4个 D. 若为的一条切线，则 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分,共25分,请将结果填在答纸上的相应位置.) 11. _____________.(用数字作答) 12. 人大附中数学组在中心花园举行节活动，摊位如图所示，标记为号摊位．现要从中选出3个不同的摊位作为“之幸运点”，要求所选摊位的数字编号之和等于14（代表3月14日），则共有___________种不同的选法． 13. 函数的最小值为___________． 14. 已知函数， （1）函数在上的值域为___________ （2）过存在___________条直线与曲线相切． 15. 对于数列：，实施变换得到新数列：，记作；对继续实施变换依次得到新数列，，，，最后得到的数列只有一个数，记作． （1）对于数列：，则：___________； （2）对于数列：，则___________． 三、解答题(本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.) 16. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间和极值． 17. 据国家相关部门统计，2023年华东地区、东北地区主要省份的水稻、小麦的播种面积和产量数据见下表： 水稻 小麦 播种面积（千公顷） 产量（万吨） 播种面积（千公顷） 产量（万吨） 华东 地区 江苏省 2221.0 2003.2 2389.5 1373.5 浙江省 649.0 485.3 152.6 66.4 安徽省 2500.7 1609.8 2862.7 1740.7 福建省 601.1 394.6 0.1 0.0 江西省 3383.9 2070.7 11.3 3.5 山东省 101.0 86.1 4008.9 2673.8 东北 地区 辽宁省 500.5 412.9 2.0 0.8 吉林省 828.8 682.1 5.0 1.7 黑龙江省 3268.5 2110.0 19.3 7.5 （1）从表1中的华东地区随机抽取1个省份，求该省水稻产量比小麦产量少的概率； （2）从表1的9个省份中随机抽取2个，设为水稻播种面积排在前5名且属于东北地区省份的个数.求的分布列与数学期望； （3）2023年华东地区、东北地区和华北地区主要粮食作物的播种面积及其采用新技术的播种面积占该作物总播种面积的比值（简称新技术占比率）数据见下表： 粮食 作物 播种面积 （千公顷） 新技术 占比率 粮食 作物 播种面积 （千公顷） 新技术 占比率 华东地区 水稻 9456.7 0.70 小麦 9425.1 0.60 东北地区 水稻 4597.8 0.55 玉米 13800.0 0.65 华北地区. 小麦 3184.5 0.65 玉米 9564.7 0.60 记华东地区和东北地区水稻播种总面积的新技术占比率、华东地区和华北地区小麦播种总面积的新技术占比率、东北地区和华北地区玉米播种总面积的新技术占比率分别为.依据表2中的数据比较的大小.（结论不要求证明） 18. 已知椭圆的离心率，点在上，直线与椭圆交于两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）当为何值时，为定值． II卷(共7道题，满分50分) 一、选择题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，在每小给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.) 19. 有5名同学参加唱歌比赛，若不是第1个出场，且出场顺序相邻，则这5人不同的出场顺序种数为（ ） A. 36 B. 48 C. 72 D. 120 20. 蜜蜂是“天才的数学家兼设计师”，下图是一个蜂巢的部分截面，图中竖直线段表示通道，同一高度的若干通道构成层，斜线与竖线的连接处叫交点．第层有条通道，从左至右依次为第条通道．蜜蜂从入口开始自上向下运动，在每个交点处经由左侧斜线和右侧斜线进入通道的可能性相同．蜜蜂到达第层第通道的不同路径数为．例如：，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 21. 已知函数，设，若集合，其中，则符合要求的集合的个数不可能是（ ） A. 343 B. 63 C. 27 D. 1 二、填空题(本大题共2小题,每小题5分,共10分,请将结果填在答题纸上的相应位置.) 22. 已知函数，则___________． 23. “S”型函数是统计分析､生态学､人工智能等领域常见的函数模型，其图象形似英文字母“S”，所以其图象也被称为“S”型曲线.某校生物兴趣小组在0.5毫升培养液中放入5个大草履虫，每隔一段时间统计一次大草履虫的数量，经过反复试验得到大草履虫的数量(单位：个)与时间(单位：小时)的关系近似为一个“S”型函数.已知函数.的部分图象如图所示，为的导函数. 给出下列四个结论： ①对任意，存在，使得； ②对任意，存在，使得； ③对任意，存在，使得； ④对任意，存在，使得. 其中所有正确结论的序号是___________. 三、解答题(本大题共2小，共25分，解答写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.) 24. 已知函数． （1）求在上的零点个数； （2）若，都有成立，求实数的值； （3）对于任意，当时，都存在，使得成立，其中，直接写出的值． 25. 已知有限数列的项数为，如果满足以下条件： ①； ②； ③，都有． 则称是“阶好数列”． （1）写出所有的“3阶好数列”； （2）写出一个“2026阶好数列”，满足条件：④都成立；并验证满足④； （3）从所有“阶好数列”中随机抽取一个，求抽到的“阶好数列”是等差数列的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市中国人民大学附属中学朝阳学校2025-2026学年下学期期中高二数学试卷 说明：本试卷分I卷和II卷，I卷18道题，共100分；II卷7道题，共50分. I卷、II卷共25题，合计150分，考试时间120分钟，练习日期：2026年4月22日； 学生务必将答案客在答卡上，在试卷上作无效. I卷(共18道题，满分100分) 一、选择题(本大共10小题，每小题4分，共40分，在每小给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答纸上的相应位置.) 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据求导的乘法公式，求导后直接代入求值即可. 【详解】， 所以. 故选：C. 2. 曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用导数求解曲线的切线方程，并求解出切线与坐标轴的交点坐标，最后再根据面积公式进行求解即可. 【详解】已知，得：，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，整理得. 直线与轴交于点，与轴交于点， 因此所求三角形的面积为. 故选：A 3. 袋中有2个黑球、5个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（ ） A. 取到的球的个数 B. 取到红球的个数 C. 至少取到一个红球 D. 至少取到一个红球的概率 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机变量的定义判断. 【详解】选项A的取值是一个固定的数字，不具有随机性，故A错误； 选项B取到红球的个数是一个随机变量，它的可能取值是0，1，2，故B正确； 选项C是一个事件而非随机变量，故C错误； 选项D中一个事件的概率值是一个定值而非随机变量，故D错误． 故选：B. 4. 已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（ ） A. 22.5% B. 30% C. 40% D. 45% 【答案】C 【解析】 【详解】设事件“抽到的学生喜欢文学阅读”，事件“抽到的学生喜欢科普阅读”， 由题意，， . 5. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数与函数的关系将问题转化为恒成立问题，从而得解. 【详解】因为，所以， 因为在区间上单调递减， 所以，即，则在上恒成立， 因为在上单调递减，所以，故. 故选：A. 6. 函数的部分图象如图所示，是的导函数，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④ 其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由函数图像可知函数在上单调递增，恒成立，据此可判断②④，结合函数在增长越来越缓慢即可判断①，再根据函数在点处切线的斜率小于割线的斜率即可判断③． 【详解】由图可知，函数在上单调递增，恒成立， ，故②正确；，故④错误； 且函数在上增长越来越缓慢，即可知在单调递减， ，故①正确； 如图，函数在点处切线的斜率小于割线的斜率， ，即，故③正确； 综上，正确的有①②③． 7. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 【答案】D 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】. 8. 已知函数，，其中，，那么“对任意的实数都有”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】通过结合函数解析式有，构造函数，，通过研究函数的图像结合导数的几何意义从充分性、必要性两个方面论证即可. 【详解】因为对任意的实数都成立，即， 整理得：对任意的实数都成立， 令，， 为过点的曲线，为过点的直线， 即与相交于点， ，因为且随着的增加的值也增加， 所以为向下凹的曲线， 所以函数的切线位于函数图像的下方， 当时，， 根据导数的几何意义在点处的切线的斜率为， 若，为的切线，此时恒成立， 若，直线与曲线有两个交点， 此时不恒成立，所以； 若，此时直线与曲线相切，切点为， 此时有恒成立，所以， 所以”是“”的充要条件. 故选：C 9. 甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分甲乙出牌的张数和甲乙胜负情况结合古典概率和二项分布讨论. 【详解】甲乙每次出牌1张，若两人出牌的点数都是偶数或都是奇数，则平局， 所以平局的概率， 若甲胜，则结果有、、、、、、、、，共9种， 所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为， 各出牌4次后停止游戏，若4次全平局，概率为； 若平局2次，则最后1次不能是平局， 另外2次甲全胜或乙全胜，概率为， 若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，概率为， 所以. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是分类的标准. 10. 已知函数，则（ ） A. 是周期函数 B. 在上单调递增 C. 存在实数，使得函数的零点恰有4个 D. 若为的一条切线，则 【答案】D 【解析】 【分析】假设函数是周期函数，代入特殊值推出矛盾可判断A选项，计算导函数在区间端点的符号，一正一负，说明导数有变号零点即可判断B选项，用数形结合的方法讨论的根的个数可判断C选项，设切点，利用切线过原点列方程，结合导数相等可解得斜率即可判断D选项. 【详解】若存在非零常数，使得，令，则， 即，令，则， 因为，所以，即或． 若，则，解得，舍去； 若，则，解得 ， 所以若存在非零常数，使得，则 ． 即，令，则， 而，，不符合题意． 故不存在非零常数，使得，所以A错误； 求导得  ，当 时，， 因为， 而 ，所以 ， 当  时，   ， 所以  在  内有零点（函数的极值点）， 不单调，所以B错误； 若，则的零点为，则有无数个零点， 若，则， 当时，方程无解， 当时，，作图如下， 由图象可知，有无数个解， 同理当时，有无数个解， 若，则， 当时，方程无解， 当时，，作图如下， 由图象可知，有无数个解， 同理当时，有无数个解， 综上，不存在实数，使得函数的零点恰有4个，所以C错误； 设切点，切线斜率为， 切线过原点，故 ，得或， 当时，切点，切线斜率为，不合题意， 当时，可得，即 ， 因，故， ，此时 ，所以D正确. 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分,共25分,请将结果填在答纸上的相应位置.) 11. _____________.(用数字作答) 【答案】 【解析】 【分析】由排列数、组合数计算公式即可求解. 【详解】. 12. 人大附中数学组在中心花园举行节活动，摊位如图所示，标记为号摊位．现要从中选出3个不同的摊位作为“之幸运点”，要求所选摊位的数字编号之和等于14（代表3月14日），则共有___________种不同的选法． 【答案】6 【解析】 【详解】解：根据题意，不同的选法有：共6种． 13. 函数的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，先求导，根据导函数的符号判断函数的单调性，进而求出函数的最小值. 【详解】解：由题知函数的定义域为， 则， 由，所以，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，函数在处取得极大值，在处取得极小值， 则极小值， 又当时，；当时，， 因此，该极小值即为函数的最小值，即最小值为. 14. 已知函数， （1）函数在上的值域为___________ （2）过存在___________条直线与曲线相切． 【答案】 ①. ②. 3 【解析】 【分析】（1）求出导数，判断出单调性，即可求出最值； （2）设切点为，表示出切线方程，可得出，构造函数，利用导数求出其变化情况，根据零点个数判断即可． 【详解】解：（1）， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 在处取得极大值， 在处取得极小值为， 又， 在上的值域为； （2）设切点为，则切线斜率为， 所以切线方程为， 又切线过点，则， 整理得， 则曲线切线方程的条数等价于的零点个数， ， 令解得或，令解得， 在单调递增，在单调递减， 在处取得极大值，在处取得极小值， 又， 在区间分别有一个零点， 即有3个解， 故过存在3条直线与曲线相切． 15. 对于数列：，实施变换得到新数列：，记作；对继续实施变换依次得到新数列，，，，最后得到的数列只有一个数，记作． （1）对于数列：，则：___________； （2）对于数列：，则___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据变换规则计算即可. （2）根据归纳推理可得，利用倒序相加法，化简求解即可. 【详解】（1）根据变换规则，：；所以：. （2）当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 则 ， 所以 ， 所以. 三、解答题(本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.) 16. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）递增区间为；递减区间为；极小值为，无极大值． 【解析】 【分析】（1）求导，得到，利用导数几何意义求出切线方程； （2）求定义域，求导，令，再列表分析函数的单调性，进而得到单调区间和极值情况． 【小问1详解】 易知，则，又， 则在处的切线方程为； 【小问2详解】 的定义域为，令得，， 当变化时，的变化情况如下表： 0 ↘ 极小 ↗ 所以的递增区间为；递减区间为；极小值为，无极大值． 17. 据国家相关部门统计，2023年华东地区、东北地区主要省份的水稻、小麦的播种面积和产量数据见下表： 水稻 小麦 播种面积（千公顷） 产量（万吨） 播种面积（千公顷） 产量（万吨） 华东 地区 江苏省 2221.0 2003.2 2389.5 1373.5 浙江省 649.0 485.3 152.6 66.4 安徽省 2500.7 1609.8 2862.7 1740.7 福建省 601.1 394.6 0.1 0.0 江西省 3383.9 2070.7 11.3 3.5 山东省 101.0 86.1 4008.9 2673.8 东北 地区 辽宁省 500.5 412.9 2.0 0.8 吉林省 828.8 682.1 5.0 1.7 黑龙江省 3268.5 2110.0 19.3 7.5 （1）从表1中的华东地区随机抽取1个省份，求该省水稻产量比小麦产量少的概率； （2）从表1的9个省份中随机抽取2个，设为水稻播种面积排在前5名且属于东北地区省份的个数.求的分布列与数学期望； （3）2023年华东地区、东北地区和华北地区主要粮食作物的播种面积及其采用新技术的播种面积占该作物总播种面积的比值（简称新技术占比率）数据见下表： 粮食 作物 播种面积 （千公顷） 新技术 占比率 粮食 作物 播种面积 （千公顷） 新技术 占比率 华东地区 水稻 9456.7 0.70 小麦 9425.1 0.60 东北地区 水稻 4597.8 0.55 玉米 13800.0 0.65 华北地区. 小麦 3184.5 0.65 玉米 9564.7 0.60 记华东地区和东北地区水稻播种总面积的新技术占比率、华东地区和华北地区小麦播种总面积的新技术占比率、东北地区和华北地区玉米播种总面积的新技术占比率分别为.依据表2中的数据比较的大小.（结论不要求证明） 【答案】（1）； （2）分布列如下： 0 1 2 ； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用古典概型的概率求法求华东地区随机抽取1个省份，水稻产量比小麦产量少的概率； （2）由题意可能值为，应用超几何分布的概率求法求概率，即得分布列，进而求期望； （3）根据表格分别求出各地区作物新技术占比率，比较大小即可. 【小问1详解】 由表格，华东地区6省中只有安徽省、山东省的水稻产量比小麦产量少， 所以华东地区随机抽取1个省份，水稻产量比小麦产量少的概率； 【小问2详解】 由表格，水稻播种面积最大的5个省依次为江西、黑龙江、安徽、江苏、吉林， 其中华东地区有3个，东北地区有2个，若9个省份中随机抽取2个， 水稻播种面积排在前5名且属于东北地区省份的个数可能值为， ，，， 分布列如下： 0 1 2 所以； 【小问3详解】 由表格知，，， 所以. 18. 已知椭圆的离心率，点在上，直线与椭圆交于两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）当为何值时，为定值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用离心率和椭圆上的点，结合椭圆基本关系求出标准方程； （2）联立直线与椭圆方程，用韦达定理转化目标式，消去参数使表达式为定值． 【小问1详解】 依题意知， ，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 联立，可得， 由，设． 则， 在上， ， ， 若为定值，则与无关， 故需使，解得，此时． II卷(共7道题，满分50分) 一、选择题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，在每小给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.) 19. 有5名同学参加唱歌比赛，若不是第1个出场，且出场顺序相邻，则这5人不同的出场顺序种数为（ ） A. 36 B. 48 C. 72 D. 120 【答案】A 【解析】 【详解】将和视为一个整体（内部有种排列），则总共有个元素：捆绑体、、、， 全排列数为  种， 再排除在第位的情况：此时固定在第位，剩余个元素（捆绑体、、）的全排列为  种， 因此符合条件的排法为 种. 20. 蜜蜂是“天才的数学家兼设计师”，下图是一个蜂巢的部分截面，图中竖直线段表示通道，同一高度的若干通道构成层，斜线与竖线的连接处叫交点．第层有条通道，从左至右依次为第条通道．蜜蜂从入口开始自上向下运动，在每个交点处经由左侧斜线和右侧斜线进入通道的可能性相同．蜜蜂到达第层第通道的不同路径数为．例如：，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知，，，且，可推得，利用组合数求解即可. 【详解】由题意知，，，且. 结合杨辉三角的性质和及递推关系可得， ，所以，即. 因为，，，，， 所以可能取到0,1,2,7,8,9，所以解集为. 21. 已知函数，设，若集合，其中，则符合要求的集合的个数不可能是（ ） A. 343 B. 63 C. 27 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】对求导，分析函数的性质，由对应取值的情况分类讨论求出的个数即可. 【详解】，令，即，解得或. 当或时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 则在处取得极大值，即；在处取得极小值，即. 因此对应取值可以是1个、2个或3个，且当或时，取值只有1个； 当或时，取值只有2个；当时，取值有3个， 若，，对应的根的个数均为1时，则符合要求的集合的个数为1；故D有可能； 若，，对应的根的个数为1，1，2，则符合要求的集合的个数为； 若，，对应的根的个数为1，1，3，则符合要求的集合的个数为； 若，，对应的根的个数为1，2，2，则符合要求的集合的个数为； 若，，对应的根的个数为1，2，3，则符合要求的集合的个数为； 若，，对应的根的个数为1，3，3，则符合要求的集合的个数为； 若，，对应的根的个数为2，2，3，则符合要求的集合的个数为；故B有可能； 若，，对应的根的个数为2，3，3，则符合要求的集合的个数为； 若，，对应的根的个数为3，3，3，则符合要求的集合的个数为；故A有可能. 对于C：，这要求对应的的个数均为2. 而仅当为极大值或极小值1时，方程才有2个解，无法找到3个不同的值满足此条件， 故集合的个数不可能是27. 二、填空题(本大题共2小题,每小题5分,共10分,请将结果填在答题纸上的相应位置.) 22. 已知函数，则___________． 【答案】2 【解析】 【详解】 ． 23. “S”型函数是统计分析､生态学､人工智能等领域常见的函数模型，其图象形似英文字母“S”，所以其图象也被称为“S”型曲线.某校生物兴趣小组在0.5毫升培养液中放入5个大草履虫，每隔一段时间统计一次大草履虫的数量，经过反复试验得到大草履虫的数量(单位：个)与时间(单位：小时)的关系近似为一个“S”型函数.已知函数.的部分图象如图所示，为的导函数. 给出下列四个结论： ①对任意，存在，使得； ②对任意，存在，使得； ③对任意，存在，使得； ④对任意，存在，使得. 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】①② 【解析】 【分析】根据函数的图象可刻画出导函数的图象，再根据导函数和原函数的图象特征逐个判断后可得正确的选项. 【详解】根据函数的图象可得导函数的图象（如图所示）， 设导数在取最大值，结合的图象可知， 且当时，为增函数，在上为减函数， 对于①，任意，取，则有，故①成立. 对于②，设，由图象的性质可平移直线至处， 此时平移后的直线与图象相切，且，取， 故，故②正确. 对于③，取如图所示的，设，，过作横轴的平行线， 交的图象于，由函数的图象特征可得， 取，则，故③不成立. 对于④，取（为①中最大值点）， 则过的切线“穿过”曲线，曲线上不存在与该切线平行的割线， 否则与导数存在唯一的最大值点矛盾，故④错误. 故答案为：①②. 【点睛】思路点睛：在导数问题中，如果知道原函数的图象，则可以根据切线的变化刻画出导数的图象，从而可研究与导数或原函数性质有关的命题判断. 三、解答题(本大题共2小，共25分，解答写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.) 24. 已知函数． （1）求在上的零点个数； （2）若，都有成立，求实数的值； （3）对于任意，当时，都存在，使得成立，其中，直接写出的值． 【答案】（1）在上恰有一个零点． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求导，分与判断，从而得到在给定区间上单调递增，再结合端点函数值与零点存在定理确定零点个数． （2）构造，由且推出是的最小值点，再由先求出的必要值，最后验证时恒成立． （3）先求在上的值域为，再把题设转化为集合关于某个常数和的配对问题，由确定即可． 【小问1详解】 因为，所以． 当时，，，所以， 当时，，，所以． 因此在上单调递增．又，， 且在上连续，所以在上存在一个零点． 由于在上单调递增，所以该零点唯一． 故在上恰有一个零点． 【小问2详解】 令．由题意，，都有． 又，所以是的最小值点． 因为在上可导，所以． 由，得， 解得．下面验证时满足题意． 当时，，． 当时，，，所以，于是在上单调递减． 当时，需证明，即证明． 若，则，且 设 ，则 ， 所以是增函数，又，所以 ， 所以，故； 若，则， 设 ，则 ， 所以在时， 是增函数， 又 ，所以，故仍有． 所以当时，，于是在上单调递增． 综上，在上单调递减，在上单调递增，所以． 因此，都有，即符合题意， 综上，实数的值为． 【小问3详解】 先求在上的值域．因为，， 所以，故的值域包含于． 下面证明中的每一个数都可以作为的函数值． 设．若，由第（1）问可知，在上单调递增， 且，当充分大时，， 所以存在，使得． 若，则．取足够大的正整数，使得． 令，，则， 且，， 构造函数，由已知得，， 由零点定理得，存在，使得，即。 所以在上的值域为． 当时，有，于是． 反过来，对任意，都有， 由的值域可知，存在，使得． 因此记，则． 题设等价于对任意，都有． 当时，的取值范围为． 要使，不能出现内的数，所以必须有． 当时，的取值范围为． 要使，也不能出现内的数， 所以必须有，即，由且，得． 当时，若，则，属于； 若，则，也属于．所以满足题意． 综上，． 25. 已知有限数列的项数为，如果满足以下条件： ①； ②； ③，都有． 则称是“阶好数列”． （1）写出所有的“3阶好数列”； （2）写出一个“2026阶好数列”，满足条件：④都成立；并验证满足④； （3）从所有“阶好数列”中随机抽取一个，求抽到的“阶好数列”是等差数列的概率． 【答案】（1）；；；. （2），（为奇数时，；为偶数时，）；（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）枚举所有可能的三元排列，验证每个位置与其值的和是否单调不减，得到四种满足条件的数列； （2）构造一个奇偶位置互换的数列，使得每对相邻两项的和不降，且任意连续三项不构成等差数列，通过分奇偶验证条件成立； （3）将单调不减条件转化为相邻项差不超过，利用最大值的位置建立递推，解得好数列总数为的次方，其中只有递增和递减两个等差数列，从而概率为除以总数. 【小问1详解】 ；；；. 【小问2详解】 存在：，即为奇数时，； 为偶数时，； 条件④的验证：当为奇数时，，，，，，成立； 当为偶数时，，，，，， 成立； 所以存在数列：，符合题意． 【小问3详解】 先证明条件③等价于恒成立， 若③成立，令，则； 若，都有成立， 则时，， 因此条件③等价于“，都有成立”． 设项数为的“好数列”的总个数为，所以，下面我们来求． 因为是的一个排列，考虑在数列中的位置，设， （i）因为，则，则， 同理可求出； （ii）因为，则自然成立，由（i）知，， 因此是一个“阶好数列”，其总个数为； 所以当时，“阶好数列”有个； 当时，“阶好数列”的个数为1； 根据上述讨论，，同理，都有， 设前项和为，则，所以， 作差可得当，，即，又，且， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列，则，所以． “阶好数列”中的等差数列显然只有和这两种， 所以所求概率为． 【点睛】将单调不减条件转化为相邻项差不超过，从而最大值的位置决定数列的走向，由此建立递推关系得到好数列总数，这是解题的核心. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $