精品解析：甘肃兰州市第二十七中学2025-2026学年第二学期期中考试试题高一数学

兰州27中2025—2026学年第二学期期中考试试题 高一数学 注意事项： 1．考试时间：120分钟，满分150分. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3．回答选择题时，选出答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知数据的分位数是7，则实数（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】利用百分位数的定义计算. 【详解】共个数，，则第分位数是第个和第个数的平均数， 因为第分位数是，则必有一数小于，一数大于， 故，得. 故选：C 2. 函数的最小正周期和最大值分别是（ ） A. 和2 B. 和 C. 和 D. 和2 【答案】C 【解析】 【分析】根据辅助角公式，可得，再根据正弦函数的性质，即可求出结果. 【详解】因为， 所以函数的最小正周期为； 又，所以 所以函数的最大值为. 故选：C. 3. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底表示即可得解. 【详解】因为，所以， 则， 因为，所以，即， 则. 4. 在中，内角所对的边分别是．已知，则B的大小为（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120° 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用正弦定理计算得到答案. 【详解】根据正弦定理：得到， ，故或. 故选：D. 【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力. 5. 已知向量和满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由已知，所以， 故向量在向量上的投影向量为. 6. 某企业对目前销售的四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如下饼图： 下列说法不正确的是（ ） A. 产品升级后，产品的营收是升级前的4倍 B. 产品升级后，产品的营收是升级前的2倍 C. 产品升级后，产品的营收减少 D. 产品升级后，产品营收的总和占总营收的比例不变 【答案】C 【解析】 【分析】设产品升级前的营收为，升级后的营收为．然后对升级前后的各类产品进行逐项分析即可. 【详解】设产品升级前的营收为，升级后的营收为． 对于产品，产品升级前的营收为，升级后的营收为， 故升级后的产品的营收是升级前的4倍，A正确． 对于产品，产品升级前的营收为，升级后的营收为， 故升级后的产品的营收是升级前的2倍，B正确． 对于产品，产品升级前的营收为，升级后的营收为， 故升级后的产品的营收增加了，C不正确． 产品升级后，由两个图形可知产品营收的总和占总营收的比例不变，故D正确． 故选：C. 7. 设的三个内角，向量，，若，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：因为向量，，若 ， 解得为选C 8. 某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，则，在中，列式运算得解. 【详解】，， ，则， 在中，， ，即. 所以该雕像的高度约为4m. 故选：A. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量是否共线，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，假设，则使得， 因为不共线得且，则无解， 故，不共线可作为一组基底； 对于B，因为，所以，不能作为基底； 对于C，因为，所以，不能作为基底； 对于D，假设，则使得，则因为不共线得且，则无解，故和不共线可作为一组基底. 故选:BC. 10. 在某次数学练习中，高三班的男生数学平均分为120，方差为2，女生数学平均分为112，方差为1，已知该班级男女生人数分别为25、15，则下列说法正确的有（ ） A. 该班级此次练习数学成绩的均分为118 B. 该班级此次练习数学成绩的方差为16.625 C. 利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取5名男生 D. 从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率为 【答案】BCD 【解析】 【详解】在班级中男生所占比例为，女生所占比例为 A选项，，故A错误； B选项，，故B正确； C选项，应抽取名男生，故C正确； D选项，先从班级中选择1人，有种方法，再从剩余人数中选择1人，有种方法， 故从该班级随机选择2人共有种方法， 同理，从该班级随机选择2个男生，共有种方法， 故至少有1名女生的概率为，故D正确. 11. 在中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，则（ ） A. B. 向量，夹角的最小值为 C. 内角A的最大值为 D. 面积的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量的运算法则结合余弦定理得到，根据均值不等式得到，计算，得到AC正确，B错误，利用面积公式得到，得到答案. 【详解】，，故A对； ，，当且仅当时取等，，，即，故B错，C对； ，故D错. 故选：AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，请将答案填在答题卡对应的位置） 12. 已知男、女生共有200人，其中女生有80人，按性别采用分层随机抽样的方法从这200人中抽取25人，则这25人中男生有___________人． 【答案】15 【解析】 【分析】根据分层随机抽样的定义求解即可. 【详解】由题意，男、女生共有200人，其中女生有80人，则男生有120人， 按照分层随机抽样的方法，男生应该抽取人． 故答案为：15. 13. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】由题意，可根据向量运算法则得到，从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值． 【详解】由题意及图，， 又，所以， 所以， 又，所以，解得m，t． 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，角是以为顶点，轴为始边，若角的终边过点，求_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数定义，结合和角公式与二倍角公式化简求解即可. 【详解】解：角的终边过点，∴，， ∴. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 从广安市某中学校的名男生中随机抽取名测量身高，被测学生身高全部介于cm和cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，...，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人. （1）求第七组的频率； （2）估计该校名男生的身高的中位数。 （3）若从样本中身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，求抽出的两名男生是同一组的概率. 【答案】（1）0.06；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）第六组的频率为0.08，结合频率之和为1即能求出第七组的频率； （2）身高在第一组的频率为0.04，身高在第二组的频率为0.08，身高在第三组的频率为0.2，身高在第四组的频率为0.2，由此能估计这所学校的800名男生的身高的中位数； （3）分别求出第六组和第八组的人数，利用列举法列出从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生的总的方法，再根据古典概型的概率公式解之即可. 【详解】（1）第六组的频率为， ∴第七组的频率为：. （2）身高在第一组的频率为， 身高在第二组的频率为， 身高在第三组的频率为， 身高在第四组的频率为， 由于，， 估计这所学校的800名男生的身高的中位数为， 则，由， 解得， ∴可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为. （3）第六组的人数为4人，设为，，，， 第八组的人数为2人，设为，， 则从中抽两名的情况有，，，，，，，，，，，，，，共15种， 其中抽出的两名男生是在同一组的有，，，，，，共7种情况，故抽出的两名男生是在同一组的概率为. 【点睛】本题考查频率、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题. 16. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求坐标； （2）若为单位向量，且，求与的夹角. 【答案】（1）或者 （2） 【解析】 【分析】（1）设，由已知条件，列方程组求未知数； （2）由，求出，可得与的夹角. 【小问1详解】 设，由已知可得， 解得或， 所以或者. 【小问2详解】 由已知，. 由得， 即，即，所以， 所以. 因为，，故. 17. 在中，内角所对的边分别为a，b，c; （1）若， ， ，求; （2）已知，，．求c； 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理计算边长即可； （2）由题可得，即，再由余弦定理计算边长即可． 【小问1详解】 在中，， ， ， 由余弦定理得，， 所以； 【小问2详解】 ∵，∴， ∵，∴， 由余弦定理可得，即， 即，解得（舍去）或， 故． 18. 已知中，内角的对边分别为，且满足. （1）若，求的值； （2）求角的最大值，并判断此时的形状. 【答案】（1） （2），等边三角形 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理导出； （2）用余弦定理结合基本不等式可求出角最大值，再根据等号成立条件判断三角形形状. 【小问1详解】 中，由正弦定理得 【小问2详解】 中，由余弦定理得，当且仅当时，等号成立， 的最大值为，此时基本不等式等号成立，即， 为等边三角形. 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为边上一点，且满足． （1）证明：； （2）若为内角A的平分线，且，求． 【答案】（1）证明：记的中点为，则， 因为，所以， 所以为的垂直平分线，所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）记的中点为，利用向量运算证明即可； （2）先根据向量关系得，再由角平分线定理可得，分别在使用余弦定理可得，再在中利用余弦定理求，然后由平方关系可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记， 因为，所以， 所以，， 又为内角A的平分线，所以，， 在中，分别由余弦定理得： ， 联立可得， 在中，由余弦定理得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州27中2025—2026学年第二学期期中考试试题 高一数学 注意事项： 1．考试时间：120分钟，满分150分. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3．回答选择题时，选出答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知数据的分位数是7，则实数（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 函数的最小正周期和最大值分别是（ ） A. 和2 B. 和 C. 和 D. 和2 3. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，内角所对的边分别是．已知，则B的大小为（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120° 5. 已知向量和满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 某企业对目前销售的四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如下饼图： 下列说法不正确的是（ ） A. 产品升级后，产品的营收是升级前的4倍 B. 产品升级后，产品的营收是升级前的2倍 C. 产品升级后，产品的营收减少 D. 产品升级后，产品营收的总和占总营收的比例不变 7. 设的三个内角，向量，，若，则=（ ） A. B. C. D. 8. 某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 10. 在某次数学练习中，高三班的男生数学平均分为120，方差为2，女生数学平均分为112，方差为1，已知该班级男女生人数分别为25、15，则下列说法正确的有（ ） A. 该班级此次练习数学成绩的均分为118 B. 该班级此次练习数学成绩的方差为16.625 C. 利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取5名男生 D. 从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率为 11. 在中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，则（ ） A. B. 向量，夹角的最小值为 C. 内角A的最大值为 D. 面积的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，请将答案填在答题卡对应的位置） 12. 已知男、女生共有200人，其中女生有80人，按性别采用分层随机抽样的方法从这200人中抽取25人，则这25人中男生有___________人． 13. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______. 14. 在平面直角坐标系中，角是以为顶点，轴为始边，若角的终边过点，求_________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 从广安市某中学校的名男生中随机抽取名测量身高，被测学生身高全部介于cm和cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，...，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人. （1）求第七组的频率； （2）估计该校名男生的身高的中位数。 （3）若从样本中身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，求抽出的两名男生是同一组的概率. 16. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求坐标； （2）若为单位向量，且，求与的夹角. 17. 在中，内角所对的边分别为a，b，c; （1）若， ， ，求; （2）已知，，．求c； 18. 已知中，内角的对边分别为，且满足. （1）若，求的值； （2）求角的最大值，并判断此时的形状. 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为边上一点，且满足． （1）证明：； （2）若为内角A的平分线，且，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $