第一章 直角三角形的边角关系 章节同步练习-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

**基本信息** 聚焦直角三角形边角关系，通过基础、能力、拓展三级进阶，系统覆盖三角函数概念、解直角三角形及几何综合应用，体现从概念生成到原理推导再到应用拓展的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础达标|选择8/填空4/解答3|侧重三角函数定义直接应用，结合仰角、坡度等简单实际问题|以三角函数概念为起点，通过直角三角形性质巩固边角比关系| |能力提升|选择5/填空2/解答3|融入尺规作图、动态几何及折叠旋转等变换，强化中档综合应用|从静态计算过渡到动态情境，深化边角关系在几何变换中的推导应用| |拓展培优|选择3/填空2/解答2|综合等腰梯形、正方形等图形性质，涉及多知识点融合的复杂问题|实现知识迁移，构建三角函数与平面几何的综合应用体系|

直角三角形的边角关系章节同步练习 好题冲关 基础达标 一、选择题 1.如图，小明在点C处测得树顶端A的仰角为a,且BC=I0米，则树高度AB为() 米 10 20 A.10tana B. D. tan a C. 10sina sina 【答案】A 【详解】解：：小明在点C处测得树顶端A的仰角为a,且BC=10米， tana ABAB BC10, 即树高度AB为l0tana米， 2图.在R△0C中，点n是斜边1C的中点，连接0：者0-gD- 2,则 sinC的值为() 8 A.17 、8 B.15 c 15 D. 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AC，计算即可： 1/55 【详解】解：：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是斜边AC的中点， BD-T4C, 2 ,0-, AC=17, AB=8, .sinC=4B 8 AC17 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13,AC=12,则tanM的值为() B A 12 2 c.5 5 A.12 B.13 0. 【答案】A 【分析】根据勾股定理可求出BC的长，再根据正切的定义解答即可. 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13,AC=12, .BC=AB2-AC2=5 &anA=BC、5 AC12· 4.如图，在口ABCD中，∠ABD=30°，则sin∠BDC=() A B √ A.2 B.2 C.2 D.3 【答案】A 【详解】解：：在□ABCD中，AB∥CD, ∠BDC=∠ABD=30°， 2/55 sin∠BDC=sin30°=J 2 5.如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由 四个全等的直角三角形和一个小正方形组成.在正方形ABCD中，AB=20,下列三个结 论：①若an∠CBH= 4,则GH=4:②若RIADE的面积是正方形EFGH面积的3倍， 则点E是DF的三等分点；③将△ABG绕点A逆时针旋转90°得到△ADG,则BG'的最大 值为10W5+10 其中正确的结论是() D ①② ①③ ②③ ①②③ B. C. D 【答案】D 【分析】根据∠CBH的正切值，结合勾股定理可求出GH的值，即可判断①；根据△ADF 的面积与正方形EFGH面积之间的关系，得出关于EF和DF的方程，即可判断②；得出 点G的运动轨迹，根据勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质即可判断③。 【详解】解：在ABCH中，an∠CBH== BH 4' 设CH=3x,BH=4x,则BC=VCH+BH=V3x2+(4x2=5x, 四边形ABCD是正方形，AB=20, .BC=AB=20, .5x=20,解得x=4, ∴.CH=12,BH=16, :外部的四个直角三角形全等， :.BG=CH=12, ∴.GH=BH-BG=16-12=4,故①正确. :Rt△ADF的面积是正方形EFGH面积的3倍， 3/55 24FDF-3ER2 AF=DE=DF-EF, (DF-EFDE=3EF2 整理得，6EF2+EFDF-DF2=0, 6x EFEF-DF DP2 (EFEF DF2+- DDp=0,即6 -1=0 DF EF 1 解得DF=3(负值已舍去)， ·点E是DF的三等分点，故②正确， 由旋转可知，∠AG'D=∠AGB=90°， 点G在以AD为直径的圆上，如图，取AD的中点O,连接BM,GM, 6W=4M-0=10, 在RtABM中，BM=VAM+AB2=V02+202-10N5 当点8，M,G共线时，BC取得最大值，此时BG=10N5+10,放③正确 综上，正确的结论是①②③， 6.如图1，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的 长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图2所示，下列结论不正确的是() 4/55 1 图1 01234 图2 A.AB=2 B.tan∠BAC=号 C.BC=23 D.AB2+BC2=AC2 【答案】B 【分析】分析当点P在点A处、点P到达AC边高(BH)的位置、点P到达点C处，P点 的位置对应2个图中的位置关系，即可求解. 【详解】解：如图，过点B作BH⊥AC于点H, B P 图1 ①当点P在点A处时，即当AP=0时，AB=2, ②当点P到达AC边高(BH)的位置时，AH=1,此时BP最小，即 BH=VAB2-AP=√5 ③当AP=4时，点P对应图2末端x=4时，即AC=4,则HC=AC-AH=4-1=3, BC=VBH2+HC=5+32=25, 22+23=42, AB+BC=AC ∴.△ABC是直角三角形，∠ABC=90°， tan∠BAP= C25.5 AB 2 5/55 综上所述，选项A、C、D正确，不合题意：选项B错误，符合题意. 故选：B 7.小亮将4根长度相等的木棒依次首尾相连，钉成了一个四边形，他先将该四边形“直 立”为正方形（图1），再将其向左“推倒”为含60°角的菱形（图2），则该四边形从正 方形变成菱形后描述正确的是() 向左推 图1 图2 A.内角和增加180° B.周长变大 C.面积不变 D.两条对角线的和变小 【答案】D 【分析】设1根木棒的长度为a,如图①，连接AC,BD,再分别计算正方形，菱形的周 长，面积，对角线的长，再逐一判断即可 【详解】解：设1根木棒的长度为a,如图①，连接AC,BD, 向左推 图① 图② ∴正方形ABCD的内角和为360°，周长为4a, 面积为4，AC=BD=V2a .AC+BD=2v2a 如图②，菱形4B,CD的内角和 360°，周长为4a, 连接4C与交于点0 :四边形 AB,CD是菱形， ∠B,AD=60° △ABD 是等边三角形， 6/55 ~AG和BD是菱形 BCD 的对角线， BD与AG互相垂直且平分， 在R△4B0中，4B=a,∠B40=)∠B4D=30, 2 80-48=号40-aw0-9。 a, :.AC=240=3a BD=2BO=a C5e+d S-ACBD ， a2>2 菱形 ABCD 的面积小于正方形ABCD 的面积， :2v2a>a+a 菱形 ABCD 对角线的和小于正方形1BCD对角线的和. 8.如图，在矩形8CD中，B=2,BC=25,E是8C的中点，将1BE沿直线翻 折，点B落在点F处，连接CF,则sin∠ECF的值为() V10 5 2W5 A.3 B.4 C.3 D.5 【答案】A 【分析】利用翻折的性质，以及外角定理证得∠AEB=∠ECF,进行角度转换即可求出结 果 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， 7/55 .DB=90°， :E是BC的中点， BC=2V5 BE=CE=5 ∴AE=√AB2+BE=22+V5=3. 由翻折变换的性质得：∠AEF=∠AEB,EF=BE=V5 ∴EF=CE, ∠EFC=∠ECF, '∠BEF=∠EFC+∠ECF, ∠AEB=∠ECF, sin∠ECF=sin∠BEA=AB_2 AE3· 二、填空题 9.计算：（-)'+an45°= 【答案】0 【分析】先根据有理数乘方的运算法则计算-1刂°，再代入特殊角的锐角三角函数an45°的 值，计算求和即可得到结果 【详解】解： (-1)3+tan45°=-1+1=0 10.2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习.如图， 一位同学乘滑雪板沿坡度为=3：4的斜坡行进200米，则他下降的高度为米。 【答案】120 【分析】本题主要考查坡度比，勾股定理，熟练掌握坡度比是解题的关键.设下降的高度 为3x,故水平宽度为4x米，根据勾股定理进行计算即可. 8/55 【详解】解：坡度为i=3:4的斜坡， 故设下降的高度为3x,故水平宽度为4x米，x>0, ∴.(3x)2+(4x)2=2002 解得x=40: 故下降的高度为3x=3×40=120米. 故答案为：120 11.如图，在矩形ABCD中，E是边BC的中点，AE⊥BD,将△BCD沿BD折叠，点C 落在点F处，则tan∠ADF= (常案1号 【分析】令BF与AE的交点为M,与AD的交点为N,AE与BD交于点P,先求出 PE BE 1 BE BM ME BEAD,推导出ABPEADP4ABB∽A4得到PD2NND 继而推导出DN=AD-AN-D,NF=BF-BM-MN-AD,根据勾股定理，求出 4 DF-DN+NF=O AD D,则tan Z ADF= ,即可解答 4 【详解】解：~四边形ABCD是矩形， AB=CD,AD=BC,AD∥BC, 令BF与AE的交点为M,与AD的交点为N,AE与BD交于点P,如图， 9/55 点是的中点， .E BC BE=BC,即BE=AD 2 AD∥BC, '.△BPEn△DPA,△BMEANMA, ·PE=BE-1.BE BM ME AP AD 2'AN MN AM 即AP=2PE, 由折叠，得BE=BM,PE=PM,BF=AD, BM=AD.AP=2PM,BF=AD 即AM=PM=PE, .ME=2AM, :.BE BM_2AM AN MN AM =2, 4ED.M4D :.DN-AD-AN-3AD.NF-BF-BM-MN-TAD, DF-VDN-NF-Y2AD. tan∠ADF=F= LAD DF 92 4 AD 2 12.如图所示，某同学练习排球扣球，已知排球网高AB为2.24米，扣球点C距离地面的 高度CD为2.8米，且CD垂直于地面.排球从C点扣出的飞行路线近似为射线CA,当该 射线与水平方向所成的夹角为16°时，球恰好擦网而过.此时，起跳点D到球网底部B的 水平距离BD为 米.（结果保留一位小数，参考数据： sin60°≈0.28，cosl6°≈0.96，tanl6°≈0.29) 10/55 C B 【答案】1.9 【分析】过点A作AE⊥CD于点E,构造矩形ABDE和直角三角形ACE,利用矩形的性 质求出CE的长，再在Rt△ACE中利用锐角三角函数求出AE的长，即可得到BD的长， 【详解】解：过点A作AE⊥CD于点E, C E64 D 由题意可知，CD⊥BD,AB⊥BD, ∴，∠CDB=∠ABD=∠AED=90°， .四边形ABDE为矩形， :AE=BD,DE AB=2.24 .CE=CD-DE=2.8-2.24=0.56, 在Rt△ACE中，∠CAE=16°， ·an<CAE=CE AE' AE=Cb-≈0.56≈1.9， tanl6°0.29 .BD≈1.9 三、解答题 13.计算、解不等式组 al-i2回+2026-小+（-an60 11/55 5x-1<3x+3 2x-1-1≥5x+1 2)3 2 【答案】(4+V5 (2)x≤-1 【分析】(1)根据特殊角的三角函数值，零指数幂，以及绝对值的意义计算即可： (2)分别求出两个不等式的解集，然后求出它们的公共部分即可. 【详解】(1)解：原式25-1+1+4-V5 =4+5 5x-1<3x+3① (2)解： 2r-1-1≥5r+1② 3 2 解不等式①，得x<2, 解不等式②，得x≤-1， ∴不等式组的解集为x≤-1 4计编：-2-2n30面+( 【答案】35-2 【详解】解，-2°-2sn30+27+( =1-2x+3W5+-2 =1-1+3V5-2 =35-2 15.某数学兴趣小组开展测量校园内旗杆高度的活动，方案如下： ·工具：测角仪、皮尺 12/55 步骤：①在旗杆底部B的水平地面上取一点C,测得BC=6m;②在C的上方D处测得 旗杆顶端A的仰角为53°；③已知测角仪的高度CD=1.5m.(参考数据：sin53°≈0.8， cos53°≈0.6，tan53°≈1.33) (1)求旗杆AB的高度. (2)若要使测量结果更准确，你认为可以采取哪些改进措施？（写出一条即可） 【答案】(1)9.5m (2)见解析 【分析】本题考查仰角问题及解直角三角形： (1)过D作DE⊥AB,根据正切公式结合仰角直接求解即可得到答案： (2)根据减小误差的常见方法直接出方案即可得到答案： 【详解】(1)解：过D作DE⊥AB, B :在D处测得旗杆顶端A的仰角为53 ∠ADE=53°， .BC=DE =6m, .AE=DE tan53°≈6×1.33≈7.98m, ∴.AB=AE+EB=AE+CD=7.98+1.5≈9.5m 故答案为：9.5m: (2)解：由题意可得，误差主要来源于角度测量和长度测量， 要使测量结果更准确要多次测量取平均值。 能力提升 13/55 一、选择题 1.如图，在口ABCD中，AB=8,以点D为圆心作弧，交AB于点M、N,分别以点M、 N为圆心，大于2MN为半径作弧，两弧交于点F,作直线DF交AB于点E,若 ∠BCE=∠DCE,DE=4,则口ABCD的周长是() D E M F米 N A.22 B.24 C.26 D.28 【答案】C 【分析】证明BC=BE,利用勾股定理求得CE的长，作DG~CE于点G,求得 G=EG-CE=2S利用aDCE=an<GC8,求得BG=5,再利用勾股定理求得 BC=5,据此求解即可. 【详解】解：由作图得DE⊥AB, 口ABCD, :AB//CD,CD=AB=8,AD=BC, ∴.DE⊥CD,∠DCE=∠BEC, ∴.CE=VDE2+CD2=V42+82=45 :∠BCE=∠DCE, ∴，∠BCE=∠BEC, :.BC=BE, 如图，作BG⊥CE于点G, D C G E M B F米 CG=EG=-CE=2/5 :tan∠DCE=tan∠GCB, 14/55 DE BG 4 BG CD CG 即82W5' .BG=5 .BC=BG2+EG2=5 口1BCD的周长-25+8)=26 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、 4C于点M和N,再分别以M,N为圆心，大于2MW的长为半径画弧，两弧交于点p 连接AP并延长交BC于点D,以下结论错误的是(). P c6米 D A.AD是∠BAC的平分线 B.∠ADC=60° S.ABD S.ACD =3:2 D.点D在线段MB的垂直平分线上 【答案】C 【分析】由尺规作图的流程可判断AD是∠BAC的平分线：根据角平分线和直角三角形的 性质可计算出 ∠ADC=60° 利用三角函数计算出BD=2CD,则S S4BD:S.4CD=3:2 错误： 容易证明AD=BD,则点D在线段AB的垂直平分线上. 【详解】解：对于A:由题干的尺规作图操作流程可知，AD是∠BAC的平分线，故A正 确： 对于B:∠C=90°，∠B=30°， .∠BAC=180°-∠C-∠B=60°， :AD是∠BAC的平分线， 2CMD=∠BAD-<B4C=30 ·∠ADC=180°-∠C-∠CAD=60°，故B正确： 15/55 对于C:在P4BC中，BC=一=34C. tan∠B 在Rt△ACD中， D=AC.tan∠0D=5Ac 3 ..BC=3CD, .BD=2CD, .S△MBD:S△4CD=BD:CD=2:1 ,故C错误： 对于D:∠B=∠DAB=30°， .AD=BD, 点D在线段AB的垂直平分线上，故D正确 3.如图，在平面直角坐标系中，口OABC的顶点O为原点，边OC在x轴上，OC=5, A-2,25 ,以点O为圆心，OB的长为半径作弧交BC于点D,点D的坐标是() A.(4, .c8)。 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质得到4B/OC,AB=OC=5,则B3,2√，过点B和点D 分别作x轴的垂线，垂足分别为E、B,则OE=3,BE2√5】 可求出CE=2 OD=OB-,解直角三角形可得∠BCE-60,则乐=5，设CF=m:则 DF DF=V5m,OF=5-m,由勾股定理得5-m2+(V3m°=V2可，解方程即可得到答案. 【详解】解：，四边形OABC是平行四边形， 16/55 ∴.AB∥OC,AB=OC=5, AB∥x轴， 点B的横坐标为2+5=3，纵坐标为25】 叫325， 如图所示，过点B和点D分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F, D E FC :0E=3,BE=2W5 ..CE=OC-OE=2 OB=V0E2+BE2=21 :m∠BCE=8能-5，OD-O8= CE ∠BCE=60°， 在R△DrC中，am∠DCF-2F=V5. CF 设CF=m,则DF=V5mOF=5-m 在Rt△ODF中，由勾股定理得OF2+DF2=OD2, 5-m2+3m=2, 解得m=2或m=2(舍去)， 。一 2, 点D的坐标为2V3】 4.某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，得 17/55 到折痕EF,把纸片展平.(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B, 得到折痕BM,同时得到线段BN,把纸片展平.下列结论正确的是() D A.4 B.BN=√2MN C.∠ABM=36° D.∠BNE=∠NBM 【答案】D 【分析】根据矩形的性质，折叠的性质得到BE=)B,由特殊角的三角函数值的计算得 到∠BNE=30°，由此逐一验证即可求解. 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， AB=CD,AD=BC,AB CD,ADIIBC∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90° 折叠， AMI ENI BC.AB=BN,AM-NM,2BAM-4BNM-90. ∠ABM=∠NBM, 1 :BE=BN, 2 BE 1 sin∠BNE= BN=2,则∠BNE=30, ∴.∠NBE=60°，∠MNE=∠BNM-∠BNE=90°-30°=60°， :∠ABM=∠NBM=号∠ABN=30,故C错误，不符合题意， ∴∠BNE=∠NBM=30°，D正确，符合题意； :AM=NM=BM,故A错误，不符合题意： itan∠MBN=tan30°=MN_-3 BN-31 BN=3MN ,故B错误，不符合题意： 故选：D. 18/55 5.如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC=8,点D在AB边上，AD=4,E是边AC上 一动点，F为△ABC内一点，且∠BFD=9O°，则线段EF的最小值为() B D A.6-3V2 8.8-4V2 c.2-1 0.22-1 【答案】A 【分析】根据题意可知点F在以BD为直径的圆弧上，取BD的中点O,作OE⊥AC于点 E,OE交圆弧于点F,此时EF取最小值，通过勾股定理可求得AB的长，从而可得BD、 OD、OA的长，再解直角三角形OAE可求得OE的长，最后根据EF=OE-OF求解即可. 【详解】解：如图，易得点F在以BD为直径的圆弧上，取BD的中点O,作OE⊥AC于 点E,OE交圆弧于点F,此时EF取最小值， 在等腰直角 中， B △ABC AC=BC=8 .AB=VAC2+BC2=V82+82=8√2 ..BD=AB-AD=82-4 :OF=0D=BD=4W2-2, :.0A=AD+0D=4+4N2-2=4V2+2 ∠A=45°， :0E=0 sind=42+2x2=4+5. EF=0E-0F=4+2-4V2-2=6-32 二、填空题 19/55 6.如图，在平面直角坐标系中，△40B的顶点4的坐标为3,0，∠408=30 ∠BAO=90°.点D在斜边OB上，如果△AOB经过旋转后与△DOE重合，那么点E的坐标 为 【答案】 3,3 【分析】先求出O1=3,经旋转后得到OE=OB=25,∠40E=60°，再利用三角函数即 可求出答案. 【详解】解：过点E作x轴的垂线段， :△10B的顶点A的坐标为3,0，∠40B=30,∠BH0=90 .OA=3, OA OB=- 3 3 Cos∠40B cos30°V5 =2V3 2 :△AOB经过旋转后与△DOE重合， .OE=OB=2W3∠E0B=∠A0B=30° .∠AOE=∠EOB+∠AOB=60°， xE=0 Ex cos∠A0E=OE×cos60°=2N5x号=V5 20/55 e=06xsin∠A0E=0 xsin60°=2V5×5-3 点E的坐标为5,3 7.如图，将菱形 BCD(60°<∠B<90)绕点A逆时针旋转得到菱形G,使得点E落在 边BC上，CD与EF相交于点H·设DH CH=a,则cosB=(用含a的代数式表示) B 【答案】20 【分析】分别延长AD、EF交于点M,作AW⊥BE于N,证明VBAE≌VGAD,推出 BE=GD,根据菱形性质证明VDMH∽VCEH,设DM=m,结合相似三角形性质推出 EC,GD,DF,结合等腰三角形性质推出MF=DM=m,再证明VAGDVMFD,利用相似 三角形性质推出BE,进而得到BN,最后根据余弦定义求解，即可解题. 【详解】解：分别延长AD、EF交于点M,作AN⊥BE于N. ! B 设菱形ABCD的边长为x, 由菱形及旋转的性质得AB=AE=AD=AG=FG=x,AD‖BC,AG∥EF, ∠BAD=∠EAG 21/55 ∴，∠BAE+∠DAE=∠GAD+∠DAE, .∠BAE=∠GAD, 在△BAE和△GAD中， AB=AD ∠BAE=∠GAD AE=AG 片△BAE≌△GAD(SAS ∴BE=GD AD∥BC, :VDMHVCEH, CH EC DH=DM=4. 设DM=m, ∴.EC=aDM=awm. ∴GD=BE=BC-EC=x-am, DF=FG-GD=x-x-am)=am .AG=AD, ∠G=∠ADG, ·AG∥EF, .∠G=∠DFM=∠ADG. :∠ADG=∠MDF, ∠DFM=∠MDF, ∴.MF=DM=m :AG∥EF, .VAGDVMFD AG GD MF DF .xx-am m am, ..x-am ax, 22/55 ∴，BE=x-am=ax AB-AE,AN L BE :.BN-IBE-Tax, 1 2 2 1 cos B BN 2 x 1 AB x-24. 三、解答题 8.郑国渠旅游风景区内的泾河大峡谷被誉为“关中第一大峡谷”，它是泾河长期冲刷切割 形成的自然景观（图1）·小晨想借助无人机测量某段峡谷的宽度，于是他进行了如下操 作：如图2，将无人机上升并飞行至峡谷上方的点C处，从C处测得峡谷边缘A处的俯角 为36.9°，测得与A处正对的峡谷边缘B处的俯角为60°(A,B,C三点在同一竖直平面 内，A,，B在同一水平线上)，并测得点C到点A的距离为100米，求该段峡谷两端A, B的距离.（结果保留整数）.（参考数据：sin36.9°≈0.60，c0s36.9°≈0.80， tan36.9°≈0.752≈1.41V3≈1.73 C 36.9X 760 B 图2 【答案】115米 【分析】连接AB,过点C作CD⊥AB于点D,利用锐角三角函数求解。 【详解】解：如图所示，连接AB,过点C作CD⊥AB于点D, 23/55 36.9 60 D 图2 .∠ADC=∠BDC=90°， 根据平行线的性质可得，∠A=36.9°，∠B=60°， ·CD=AC.sin∠A≈100×0.60=60（米）， AD=AC.cos∠A≈100×0.80=80（米）， BD=CD≈60-20N5≈35 tan∠B√3 (米)， .AB=AD+BD=80+35=115(米). 9.如图，是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中点A、B、 C都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个作图不超过三条线。 图1 图2 (1)在图1中，作△ABC的高BM; 2在图2中，在C上面点p,使行m∠FAC- 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】(1)设与AC相交的格点为M,可知△BB'M≌△MAA,可证明BM⊥AC: 24/55 PE EC 1 (2)取格点p,连接CP,连接AP交BC于点F,由图知CD=DA3 PC PE 1 ∠PEC=∠ADC=90,可得PECACDA'得到CACD-3,∠PCE=∠CAD, 可得出 ∠ACP=180°-∠PCE-∠ACD=180°-∠CAD-∠ACD=90°，进而即可得出 tan∠FAC=PC-I CA3· 【详解】(1)解：如图，点BM即为所求； B 人 图1 (2)解：如图，点F即为所求： D 10.已知：在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线B交y轴于点4(0,5，交x轴 25/55 ☆ E B B 图1 图2 (1)求直线AB的解析式； (2)如图1，点C是线段AB上的一点，点C的横坐标是t,过点C作CD∥x轴，且点D的 横坐标为t-4,在CD的下方，以CD为斜边作等腰直角△CDE,设点E的纵坐标为d,求d 与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图2，在(2)的条件下，过点D作DP⊥x轴于点P,点F在DP上，且点P的纵坐标 5 为+5，连接Cr,过点E作EN⊥Cr于点N,交cD于点G,连接FG,并延长FG交 y轴于点H,连接1C,延长C至点Q,连接 EQ,PE∠EPO+∠CQE=90° 点K在线 段OB上， 46 连接K0,若0- 2 ,求点C的坐标. 3 【答案】(1)y= 2+5 3 2d=2+3 【分析】对于(1)，因为已知直线AB过两个定点A、B的坐标，所以可设直线的解析式 y=kx+b ,将两点坐标代入，利用待定系数法求解解析式： 对于(2)，首先因为点C在直线AB上且横坐标为t,所以可代入直线AB的解析式求出点 C的纵坐标；因为CD∥x轴且D的横坐标为t-4,所以可得点D的坐标：然后因为△CDE 是等腰直角三角形且CD为斜边，所以可利用等腰直角三角形的性质，结合坐标平移或几 26/55 何关系，推导点E的纵坐标d与t的函数关系. 对于(3)，首先根据已知条件依次求出点P、F的坐标：因为EN1CF,所以可利用垂直 ∠EPO+∠CQE=90° 关系或几何性质求出点G的坐标：再结合 利用直角三角形的性质 聚点0的学标，然后根凝P队开来出点K的华标：R后代人四09利用 3 2 两点间距离公式建立方程，求解1的值，进而得到点C的坐标， y=kx+b 【详解】(1)解：设直线B的解析式为' 10 k+b=0 3 b=5 k=-3 2 解得b=5’ 直线B的解析式为y= 2+5 2)解：当时=+5， .CDx 轴且点D的横坐标为4， -4+5 ∴.CD=t-(t-4=4 如图1，过点E作ER⊥x轴，延长RE交CD于点T,过点C作CM⊥x轴于点M, ∴.∠ERO=∠DTE-∠CMO=90°， .∠RTC=180°-∠DTE=90°， 四边形CTRM是矩形， 27/55 ·TR=CM=-3 +5 在Rt△CDE中，CE=DE,ET⊥CD, T=CT=2CD=2,∠EDC=∠DCE ∴.∠TEC=90°-∠TCE=45°=∠TCE, ..ET=CT=2. d=ER=RT-ET=-3 1+5-2=- 21+3 y7 D E B RO M 图1 3)解：图2，令CD与箱的交点为点S,延长0交精于点乙过点0作O1销 HO 于点L. H D G E RO 图2 r=Dp-F=+5-(+ :EN⊥CF, .∠CNG=90°， .∠DCF+∠CGE=90°， 又：∠GET+∠CGE=90°， ∠DCF=∠GET, 28/55 ☆ .tan∠DCF=tan/GET, 在R1△CDF中，an∠DCF=D5={ CD 4' 在RAEG7中，tan∠GET=G7-G7 ET-2, :‘G7 42 :Gr=1 2 06=0r-Gr-2-.G5=cG-=0T+G7-c=2+7-1=2 2, ..DG=GS CD‖x轴， ∴.∠HSG=∠HOP=90°，∠FDG=180°-∠DPO=90°， ·.∠HSG=∠FDG 又：∠DGF=∠HGS, .△DFG≌△SHG, ∴.HS=DF=t=SC :.HC=VHS2+SC2=V2t∠0HC=∠SCH=45° :.∠HCE=∠HCS+∠DCE=90°， ∴∠EC9=90° .∠CEQ+∠CQE=90°， 又：∠EPO+∠CQE=90°， .∠CEQ=∠EPO, .tan∠CEQ=tan∠EPO ∠DPO=∠PRT=∠DTR=90°， 四边形DPRT是矩形， :PR=DT=2. 在RIACDE中，CE=CD,sin∠DCE=22 t+3 在 PR中，tan∠EPo=ER- -3t+6 RAEP PR 2 4 29/55 在RtECQ中，tan∠CE0-Ce-Cg CE2√2， -3+6.Cg 422 c0G+5 ÷i0=CH+c0-2,+32 2 :∠Z=90°-∠SHC=45°=∠OHZ, n=oH=(+5 0=n-0=+}是+=25 ∴LZ=QL=2. 0L-o-4523, :0K=PK-0P=-31+6-(4-= 1 1+2, 2 k1-0o-号+3(g2小1 在Rt△KQL中，KQ=VKE+Q亚=VP+2=√5 :H0-0k0-s2.21+35 2 2 2 .t=1, 1+5=7 3 2· c 拓展培优 30/55 一、选择题 1.下列说法中，错误的是() A,顶角为45 的等腰三角形，底角的正切值为1+5 B。顶角为的等腰三角形，底角的正切值为2+5 30° C.所有内角含72°的等腰梯形，对角线一定和下底相等 D.平行四边形对角线分得的四个小三角形面积相等 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，等腰梯形的性质，平行四边形等性质，根据等腰三角形 的三线合一，特殊角的三角函数值判断A,B,等腰梯形的性质，判断C,平行四边形的性 质，判断D ∠BAC=45°，AB=AC,AD⊥BC 【详解】解：A、如图， 在D 上取点E,连接E,使 AE=BE'则：∠BAD=5∠BAC=22.5°，∠ABE=∠BAE=22.50, E B D .∠BED=∠BAD+∠ABE=45°， BE-2BD DE=BD :AE=BE=2BD :4D=AE+DE=+1BD tan∠ABC=AD BD √2+1：故该选项正确： ∠BAC=30°，AB=AC,AD⊥BC B、如图， ,在D上取点5，连接E,使E=BE,则 31/55 ∠BAD=)∠BAC=15°，∠ABE=∠BAE=15, A E B D ,∠BED=∠BAD+∠ABE=30°， :BE=2BD DE=3BD ∴.AE=BE=2BD， AD=4E+DE=3+2 BD tan∠ABC=AD BD √3+2；故该选项正确： ABCD CD∥AB,LBAD=∠B=72°，AD=BC.CG⊥AB C、如图，等腰梯形 ,作 CE∥AD AB=a,CD=b,CG=h ,设 D EG B 则四边形ADCE为平行四边形， CE=AD=BC,AE=CD=b ∴△CEB为等腰三角形， ,CG⊥AB, EG-BG-1BE-(AB-AE)-(a-b), 4G=A+8G=a+1,CG=a-创-am72。 32/55 AC2=4G+CG2 (a+b)2.(a-b)2 4 4 tan272°， 当AC=AB时，则：4 a+b2,a-月tam272e=d。 4 整理，得：(a-b)·tan272=4a2-(a+b2 当a,b满足a-b'an72°=4a-(a+时，即a,b成特定的比例时，对角线才和下底相 等， 故对角线和下底不一定相等：故该选项错误： D、如图，四边形ABCD为平行四边形，则：OD=OB, D B 1 1 1 S.4BD= 1 ∴SA0B=S40D= 4 2 4 .S4o8=S0m=S.cos=S.co0,故该选项正确； 故选C. 2.如图，在正方形BCD 中，B=3 2,点E,F分别在线段1B,BC上， AE=CF=√ ,连接E,AC.过点E,F分别作线段AC的垂线，垂足分别为G,H.动 点P在△ACD内部及边界上运动，四边形EFHG,△PEG,△PEF,△PFH,△PGH的面 So,STS2 S3S4 3S=S,+S2+S3+S4 积分别为. 4，若点P在运动中始终满足： 则满足条件 的所有点P组成的图形长度为() 33/55 A.2 B.3元 C.4 D.2r 【答案】A 【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理以及点的轨迹， 由正方形的性质得4C=6,1G=CH=1求出GE=1,GH=4,求出5，=4 根据图形得 +5,+8=S+5,根据3双=S+5,+5+5得9，=4，可得点P的运动轨选是△4CD中 平行于AC的一条线段MN,取AC的中点O,连接OD交MN于点Q,根据三角形面积公 式求出①=2，得到D2=1,从而求出MN=2. 【详解】如图， N 在正方形ABCD ，AD=CD=AB=BC=32∠BAC=∠BCA=450 4C=VAD+CD=32+32=6: EG⊥AC,FH⊥AC .∠EGA=∠EGC=∠FHC=∠FHG=90°， .∠AEG=∠HFC=45°， △AGE,AHFC 为等腰直角三角形， AG=GE,HC=HF, 34/55 .AE=CF= ∴由勾股定理得AG=GE=HC=HF=1,BE=BF,GH=AC-AG-CH=4, .∠BEF=∠BFE=45°， ∠GEF=45°， ·∠GEF=180°-45°-45°=90°， 又∠EGH=∠FHG=90°， ∴四边形GEFH是矩形， ,S,=EG×GH=1×4=4 又9+从+8=S,+3 3So=S,+S2+S3+S4 而 04 :动点P在△ACD内部及边界上运动， ∴点P的运动轨迹是△ACD内部及边界上平行于AC的一条线段MN,则△DMN是等腰直角 三角形，如图， 取4C的中点0连接OD交MN于点Q,则D0=4C=3, 5-cx00=4, 00=2 D0=OD-O0=3-2=1 .MW=2,即点P组成的图形长度为2， 故选：A 3.如图，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=3,AD=2,BC=4,CE为∠DCB的平分线 交AB于E,以B为圆心，BA为半径的圆交CE于F,延长BF交DC于G,,连接DF,则 下列命题正确的数量为() 35/55 B (1)点F在以D为圆心，DF为半径的圆上；(2)ED=EF:(3)ED∥BG;(4) DG⊥BG:( )平行四边形EDFB:(6)EF:FC=4:3:(7)©os∠ABC= A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】由点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，故(1)描述正确：如图，过A作 41⊥BC于1，过D作m⊥BC于J证明8r2DCy:可得B1=X4-2到-1， 可得eos∠ABC了，故(7)正确，如图，延长BM'CD交于点p延长CE交DA的延长 线于V,过E作OM1Bc手M,交D4于0，过F作FRL8c于R,过P作PLD于 $,再进一步逐项分析即可。 【详解】解：点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，故(1)描述正确： 如图，过A作AI⊥BC于I,过D作D)⊥BC于J, E 等腰梯形ABCD,AB=CD=3,AD=2,BC=4, AD∥BC, ∠IAD=90°=∠AIJ=∠DJI, 四边形AWD是矩形， ..AD=IJ=2,AI=DJ, ∠AIB=∠DJC=90°， △ABI≌△DCJ, 36/55 B1=CJ=x4-2=1,AI=3-下=22， 1 ∴co∠ABC=3,故(7)正确， 如图，延KB1,CD交于点P,延长C5交D1的延K线于N,过E作OM1BC于M,交 DA于O,过F作FR⊥BC于R,过P作PS⊥AD于S, N.- OA S B :AD∥BC,CE平分∠DCB, QM⊥ADDN-DBCE∠BCE-∠DCE△AENABEC ANAE DN -DDCN' BC BE' DN=DC=3,AW=3-2=, AE 1 六BE4,而AE+BE=3, AE=3 BE=12 5 COSDABC =BM1 BE 3 M EM -1BE.BM8 5, 结合(7)可得： QM =AI=2 0E=22.82-22 5 5, 37/55 0=√AE-Qr 55, DE -VOE OD-129 tanDN -OE -=tanDBCE 5 NO 2 EM2 .CM2, ..CM=16 CE=√EMF 4CM_8N6 5, , FR2 同理：RC2, 设FR=2x,则RC=2x, BR=4-2x,而BF=BA=3, 2x+4-2x2=32, 解有：8区 6舍去)， CF=CR2+R-√6-46-53 3, F-86.46:465 53 15, ,EF1ED,故(2)不正确， 4W6+5V33 EF 15 4V6+5√33,4 F46V346-丽3，故(6)不正确， 3 :AD∥BC, .∠PAD=∠ABC=∠DCB, 38/55 ☆ 六PB=PC, COSDPAD=4S _1 PA 3 PA=PD,AS=DS月， ..PA=PD=3, 当DE∥BG时， PE _PD 3×3 3 BE DG 3- 32, △PEDAPBG 5 DG=2,CG=1, CF_CG_1 同理可得： EFDG-2,与(6)矛盾， ∴DE与BG不平行，四边形EDFB不是平行四边形， 故(3)，(5)都错误， 当BG⊥CD时， -1_CG 同理可得：cosDBCG= 3 BC' c :FR⊥BC,CE平分∠BCD, ∴FG=FR, ..CF=CF, .RtaCFR≌RtaCFG, co=0R月 RC=2x8V22:4 3 3, ∴.DG与BG不垂直.故(4)不正确. 综上：正确的是(1)(7). 故选：B 二、填空题 4.如图，在四边形 ABCD AD∥BC,∠A=90° 中， ,点在边B上，且 39/55 c-号RBE=2.点p在边D上A心平分∠BD与C交于点G若∠4F- 5 则BG的长为 A FD B 【答案】55-4 【分析】解法一：分别延长FE,CB交于点H,先证HG=FH,在RtAAEF中，求得EF, 再在Rt△BEH中，求得HB,然后由BG=HG-BH即可求解；解法二：同理先求EF,进 而得到AF,分别过点F,G作BC,EF的垂线FP,G0,垂足分别为P,O,接着证 △FOG≌△GPF AAS,连接EG,设PG=x,再在Rt△BEG中，利用勾股定理求出x, 进而得到BG 【详解】解法一：如解图①，分别延长FE,CB交于点H, FD B 3 图① .·AE=二AB.BE=2 .AE=3,AB=5, :FG平分∠EFD, .∠DFG=∠EFG, ADI BC, .∠DFG=∠FGB, .∠EFG=∠FGB, :.HG=FH, :∠A=90°，即△AEF为直角三角形， 在RtAAEF中， cos∠AEF=EV5 EF 5, .EF=35, :AD‖BC, 40/55 ,∠EBH=90°，即△BEH为直角三角形， 在RI△BEH中，cos∠BBH=6os∠AEF=BE=5 EH 5 ·.HE=2V5 :HB=EH2-BE2 =4,HG=HF=HE+EF =55 :BG=HG-BH=55-4 解法二；：-48服-2 AE=3,AB=5, :FG平分∠EFD, ∠DFG=∠EFG, .AD II BC, ∠DFG=∠FGB, .∠EFG=∠FGB, :∠A=90°，即△AEF为直角三角形， 在Rt△AEF中， cos∠AEF=E、V5 EF 5, EF=35, ∴.AF=VEF2-AE2=6 如解图②，分别过点F,G作BC,EF的垂线FP,GO,垂足分别为P,O, FD B 四边形ABPF为矩形， .BP=AF=6. :∠EFG=∠FGB,∠FOG=∠GPF=90°，FG=GF, ∴.△FOG≌△GPF AAS, ..OF=PG,OG=PF=AB=5, 41/55 连接EG,设PG=x, OF=x,BG=BP+PG=6+xEO=EF-OF=35-x ,∠B=∠EOG=90° BE2+BG2=EO2+OG2 ,即22+(6+x9=(65-+5 解得x=5V5-10 .BG=6+x=5V5-4 5.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形 (如图1)，小晨在学习了“赵爽弦图”后，尝试将6个大小相同的“赵爽弦图”嵌在矩 形ABCD上得到如图2所示的图形，其中点E、F、N、H分别在矩形的边上，若 tan∠EFB=2 AB ,则c的值是 H A D M G 图1 图2 【答案】16 【分析】延长EF,DC交于点K,延长NP交FK于点T,延长EG、MH交于点Q,EQ交 AD于点与：设BE-2ar-:得出K-号，根据m∠CFK=m5FB-号得出 E=5a,Bc=8a,进而证明∠QHB=∠EFB,得出O5=QH=3 3 3a.=7 6a,解 AB 直角三角形得出5=2“求得4B进而求得C的值，即可求解， 【详解】解：如图，延长EF,DC交于点K,延长NP交FK于点T,延长EG、MH交于 42/55 点Q,EQ交AD于点S, Q S K 图2 .∠EFB=∠CFT=90°-∠K=∠TNK, :tan∠EFB= BE=2a,BF =3a 设 EF-FT-h3a-NT.cosEFB- √13a13, :tan∠IwK=T NT =ta∠BFB=2 a. FK-FT+TK-5113 :tan∠CFK=tan∠EFB=2 9 设CK=2x,CF=3x, CK2+FC2=FK2 5 解得：x=30, CF=5a,BC=8a 43/55 AD∥BC,QH∥EF ,∠QHS=∠EFB tan∠QS=tan∠EFB= 3 s-2 0H3, 2 3a, 又：E0=3xQH=3 2 S=B0-05=3E。-g,7E】 -a- 2 -a= 3 6 同理可得∠AES=∠EFB, ÷cos∠AES=cos∠EFB=3V1E 13, :4E=Ecos∠ABS=7x3V店7 1320 6 7 11 AB=AE+BE=2a+2a 2, 11 B201 BC 8a 16 三、解答题 6.如图，在△ABC中，点D是BC边上一点（不与端点重合），连接AD. 44/55 D 图1 图2 图3 (1)如图1，AC=AB,∠CAD=2∠BAD,线段AC的垂直平分线NK交AD于点N,连接 CN,若CD=ND,求∠BAD的度数： (2)如图2，若点D是BC的中点，将线段AD绕点A逆时针旋转至AE,使得 ∠EAD=∠BAD,连接DE.以BC为斜边在BC上方作RtABCF,且满足∠EAD=2∠BCF, 连接EF,交AD的延长线于点G.用等式表示线段AE、DG、AB的数量关系并证明： (3)如图3，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,点D是BC的中点，点M是直线AB上一动点， 连接DM,CM,将DM绕点M顺时针旋转9O°得到MH,连接AH,点R是直线CM上 一动点，连接AR.在点M的运动过程中，当AH取得最小值时，在平面内将△AHR沿直 DH' 线AR翻折得到△4HR,连接DH:在点R的运动过程中，直接写出BM的最大值. 【答案】(1)∠BAD=12 (2)AB=AE+2DG 10W3+23V2 (3) 39 【分析】(1)根据垂直平分线的性质结合等腰三角形底角相等，以及三角形内角和定理即 可求出∠BAD=12°： (2)延长AG构造△BAD≌aHAE,结合直角三角形斜边中线等性质，导出∠GDF=∠H, 从而得到△EHG≌△FDG,最后即可得出AB=AE+2DG: (3)先确定点M的轨迹为直线AB，又注意到线段MD到HD的几何变换为绕点D逆时针 旋转45°并目放大V5信，因此构造辅助线得出点H轨迹为直线F,结合锐角三角函数与 9 勾股定理计算得出AH取最小值时BM= 0,再根据三角形三边关系确定DH的最大值， 10W3+23√2 即可求解出答案为 39 45/55 【详解】(1)解：设∠BAD=x, ∴.∠CAD=2∠BAD=2x, :KN垂直平分AC, .AN=CN ∠ACN=∠CAN=2x, .CD=DN, .∠DCN=∠DWC=2LCAN=4x, :∠ACD=∠ACN+∠DCN=6x, AC=AB, ∠B=∠ACB=6x, ∠CAB+∠ACB+∠B=180°=x+2x+6x+6x, 解得x=12°， 故∠BAD=12°. (2)解：如图，延长AG至点H,使得AH=AB,连接EH、DF, H B 在△BAD与△HAE中， BA=HA ∠BAD=∠HAE, DA=EA .△BAD≌△HAE(SAS BD=HE,∠H=∠DBA, D为BC的中点， ∴在RtABCF中，BD=DF,DF=CD, :HE=DF, .DF=CD, .∠BDF=2LFCB=∠EAD, ∴.∠BDF=∠DAB, :∠GDB=∠GDF+∠FDB,∠GDB=∠DAB+LDBA, 46/55 .∠GDF=∠DBA=∠H, 在△EHG与△FDG中， ∠EGH=∠FGD ∠EHG=∠FDG EH=FD ∴.△EHG≌△FDG(AAS :.GH=GD, :.AB=AD+2DG, .AD=AE, ∴.AB=AE+2DG (3)解：如图，过点D作DE⊥AB,在EB上取点F,使得EF=DE,连接HF、DF、 DH、AD, R O B M E .·DM=MH ∠DMH=90° .∠MDH=45°， DE=EF,∠DEF=90°， .∠EDF=45°， :∴.△DMH与△DEF均为等腰直角三角形， DM DE DHDF· :∠MDH+∠HDE=∠EDF+∠HDE, .∠MDE=∠HDF .△DME∽△DHF, ME DE .∠DFH=∠DEM=90°， HF =c0s450=V2 ·∠AFH=∠DFH-LDFE=45, 47/55 ∴H点在直线HF上， 当AH⊥HF时，AH取得最小值， :D点为BC中点，BC=4, BD=2, :sin∠B=4C=3DE cos∠B=BC=4BE AB 5 BD AB 5 BD, 八.DE5,、& 5 ·EF=DE= 5 BF=BE-EF= 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2, :AC=3,BC=4, AB=V32+42=5 4r=B-=5-子2 55 ∴.HF=AF×c0s45°= 232 10 ME_ HF 2 ·ME=23 10, BM=ME+BE=23+839 10510, 在RtAADE中，AE2+DE2=AD2, :.AD 6)月 .AH =HF,AH'=AH, :AH'=HF 23V2 101 在△ADH中，DH≤AH'+AD=V后+232 10 48/55 当且仅当点D、A、H'三点共线时DH'取得最大值， v3+23W2 10_10W13+23√2 :DH最大值为39 39 BM 10 7.如图，在△ABC中，BC=6,∠C=45°，an∠ABC=2,点P在边AC上，连接BP, 点是BP PO POMN ,使点M和点C在直线同侧。 PO 的中点，以为边作正方形 (1)求△ABC的面积： 2)当BPL4C POMN ，求正方形 的周长： (3)当点N落在BC上时，求AP的长： 当点 到直线C的距离是点到直线C的距离的2倍，”的长为」 BC BC 【答案】(1)12 R ,33 142 (4)5 【分折】①)过点4作AD LRC于点D,由m∠ABC-2得到品-2，设D=,则 AD=2x,解直角三角形得到CD=2x,再由BC=6列方程求解即可得到AD,，由三角形面 积公式代值求解即可得到答案： PO (2)解直角三角形求出P8的长，进而得到吧的长，由正方形性质求周长即可得到答案： (3)过点P作PD⊥BC于点D,证明 BEQ≌△ENM(AAS) ，由全等性质得到BE=EN 49/55 QE=EM,即BQ=2QE,结合正切函数值定义，设DN=y,则DC=PD=2y,表示出 相关线段长度，由BC=6列方程求解即可得到PD=DC=2y=2,由勾股定理求出PC长 即可得到答案； O、N BC N BC (4)根据题意，分两种情况：①当点在边同侧：②当点 在边异侧：在 每种情况下，作出相应图形，数形结合求解即可得到答案. 【详解】(1)解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D,则∠ADB=∠ADC=90°， .tan∠ABC=2 AD BD L=2, 设BD=x,则AD=2x, 在RtAADC中，∠C=45°， ..CD=AD 2x tanC tan45 =2x, BC=6, ..BC=BD+DC=x+2x=6, x=2, AD=2x=4, :△ABC的面积8CAD=×6x4=12: 2 (2)解：当BP⊥AC时，∠BPC=90°， B M 在Rt△BPC中，∠C=45°， BP=BC·sinC=6·sin45°=3√2 50/55 :点2是BP的中点， .PO-80-1PB-3 2 四边形POMN是正方形， :正方形P0MN的周长-4P0-4×35=6N2: 2 (3)解：如图所示，过点P作PD⊥BC于点D, D .∠C=45° .∠DPC=∠C=45°， ..PD=DC, :点Q是BP的中点， 0-=0-B, “四边形 OMN 是正方形， Pg=QM=MN=PN,∠M=∠PQM=90°，QM∥PN, .BQ=MN,∠BQM=90°， 在△BEQ和△NEM中， 「∠BQE=90°=∠M ∠BEQ=∠NEM BO=MN :ABEQ≌ANEM(AAS) ∴BE=EN' QE-EM-TOM, BO=20E ian∠QEB=B =2 OE 51/55 OMI PN, ∴∠PNB=∠QEB, &tan∠PNB=PD -2,an∠PB=PA=2, PN 设DN=y,则DC=PD=2y, ∴.NC=y, 由勾股定理可得PN=VPD+DN=V5y, PB=2PN=2153 :.BN=PB2+PB2=5y BC=BN+CN=6y=6 :1 ..DC=PD=2, :CP=VPD2+CD2=2√2 由(1)知，4C=V2×2+(2×22=4W2, ..AP=AC-PC=2 六当点V落在8C上时，4=25 (4)解：如图4-1所示，当点N和点Q都在直线BC的上方时，过点P、Q、N分别作BC 的垂线，垂足分别为H、E、F, 图4-1 ∠QEB=∠PHB=90° 52/55 sin∠PBH=OE-PH BO BP, 点Q为BP的中点， BP=2BO QE PH .BO 2BO, PH=2QE ∴点P到直线BC的距离等于点Q到直线BC的距离的2倍： “点P在AC上， ∴∠PBC<∠ABC<90°， ∴PB与BC不垂直， POMN 四边形 是正方形， PQ⊥PW PN与BC不垂直， ∴点N到直线BC的距离一定不与点P到直线BC的距离相等， '此时不满足点N到直线BC的距离是点Q到直线BC的距离的2倍： 如图4-2所示，当点Q在直线BC的上方，点N在直线BC的下方时， B M 图4-2 BC BC 过点P、Q、N分别作 的垂线，垂足分别为以，EB,设MPN分 分别交于点G, 点K, 53/55 ∠QEG=∠QEB=∠NFK=∠PHB=∠PHC=90° POMN 四边形 是正方形， QM∥PNPQ=PN,∠QPN=∠PQM=90° ∠MGF=∠NKF∠B0G=90e ∠QGE=∠MGF ∠NKF=∠QGE sin∠NKF=sin∠QGE QE NF .OG NK: BC BC :点”到直线的距离是点到直线的距离的2倍， NK=20E NK=20G 在RAG和RiaPK中，un∠PBK-G-P BQBP· 点Q为BP的中点， BP=2BO PK =20G :PK-NK-IPN-1P0-1PB 2 2 4 an∠PBK=PK-1 BP 4' 在Rt△PBH中，tan∠PBH= PH 1 BH 4' 54/55 在RtAPHC中，∠C=45°， ∴CH=PH tanC =PH, 设PH=m,则BH=4m,CH=m, .BC=BH+CH=5m=6, 5 P P℃=H=62 sinC 5, :.AP=AC-PC=14 5: 14v2 综上所述，AP的长为5. 55/55 ☆ 直角三角形的边角关系 章节同步练习 好 题 冲 关 基础达标 一、选择题 1．如图，小明在点C处测得树顶端A的仰角为，且米，则树高度为（    ）米． A． B． C． D． 2．如图，在中，点是斜边的中点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形中，，下列三个结论：若，则；若的面积是正方形面积的倍，则点是的三等分点；将绕点逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是（   ） A． B． C． D． 6．如图1，在中，点从点出发向点运动，在运动过程中，设表示线段的长，表示线段的长，与之间的关系如图2所示，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 7．小亮将4根长度相等的木棒依次首尾相连，钉成了一个四边形，他先将该四边形“直立”为正方形（图1），再将其向左“推倒”为含角的菱形（图2），则该四边形从正方形变成菱形后描述正确的是（    ） A．内角和增加 B．周长变大 C．面积不变 D．两条对角线的和变小 8．如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿直线翻折，点B落在点F处，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．计算：______． 10．2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，一位同学乘滑雪板沿坡度为的斜坡行进200米，则他下降的高度为______米． 11．如图，在矩形中，E是边的中点，，将沿折叠，点C落在点F处，则_______． 12．如图所示，某同学练习排球扣球，已知排球网高为2.24米，扣球点距离地面的高度为2.8米，且垂直于地面．排球从点扣出的飞行路线近似为射线，当该射线与水平方向所成的夹角为时，球恰好擦网而过．此时，起跳点到球网底部的水平距离为___________米．（结果保留一位小数，参考数据： ） 三、解答题 13．计算、解不等式组 (1)； (2) 14．计算：． 15．某数学兴趣小组开展测量校园内旗杆高度的活动，方案如下： ·工具：测角仪、皮尺 ·步骤：①在旗杆底部B的水平地面上取一点C，测得； ②在C的上方D处测得旗杆顶端A的仰角为； ③已知测角仪的高度．（参考数据： ，，） (1)求旗杆的高度． (2)若要使测量结果更准确，你认为可以采取哪些改进措施？（写出一条即可） 能力提升 1、 选择题 1．如图，在中，，以点为圆心作弧，交于点、，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则的周长是（   ） A．22 B．24 C．26 D．28 2．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是（   ）． A．是的平分线 B． C． D．点在线段的垂直平分线上 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为原点，边在轴上，，，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．某数学兴趣小组开展以下折纸活动：（1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．（2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，把纸片展平．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在等腰直角中，，点在边上，，是边上一动点，为内一点，且，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，，．点在斜边上，如果经过旋转后与重合，那么点的坐标为________． 7．如图，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，使得点落在边上，与相交于点．设，则_____（用含的代数式表示）． 3、 解答题 8．郑国渠旅游风景区内的泾河大峡谷被誉为“关中第一大峡谷”，它是泾河长期冲刷切割形成的自然景观（图1）．小晨想借助无人机测量某段峡谷的宽度，于是他进行了如下操作：如图2，将无人机上升并飞行至峡谷上方的点处，从处测得峡谷边缘处的俯角为，测得与处正对的峡谷边缘处的俯角为（，，三点在同一竖直平面内，，在同一水平线上），并测得点到点的距离为100米，求该段峡谷两端，的距离．（结果保留整数）．（参考数据：，，，，）    9．如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中点、、都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个作图不超过三条线． (1)在图1中，作的高； (2)在图2中，在上画点，使得． 10．已知；在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交y轴于点，交x轴于点． (1)求直线的解析式； (2)如图1，点C是线段上的一点，点C的横坐标是t，过点C作轴，且点D的横坐标为，在的下方，以为斜边作等腰直角，设点E的纵坐标为d，求d与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，过点D作轴于点P，点F在上，且点P的纵坐标为，连接，过点E作于点N，交于点G，连接，并延长交y轴于点H，连接，延长至点Q，连接，，点K在线段上，，连接，若，求点C的坐标． 拓展培优 一、选择题 1．下列说法中，错误的是（    ） A．顶角为的等腰三角形，底角的正切值为 B．顶角为的等腰三角形，底角的正切值为 C．所有内角含的等腰梯形，对角线一定和下底相等 D．平行四边形对角线分得的四个小三角形面积相等 2．如图，在正方形中，，点E，F分别在线段上，，连接．过点E，F分别作线段的垂线，垂足分别为G，H．动点P在内部及边界上运动，四边形，△PEG，△PEF，△PFH，△PGH的面积分别为．，若点P在运动中始终满足：，则满足条件的所有点P组成的图形长度为（   ） A．2 B． C．4 D．2π 3．如图，在等腰梯形中，，，，为的平分线交于E，以B为圆心，为半径的圆交于F，延长交于G，，连接，则下列命题正确的数量为（   ） （1）点F在以D为圆心，为半径的圆上；（2） ；（3）；（4）；（5）平行四边形；（6）；（7） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 4．如图，在四边形中，，点在边上，且．点在边上，平分与交于点．若，则的长为__________． 5．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形（如图1）．小晨在学习了“赵爽弦图”后，尝试将6个大小相同的“赵爽弦图”嵌在矩形上得到如图2所示的图形，其中点、、、分别在矩形的边上，若，则的值是_________． 三、解答题 6．如图，在中，点是边上一点（不与端点重合），连接． (1)如图1，，，线段的垂直平分线交于点，连接，若，求的度数； (2)如图2，若点是的中点，将线段绕点逆时针旋转至，使得，连接．以为斜边在上方作，且满足，连接，交的延长线于点．用等式表示线段、、的数量关系并证明； (3)如图3，，，，点是的中点，点是直线上一动点，连接，，将绕点顺时针旋转得到，连接，点是直线上一动点，连接．在点的运动过程中，当取得最小值时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点的运动过程中，直接写出的最大值． 7．如图，在中，，，，点在边上，连接，点是的中点，以为边作正方形，使点和点在直线同侧． (1)求的面积： (2)当时，求正方形的周长； (3)当点落在上时，求的长； (4)当点到直线的距离是点到直线的距离的2倍，的长为___________ 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $