第一章 直角三角形的边角关系 同步进阶 2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级下册

第一章 直角三角形的边角关系 1.1 锐角三角函数 1.11 正切 一、选择题 1．（课内）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝5，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 2.（课内）河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则的长是　　 A．5米 B．10米 C．15米 D．20米 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为（0，3），tan∠ABO＝，则菱形ABCD的周长为（　　） A．6 B．6 C．12 D．8 4．（课内）由小正方形组成的网格如图，，，三点都在格点上，则的正切值为　　 A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（　　） A． B． C． D．3 二、填空题 6．（课内）比较大小：　　．（填“＞”或“＜”）． 7．（课内）如图，在外力的作用下，一个滑块沿坡度为的斜坡向上移动了10米．此时滑块上升的高度是　 　．（单位：米） 三、解答题 8．（课内）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，求tanA与tanB的值． 9． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝，BC＝2，求AB的长． 10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝2，求AB的长． 11．如图，四边形是矩形，连接．    (1)尺规作图：在，上分别找出点E、点F，使得，且与之间的距离等于．（不要求写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，，若，的长为，且满足，求四边形的面积． 12．上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B组第2题及参考答案． 2．如图，图中提供了一种求的方法，阅读并填空： 先作，其中，；然后延长到点，使，连接． （1）． （2）设，那么（用t的代数式表示，以下同），． （3）． 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究： 【知识迁移】在中，，，那么____；____． 【拓展应用】如图，在中，，，，点、分别在边、上，且，，连接、交于点，求的值． 1.2 正弦和余弦 一、选择题 1．（课内）如图，在中，，下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 2．在中，，，，那么的正弦值是　　 A． B． C． D． 3．（课内）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC，则sinB＝（　　） A． B．2 C． D． 4．在中，，，，则　　 A．10 B．8 C．5 D．4 5．（课内）当A为锐角，且cos∠A＜cos60°时，∠A可能是（　　） A．30° B．45° C．60° D．70° 二、填空题 6．比较大小：sin80° 　 　tan50°（填“＞”或“＜”）． 7．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200，sinA＝0.6，则BC＝　 　． 8．正方形网格中，如图放置，则的值为　 　． 三．解答题 9．（课内）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，求sinA，cosA，tanA的值． 10．已知：如图，中，，于，，． 求：及的长． 11．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，与x轴之间的距离为，设点B 的横坐标为m． (1)求点A，C的坐标（用含 m的式子表示）； (2)若反比例函数的图象经过A，C两点，求k的值． 12．【问题情境】 （1）如图1，在正方形中，，，分别是，，上的点，于点．求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，正方形网格中，点，，，为格点，交于点．求的值； 【拓展提升】 （3）如图3，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，．求的度数． 1.2 30°、45°、60°特殊角的三角函数 一、选择题 1．(课内）tan45°的值等于（　　） A．2 B．1 C． D． 2．(课内）若∠A为锐角，且sinA＝，则cosA等于（　　） A．1 B． C． D． 3．已知实数，，，则下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 4．在△ABC中，若sinA＝，cosB＝，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（　　） A．105° B．90° C．75° D．120° 5．(课内）王明同学遇到了这样一道题，，则锐角α的度数为（　　） A．40° B．30° C．20° D．10° 二、填空题 6．在△ABC中，若，则∠C的度数为 　 　． 7．计算：6tan30°2cos30°＝　 　． 8．(课内）如图，在中，，，，是上一点，连接，设和的面积分别是，，且，则的度数是 　 　． 三、解答题 9．计算：（1）(课内）tan45°－sin30°cos60°－cos245°； （2）3tan30°－tan245°+2sin60°． 10．（1）计算： （2）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来 11．阅读理解：为计算三角函数值，我们可以构建（如图），使得，，延长使，连接，可得到，所以． 类比这种方法，请你计算的值. 12．如图，在菱形中，，，点P从点A出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作于点Q，作交直线于点M，交直线于点F，设与菱形重叠部分图形的面积为s（平方单位），点P运动时间为t（秒）． (1)当点M与点B重合时，则t＝_____； (2)求整个运动过程中s的最大值； (3)以线段为边，在右侧作等边，当时，求点E运动路径的长． 1.3 三角函数的计算 一、选择题 1．（课内）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝36cm，则高AD约为（　　）（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51） A．8.10cm B．11.22cm C．9.18cm D．16.02cm 2．（课内）如图，小明为了测量遵义市湘江河的对岸边上B，C两点间的距离，在河的岸边与BC平行的直线EF上点A处测得∠EAB＝37°，∠FAC＝60°，已知河宽30米，则B，C两点间的距离为（　　）（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈） A．（18+25）米 B．（40+10）米 C．（24+10）米 D．（40+30）米 3．我们常用角（如图中的∠AOB）的大小来描述一段台阶的陡缓程度，已知图中的每一级台阶的高为15.5cm，宽为27cm，则∠AOB的大小接近于（　　）（参考数据：tan27.5°≈0.52，tan32.5°≈0.64，tan35°≈0.70，≈1.41，≈1.73） A．27.5° B．30° C．32.5° D．35° 4.如图，一座厂房屋顶人字架的跨度，上弦，．若用科学计算器求上弦的长，则下列按键顺序正确的是　　 A． B． C． D． 二、填空题 5．用计算器求得　 　（精确到． 6．在中，，，，则的大小为　 　（精确到． 7．（课内）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若AB，AC的长都为2.5m，当α＝55°时，人字梯顶端离地面的高度AD为 　 　m．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.4） 三、解答题 8．（课内）为了完成“综合与实践”作业任务，小明和小华利用周末时间邀约一起去郊外一处空旷平坦的草地上放风筝，小明负责放风筝，小华负责测量相关数据．如图，当小明把风筝放飞到空中点P处时，小华分别在地面的点A、B处测得∠PAB＝45°，∠PBA＝30°，AB＝200米，请你求出风筝的高度PC（点C在点P的正下方，A、B、C在地面的同一条直线上）（参考数据：≈1.414，≈1.732） 9．图1是淘宝上常见的“懒人桌”，其主体由一张桌面以及两根长度相等的支架组成，支架可以通过旋转收拢或打开，图2是其打开示意图，经操作发现，当∠ADC＝∠BCD≥90°时，可稳定放置在水平地面上，经测量，AD＝BC＝30cm，CD＝40cm． （1）当其完全打开且置于水平地面上时，测得∠ADC＝140°，求AB距离； （2）在（1）的基础上，若要在该桌上办公，已知眼睛与桌面的垂直距离以30cm为佳，实际办公时，眼睛与桌面的垂直距离为34.8cm，若保持身体不动，通过旋转支架AD以及BC抬高桌面，则A点应向内移动多少厘米，才能达到最佳距离？ （参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84） 10．中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以的速度从D打卡点沿方向步行至A打卡点，小开以的速度从A打卡点沿方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，） 1.4 解直角三角形 一、选择题（共5小题） 1．（课内）如图，在中，，，，则的长度为　　 A． B．2 C． D．3 2．（课内）如图，某游乐场一个跷跷板支撑柱垂直地面，，当的一端着地时，，若，则长可表示为　　 A． B． C． D． 3．如图，在中，，是斜边的中线，过点作，垂足为点．若，，则的周长为　　 A． B． C． D． 4．如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，DC平分∠ACB，BD⊥CD于点D，∠ABD＝∠A，若BD＝1，AC＝7，则tan∠CBD的值为（　　） A．5 B． C．3 D． 二．填空题（共3小题） 6．（课内）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝　 　． 7．（课内）平面直角坐标系内有点P（4，－1），若OP与x轴的锐角夹角为α，则sinα的值为 　 　． 8．如图，在△ABC中，AC＝2，∠A＝15°，∠B＝30°，则△ABC的面积为 　 　． 三、解答题（共2小题） 9．（课内） 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=6,求这个三角形的其他元素. 10．在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,∠C=90°.根据下列条件,求这个三角形的其他元素. (1)已知a=8,∠B=60°; (2)已知∠B=45°,b=. 11．如图，在住房墙的一侧有一块四边形空地，， (1)求此空地的面积（结果保留根号）； (2)为了丰富该空地附近市民的文化生活，政府投资对该地块进行改造，建成休闲广场，并建一个便民活动室，一边利用长的住房墙，另三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，所围成矩形活动房的长宽分别为多少时，活动房的面积为？ 12．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 1.5 三角函数的应用 一、选择题 1．（课内）如图，在天定山滑雪场滑雪，需从山脚下处乘缆车上山顶处，缆车索道与水平线所成的，若山的高度米，则缆车索道的长为　　 A．米 B．米 C．米 D．米 2．铁路道口的栏杆如图．已知栏杆长为3米，当栏杆末端从水平位置上升到点C处时，栏杆前端从水平位置下降到点A处，下降的垂直距离AD为0.5米（栏杆的粗细忽略不计），上升前后栏杆的夹角为α，则栏杆末端上升的垂直距离CE的长为（　　） A．（）米 B．（）米 C．（3tanα0.5）米 D．（3sinα0.5）米 3．河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则 的长是　　 A．5米 B．10米 C．15米 D．20米 4．（课内）如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，AB=18cm，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为　　 A．9 B． C． D．15 5．某学校安装红外线体温检测仪（如图1），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上自由调节（如图2）．已知最大探测角∠OBC＝67°，最小探测角∠OAC＝37°．测温区域AB的长度为2米，则该设备的安装高度OC应调整为（　　）米．（精确到0.1米．参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈） A．2.4 B．2.2 C．3.0 D．2.7 二、填空题 6．现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶4千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉琪发现风景区在地的北偏东方向，那，两地的距离为 千米. 7．（课内）在某次救援中，某武警部队探测队探测出某建筑物下面有生命迹象，为了准确测出生命迹象所在的深度，他们在生命迹象上方建筑物的一侧地面上相距5米的A，B两处，用仪器探测生命迹象C，已知探测线与地面的夹角分别是30°和60°（如图），则该生命迹象所在位置的深度（结果取准确值）为　 　米． 三、解答题 8．胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73） 9（课内）．火钳是铁制夹取柴火的工具，有保洁员拿它拾捡地面垃圾使用，图1是火钳实物图，图2是其示意图．已知火钳打开最大时，两钳臂OC，OD的夹角∠COD＝40°，若OC＝OD＝40cm，求两钳臂端点C，D的距离．（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75） 10．图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB＝20cm，AB与墙壁AD的夹角∠α＝30°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝80°．现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝150cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？ （结果精确到1cm，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈1.73，≈1.41）． 1.6 利用三角函数测高 课时同步练习 一、选择题（共5小题） 1．（课内）如图，已知A处位于点B处的右上方，若从B处观察A处的仰角为40°，则从A处观察B处的俯角为（　　） A．40° B．50°C．130° D．140° 2．（课内）下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量树顶到地面的距离 测量目标示意图 相关数据 米，， 设树顶到地面的高度米，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（    ） A． B．C． D． 3．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为（　　） A．40海里 B．40sin37°海里C．40cos37°海里 D．40tan37°海里 4．（课内）如图，小明想要测量学校操场上旗杆 的高度，他作了如下操作： （）在点 处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角 ； （）量得测角仪的高度 ； （）量得测角仪到旗杆的水平距离 ． 利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为 （　　） A. B. C. D. 5．如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（　　） A．200米 B．200米 C．220米 D．米 二、填空题 6．如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为10m，在B处放置1m高的测角仪BD，测得树顶A的仰角为60°，则树高AC为 　 　m（结果保留根号）． 7．（课内） 如图，在量角器的圆心 处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的 刻度线 对准楼顶时，铅垂线对应的读数是 ，则此时观察楼顶的仰角度数是  ． 8．如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度AB，无人机在离教学楼底部B处16米的C处垂直上升31米至D处，测得教学楼顶A处的俯角为39°，则教学楼的高度AB约为　 　米．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin39°＝0.63，cos39°＝0.78，tan39°＝0.81】 三、解答题 9．（课内）为了知道空中一静止的广告气球A的高度，小宇在B处测得气球A的仰角为18°，他向前走了20m到达C处后，再次测得气球A的仰角为45°，已知小宇的眼睛距地面1.6m，求此时气球A距地面的高度．(结果精确到0.1m) 10．一款被称作“小蛮驴”的智能送快递机器人本学期在我省某高校投入使用，据悉“小蛮驴”兼具人工智能和自动驾驶技术．如图，点A为该校快递收纳站点，点B，C分别为两处宿舍楼，“小蛮驴”将会从点A出发，沿着A﹣B﹣C﹣A的路径派送快递．已知点B在点A的正北方向，点C在点A的北偏东20°方向，在点B的北偏东60°方向，点B与点C相距1000米，求点A到点B的距离．（结果精确到1m，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，≈1.73） 11．2025年春晚的机器人舞蹈《秧》展示了科技与文化的完美融合，机器人通过高精度技术实现精准动作、并与人类舞者默契配合，吸引了全球关注．某科技兴趣小组对此有着浓厚的兴趣，决定对机器人的动作进行研究，并测量一些数据，制作成一份动画作品．请根据表格中提供的信息，解决下列问题．(结果保留一位小数，参考数据∶，) 活动主题 机器人舞蹈动画制作 活动流程 小组成员分别收集了一些春晚机器人舞蹈的视频图片(如图①)，对动作进行逐帧分解，测量确定一些数据，绘制出一些图形，之后利用动画软件进行制作 分解动作与模型抽象    图形绘制与数据测量 将图形绘制抽象为图②，腰部平行于水平面，上半身腰部，大腿与腰部的夹角，与小腿的夹角，足部与水平面的夹角，，，， ，所有点均位于同一平面内 (1)如图②，过机器人腰部点作垂直水平面于点，求机器人膝盖点到机器人腰部点的水平距离； (2)求机器人脖子点到水平面的距离． 12．图1 是斜式单面展架，图2是它的侧面示意图，表示画面支撑杆， 表示展架支撑杆， 表示底座，，垂足为D，点C在 上，，画面支撑杆可绕着点C 旋转．经测量，，，． (1)求展架的高度（即点 B 到底座 的距离）； (2)一般地，展架的标准高度为，画面支撑杆 要绕着点C 顺时针旋转多少度，展架才能达到标准高度？（参考数据：，，，，，，结果保留到小数点后一位） 13．【问题呈现】 如图①，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点和和相交于点．求的值． 【方法归纳】 利用网格将线段平移得到线段，连接，得到格点，且，则就变换成中的． 【问题解决】 （1）图①中的值为___________． （2）如图②，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点和与交于点，求的值． 【思维拓展】 （3）如图③，，垂足为，点在上，且，连接交的延长线于点，利用网格求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 直角三角形的边角关系答案 1.1 锐角三角函数 1.11 正切 1．D． 2．D． 3．D． 4．C． 5．C． 6．＜． 7．． 8．解：∵∠C＝90°， ∴tanA＝＝＝， tanB＝＝＝． 9．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝， ∵tanB＝，BC＝2， ∴＝， 解得：AC＝3， 由勾股定理得：AB＝＝＝． 10．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴tanA＝＝． ∵BC＝2， ∴＝，AC＝6． ∵AB2＝AC2+BC2＝40， ∴AB＝． 11.(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的垂直平分线，交于点E，交于点F，则E、F即为所求； （2）解一元二次方程得出，根据菱形的性质得出，解直角三角形得出，最后根据菱形的面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：如图所示，点、点即为所求作的点．    连接、，根据作图可知：，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， 设与之间的距离为h， ∵， ∴， 即与之间的距离为； （2）解：， （舍去）， ， 根据解析（1）可知，四边形为菱形， ， ， ， ．    【点睛】本题主要考查了尺规作垂线，矩形的性质，解一元二次方程，菱形的判定和性质，解直角三角形的应用，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定和性质． 12．知识迁移：，；拓展应用：1． 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 知识迁移： 作平分交于，过作于，设，则，，由面积法求得，进而即可求得；同理可得：； 拓展应用： 连接，证出，，，设，，，，求出，则可得出答案． 【详解】知识迁移： 解：如图，作平分交于，过作于， ∵， ∴， ∵平分交于， ，， 中，， 即， 设， 则， ， ∵， ∴即， ∴， ∴； 同理可得：， 故答案为：，； 拓展应用： 解：连接， ，， ， ，， ， ， ， ，； 设，， ，， ， ， ， ， ． 1.12 正弦和余弦 1．B． 2．D． 3．C． 4．B． 5．D． 6．＜． 7．120． 8．2． 9．解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝2， ∴AB＝＝ ＝2， sinA＝＝＝， cosA＝＝＝， tanA＝＝＝． 10．解：在中，，，， ， ， ， ， ， 答：，． 11．(1) (2) 【分析】此题考查了反比例函数图象和性质、菱形的性质、解直角三角形等知识，数形结合是解题的关键． （1）过点 C作于点 M．求出．轴，与x轴之间的距离为4，即可求出答案； （2）根据反比例函数的图象经过A，C两点，得到．求出k的值． 【详解】（1）解：如图，过点 C作于点 M． 在菱形中， ，， ∴， 设，则． ∴． 故． ∵轴，与x轴之间的距离为4， ∴． （2）∵反比例函数的图象经过A，C两点， ∴． ∴． ∴． ∴． 12．(1)2 (2) (3)点E运动路径的长为 【分析】（1）由含30度角直角三角形性质即可得出． （2）按照t的不同取值范围分类讨论，再结合三角形的性质和面积公式即可得出． （3）连接，结合直角三角形的性质得出为定值，求出的值即可得出． 【详解】（1）解：M与B重合时，如图1， ， ， ∵， ， ； 故答案为：2． （2）①时，如图， 在中， t，， t， ∴， S的最大值为：； ②当时，如图， ，， ， ， ， ， ∴当时，S有最大值：， 综上所述，S的最大值为． （3）连接，如图3， 为等边三角形， ， 在中，， 为定值， ∴点E在直线上运动， ， ， 当时，， 当时，， ， ∴点E运动路径的长为． 1.2 30°、45°、60°特殊角的三角函数值 1．B． 2．D． 3．A． 4．C． 5．．C 6．75° 7． 8．30° 9．解：（1）tan45°－sin30°cos60°－cos245° ＝1－×－（）2 ＝1－－ ＝； （2）3tan30°－tan245°+2sin60° ＝3×－12+2× ＝－1+ ＝2－1． 10．； ． 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、解一元一次不等式组、特殊角的三角函数值． 根据不为的数的次幂为，可得：，根据绝对值的定义，可得：，根据特殊角的三角函数值，可得：，根据负整数指数幂的定义，可知：，可得：原式，再合并同类二次根式即可； 分别求出两个不等式的解集，把它们的解集表示在数轴上，从数轴上找出它们解集的公共部分即可． 【详解】解： ； 解：， 解不等式： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：； 解不等式： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 把解集表示在数轴上，如下图所示， 不等式组的解集是． 11．解：如图： 在中，，，延长使，连接， ， 设，则， ， 在中，. 12．(1)2 (2) (3)点E运动路径的长为 【分析】（1）由含30度角直角三角形性质即可得出． （2）按照t的不同取值范围分类讨论，再结合三角形的性质和面积公式即可得出． （3）连接，结合直角三角形的性质得出为定值，求出的值即可得出． 【详解】（1）解：M与B重合时，如图1， ， ， ∵， ， ； 故答案为：2． （2）①时，如图， 在中， t，， t， ∴， S的最大值为：； ②当时，如图， ，， ， ， ， ， ∴当时，S有最大值：， 综上所述，S的最大值为． （3）连接，如图3， 为等边三角形， ， 在中，， 为定值， ∴点E在直线上运动， ， ， 当时，， 当时，， ， ∴点E运动路径的长为． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形的性质和面积，勾股定理，三角函数等知识，准确应用分类讨论的方法是解题的关键． 1.3 三角函数的计算 1．C． 2．B． 3．B． 4．D． 5．2.14． 6．． 7．2.05． 8．解：设PC＝x米， 在Rt△ACP中，∠PAC＝45°， ∴AC＝PC＝x， ∴BC＝200﹣x， 在Rt△BCP中，∠PBA＝30°， ∴tan∠PBA＝， ∴＝， 解得x＝100﹣100≈100×1.732﹣100＝73.2， 即PC＝73.2米， 答：风筝的高度PC约是73.2米． 9．解：（1）过点D作DM⊥AB，垂足为M，过点C作CN⊥AB，垂足为N，则CD＝MN＝40cm， AM＝BN＝cos∠DAB•AD≈0.77×30＝23.1（cm）， ∴AB＝23.1×2+40＝86.2（cm）， 答：AB的距离约为86.2cm； （2）由题意得，桌子要抬高34.8﹣30＝4.8（cm）， 即DM要变为sin∠DAB×30+4.8＝24（cm）， ∴AM＝＝＝18cm， 即点A要向内移动23.1﹣18＝5.1（cm）， 答：向内移动5.1cm． 10.(1)千米 (2)千米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，作出辅助线并正确地进行计算是解题关键． （1）如图，过D作于H，过C作于E，证明四边形为矩形，分别求解，，，，可得答案； （2）如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米，连接，过点M作于点F，分别用含x的代数式表示出、、，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：过D作于H，过C作于E， ∵， ∴四边形是矩形， ∴千米，， 根据题意得，，，而千米， ∴（千米）， ∴千米，（千米）， ∵， ∴千米， ∴（千米）； （2）解：如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米， 连接，过点M作于点F， 由（1）可得千米， ∴千米，在左边， ∵， ∴千米，千米， ∴千米， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴千米； 即小南出发千米后恰好与小开相距千米． 1.4 解直角三角形 1．C． 2．A． 3．A． 4．C． 5．B． 6．． 7．． 8．（－1）． 9．解:在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=6, ∴tan A===,∴∠A=30°, ∴∠B=90°－∠A=60°,AB=2BC=4. 故∠A=30°,∠B=60°,AB=4. 10． 解:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,a=8, ∴∠A=90°－∠B=30°,b=atan B=8, ∴c==16. 故∠A=30°,b=8,c=16. (2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,b=, ∴∠A=90°－∠B=45°,∴a=b=,c==2. 故∠A=45°,a=,c=2. 11．(1) (2)所围成矩形活动房的长为，宽为时活动房的面积为． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）过点A作，垂足为E，过点C作，垂足为F，连接，分别在和中，利用锐角三角函数可得和的长，从而得到和，即可求解； （2）设与墙垂直的一边为，则与墙平行的一边为，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：过点A作，垂足为E，过点C作，垂足为F，连接， 在中，∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴ ∴ 答：此空地的面积为． （2）解：设与墙垂直的一边为，则与墙平行的一边为，根据题意得： ， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去． 当时，，符合题意． 答：所围成矩形活动房的长为，宽为时活动房的面积为． 12．(1)酒精灯与铁架台的水平距离的长度为 (2)线段的长度为 【分析】本题主要考查了三角函数的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）过点作于点，根据题意可得，，利用三角函数可得（），易得，即可获得答案； （2）过点作于点H，于点，过点作于点，利用三角函数可解得，的值，再证明为等腰直角三角形，并解得，然后由求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点，如下图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为； （2）解：如图，过点作于点H，于点，过点作于点， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：线段的长度为． 1.5 三角函数的应用 1．C． 2．D． 3．D． 4．B． 5．B． 6．． 7．米． 8．解：在Rt△ADB中，∠ADB＝60°，tan∠ADB＝， ∴BD＝＝， 在Rt△ABC中，∠C＝45°，tan∠C＝， ∴BC＝＝AB， ∵BC﹣BD＝CD＝33m， ∴AB﹣＝33， ∴AB＝≈78（m）． 答：主塔AB的高约为78m． 9．解：连接CD，过点O作OE⊥CD，垂足为E， ∵OC＝OD＝40cm，∠COD＝40°， ∴∠C＝∠D＝70°，CD＝2CE， 在Rt△OCE中，CE＝OC•cos70°≈40×0.34＝13.6（cm）， ∴CD＝2CE≈27（cm）， ∴两钳臂端点C，D的距离约为27cm． 10．解：如图，过点B作BG⊥D'D，垂足为G，延长EC、GB交于点F． 在Rt△ABG中，∠BAG＝∠a＝30°，AB＝20cm， ∴GB＝AB＝10cm， ． 在Rt△BCF中， ∠FBC＝180°－60°－80°＝40°， BF＝DE－BG＝40（cm）， ∴CF＝BF•tan∠FBC＝40tan40°≈33.6（cm）， ∴AD＝CE+CF－AG＝150+33.6－17.3≈166（cm）． 答：安装师傅应将支架固定在离地面166cm的位置． 1.6 利用三角函数测高 1．A． 2．B． 3．B． 4．A． 5．D． 6．（1+10） 7．40° 8．18.0 9．解：如图所示，作AD⊥BC于点D，交FG的延长线于点E. ∵∠AGE＝45°， ∴AE＝GE，在Rt△AFE中，设AE长是xm，则tan∠AFE＝，即tan18°＝，解得：x≈9.63.又ED＝FB＝1.6. ∴AD＝9.63＋16≈11.2(m)．故此时气球A距地面的高度是11.2m. 10．解：如图，作CH⊥AB交AB的延长线于H． 在Rt△BCH中，∵∠BHC＝90°，∠CBH＝60°，BC＝1000米， ∴BH＝500米，CH＝500米， 在Rt△AHC中，∵∠CAH＝20°， ∴AH＝CH÷tan20°≈500÷0.36≈2403（米）， AB＝AH﹣BH≈2403﹣500＝1903（米）． 故点A到点B的距离大约为1903米． 11．(1)机器人膝盖点到机器人腰部点的水平距离约为 (2)机器人脖子点到水平面的距离约为 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，合理添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键： （1）易得，进而得到，解，求出的值即可； （2）过点作交的延长线于点，交于点，作交于点，分别解，，，根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，则， 在中， ∵cm，， ∴． 答∶机器人膝盖点到机器人腰部点的水平距离约为； （2）∵， ∴脖子点到水平面的距离为． 如图，过点作交的延长线于点，交于点，作交于点， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴． ∵，由(1)知：， ∴． 在中，∵cm，， ∴， 在中，∵cm，， ∴， 在中，∵，cm，， ， ∴， ∴． 答∶机器人脖子点到水平面的距离约为． 12．(1)展架的高度约为 (2)顺时针旋转约 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意，并作适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点B作 ，交的延长线于点 G，根据求解即可； （2）过点作 于点 P，则，根据，可得，即可求得答案． 【详解】（1）解：如图，过点B作 ，交的延长线于点 G， ， ∴点 B 到底座 的距离为， ， ， ，， ，，， ， ， 答：展架的高度约为； （2）解：如图，将线段绕着点 C 顺时针旋转到的位置， 此时到底座的距离为， 过点作 于点 P， 则，， ∵， ， ， ， ， 答：画面支撑杆要绕着点 C顺时针旋转，展架才能达到标准高度． 13．（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由题意可得，则，在中，由锐角三角函数的定义可得出答案． （2）过点A作，连接，证明，在中，由锐角三角函数的定义可得出答案． （3）以为边长构造网格，过点作，连接，由图可知点在格点上，证明，再由锐角三角函数的定义可得出答案． 【详解】解：（1）由勾股定理得： ． ∴， ∴， ∵， ． 故答案为． （2）如图①，过点作， 连接，由图可知点在格点上， 由勾股定理得， ∴， ∴， ． （3）如图②，构造网格，过点作，连接，由图可知点在格点上， 同理可得：， 由勾股定理可得：， ． 【点睛】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理及其逆定理的应用，二次根式的除法运算，锐角三角形函数的应用等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $