第1章 培优专题4：生活物品与解直角三角形&培优专题5：生活情境与解直角三角形-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（北师大版）

/同行学案学练测九年级数学下BS 培优专题4：生活物品与解直角三角形 学 1.如图是一辆滑板车的示意图.已知车杆AB 3.(绍兴中考)如图①为放置在水平桌面l上的 长92cm,车杆与脚踏板所成的角∠ABC= 台灯，底座的高AB为5cm、长度均为20cm 70°，前后轮子的半径均为6cm,则把手A离地 的连杆BC,CD与AB始终在同一平面上 抽象能 面的高度为 (结果保留一位小数，参 (1)转动连杆BC,CD,使∠BCD成平角， 考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈ ∠ABC=150°，如图②，求连杆端点D离桌面 2.75) l的高度DE. 运算 能力 (2)将(1)中的连杆CD再绕点C逆时针旋 转，使∠BCD=165°，如图③，问此时连杆端 何直观 点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加 或减少了多少？ 空 2.(江西中考)一种手机支架，由托板、支撑板和 底座构成，手机放置在托板上，如图是其侧面 (结果精确到0.1cm,参考数据：√2≈1.41， 念 结构示意图.量得托板AB长120mm,支撑 √3≈1.73) 推 板CD长80mm,底座DE长90mm.托板 AB固定在支撑板顶端点C处，且CB= 40mm,托板AB可绕点C转动，支撑板CD 可绕点D转动. (1)若∠DCB=80°，∠CDE=60°，求点A到 直线DE的距离 (2)为了观看舒适，在(1)的情况下，把AB绕 点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时 识 针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD 旋转的角度. (结果保留一位小数，参考数据：sin40°≈ 0.643,cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈ 0.448,cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500， √3≈1.732) 28做神龙题得好成绩 第一章直角三角形的边角关系☑ 培优专题5：生活情境与解直角三角形 数 1.如图，车库宽AB的长为3米，一辆宽为1.8米 精确到0.1m,参考数据：sin35°≈0.574，cos35° 养 (即MN=1.8米)的汽车正直停入车库(MN∥ ≈0.819，tan35°≈0.700) AB),车门CD长为1.2米，当左侧车门CD 4.[应用意识]在一个阳光明媚的周末，小明和 接触到墙壁时，车门与车身的夹角∠CDE为 小强一起到郊外放风筝.他们把风筝放飞后， 45°，此时右侧车门开至最大的宽度FG的长 将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C 为( 处（如图）.现已知风筝A的引线（线段AC) 长20m,风筝B的引线（线段BC)长24m,在 力 C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角 为45°. (1)试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地 A B 面更高 米 B米 (2)求风筝A与风筝B的水平距离. (结果精确到0.01m,参考数据：√2≈1.414， C米 √3≈1.732) 2.两支探险队进行探险活动，如图，甲队沿与公 风4 路MN夹角为25°方向前进，乙队沿与公路 MN夹角为60°方向前进，分别经过公路MN 45° 60°XC 于A,B两点，且AB距离为10km,两支探险 队相遇于点C,则点C距公路MN的距离约 是 km.(结果精确到1km,参考数 识 据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5， 创新 √3≈1.73) 识 M35D 2560°〉 M B C 第2题图 第3题图 3.如图，为解决市民停车难的问题，某市交警部 门在一段街道旁开辟了一个停车场（图中的 矩形MNPQ),并划分了若干个停车位，每个 车位都是长5m、宽2.5m的矩形，已知第一 个车位的AD边与停车场边缘MQ成35°角， 则停车场的宽度MN约为 m.(结果 做神龙题得好成绩 298.36.7 P,BG⊥DF于点G,CH⊥BG于点H,则四边形PCHG 9.解：如图，连接EF交PG于点H.由题意，可知∠FED= 是矩形.，∠CBH=60°，∠CHB=90°，.∠BCH=30°. ∠ADB=45°，∴.FD=EF=6米.在Rt△PEH中，，EH .∠BCD=165°，∴.∠DCP=45°，.CH=BC·sin60°= =6-1=5米)，∴ta9-7-品，BF=PH=点 EH 5 10√3cm,DP=CD·sin45°=10√2cm,∴.DF=DP+PG 3 +GF=DP+CH+AB=(10√2+10√3+5)cm, 3 .DE-DF=20√5+5-10√2-10W5-5=10√3-10√2 5√5（米），.PG=BD=BF+FD=(5√+6)米.在 ≈3.2(cm),此时连杆端点D离桌面l的高度减少，减少了 R△P0G中，4-%aG=(65+6)×9-(5+ 3 约3.2cm. 23)米，∴.CD=CG+GD=5+2√3+1=(6+23)米. 答：塔CD的高度为(6十23)米. 田 ① ② 田 培优专题5：生活情境与解直角三角形 1.D[解析]如图，过点C作CO⊥DE于点O,,∠CDE= 培优专题4：生活物品与解直角三角形 B= 45,CD=1.2,.C0=CD·sin∠CDE=3y2 1.92.5cm MN+00+FG,∴FG=3-1.8-32_6_3 555 ,右侧 2.解：(1)如图①，过点C作CH⊥DE于点H.CD=80, ∠c0E-.o0-思--gcH-08 车门开至最大的宽度G的长为（号3号）米放选D 40×1.732=69.28.过点A作AM⊥DE交ED的延长线 于点M,过点C作CN⊥AM于点N,则四边形CNMH为 矩形，.MN=CH,∠NCD=∠CDE=60°.，∠DCB= 80°，.∠ACN=180°-80°-60°=40°.，sin∠ACN= AC,AC=AB-BC=80,…AW=80sin40°≈80X0.643= A A 51.44,.AM=AN+NM=51.44十69.28≈120.7.答：点 2.7[解析]如图，过点C作CH⊥MN于点H在Rt△BCH中， A到直线DE的距离约为120.7mm.(2),AB绕点C 逆时针旋转了10°，∴∠DCB=90°.当点B落在DE上时， :∠CBH=60,BH-号CH,在R△ACH中， 图@.：DC=80,CB=40,∴tan∠CDB=CD-80 '∠CAH=25,AH=CH am25≈2CL.AB=AH 0.5,∠CDB≈26.6°，60°-26.6°=33.4°，.CD旋转的 角度约为33.4°」 BH=2CH-有cH=10,∴CH≈7，点C距公路N 的距离约是7km. 250 60°2 H MD H B E B N ① ③ C 3.解：(1)如图①，作BO⊥DE于点O.·∠OEA=∠BOE= 3.5.5[解析]，四边形MNPQ和四边形ABCD是矩形， ∠BAE=90°，.四边形ABOE是矩形，∠OBA=90°， ∴.∠M=∠N=∠BAD=90°.在Rt△AMD中，AD=2.5, ∴.∠DB0=150°-90°=60°，.OD=BD·sin60°= 203(cm),∴.DE=OD+OE=OD+AB=20W3+5≈ ∠ADM=35,sn∠ADM=AM=AD· 39.6(cm).故连杆端点D离桌面l的高度DE约为 sin∠ADM≈2.5×0.574=1.435.，∠ADM+∠DAM= 39.6cm.(2)如图②，作DF⊥l于点F,CP⊥DF于点 ∠BAN+∠DAM=90°，∴.∠BAN=∠ADM=35°.在 ·14·同行学案学练测 R△ABN中，AB=5,∠BAN=35,iO∠BAN-A8, 4.(1)520(2)4-41 5.26.A .AN=AB·cos∠BAN≈5×0.819=4.095，.MN= 7.y=4x2+260x+4000 AM+AN=1.435+4.095≈5.5，∴.停车场的宽度MN约 8.y=x(63-4x) 为5.5m 4.解：(1)如图，分别过点A,B作地面的垂线，垂足分别为点 -之nn≥3且为整数105 D,E.在Rt△ADC中，AC=20m,∠ACD=60°，∴.AD= 10.A11.B12.A 20Xsin60°=10√3≈17.32m.在Rt△BEC中，BC=24m, 13.y=2t2-40t+200 ∠BCE=45°，.BE=24×sin45°=12√2≈16.97m. 14.解：△PBQ的面积S随出发时间t(s)成二次函数关系变 17.32>16.97,.风筝A比风筝B离地面更高.(2)在 1 化.由题意，得BP=12-2,BQ=4t,S△P=2(12- Rt△ADC中，AC=20m,∠ACD=60°，∴.DC=20X cos60°=10m.在Rt△BEC中，BE≈16.97m,∠BCE= 2t)X4t=-4t2+24t(0<t<6). 45°，∴.EC=BE≈16.97m,.ED=EC-DC≈6.97m,即 15.(1)证明：，矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，.ME 风筝A与风筝B的水平距离约为6.97m =BE.,四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AD= 2S矩形MrN,.AM-2ME,AE=3BE.(2)解：·篱笆 总长为100m,.2AB+GH+3BC=100,即2AB+ 号AB+3C=10,AB=40-号3C.BC的长度为 45 !60° xm,矩形区域ABCD的面积为ym,y=BC·AB= AC mmmimmm E D (40-号x)=-号2+40z.:AB=AE+BE=4BE, 章末复习 BE=10- 1224等边56， 品>0，解得x<9“y=- 4 6.B7.C8.6.9 9.解：过点A作AF⊥MN,垂足为F,设BF=xcm.,BC= +40(0x<19) 9cm,∴.CF=BF+BC=(x+9)cm.在Rt△ABF中， 2 二次函数的图象与性质 ∠ABF=∠DBN=35°，∴.AF=BF·tan35°≈0.7xcm. 第1课时二次函数y=士x2的图象与性质 在Rt△ACF中，∠ACF=∠ECN=22°，∴.AF=CF· 1.A2.D3.C4.y1<y2<ya5.06.B7.18.C tan22°≈0.4(x十9)cm,.0.7x=0.4(x+9),解得x=12, 9.解：由题意，得y=一2，即-x2=一2，解得x=土√2.√2 ∴.AF≈8.4cm,∴.新生组织处到皮肤的距离约为8.4cm. +|一√21=2√2，.水面的宽为2√2米. 10.解：如图，过点C作CE⊥BD于点E,过点A作AF⊥CE 于点F,则四边形ABEF是矩形，AB=EF,AF=BE. 10.D11.212.(1)-1,-4(2)4,0 ∠BAC=150°，∠BAF=90°，∴.∠CAF=60°.设AF= 13.2514.22 15.解：(1)函数y=一x2的图象如图所示. x,则AC=2x,CF=√3x.在Rt△ABD中，AB=EF= 2,∠ADB=9°，.BD= AB 2 tan∠ADB-tan9,则DE-BD -3-2 一BE= tange-,CE=EF+CF2+3x. 2 Rt△CDE中，'tan∠CDE=CE, DE,tanl5.6°= 2+3x,解 2 tango 得x≈0.75,2x≈1.5，即保温板AC的长约是1.5米. 抛物线y=-x2与直线y=3x十m都经过点(2，n), .n=-22,n=3X2+m,即n=-4,m=-10.(2)存 「5.67- 在.联立方程组=一x y=3x-10解得 2或2 x=-5 y=-4 则另一个交点的坐标为(-5，-25). 第二章 二次函数 16.解：(1)点O到AB的距离为4m,A,B两点的纵坐 1二次函数 标都是一4，∴.一4=一x2,解得x=士2，.A点的坐标为 1.C2.D3.D (-2,一4)，B点的坐标为(2，一4)，.AB=4m,即城门最