精品解析：广东东莞市翰林高级中学2025-2026学年高二下学期4月月考数学试题

2026年数学学科高二年级4月月考试卷 考试时间：120分钟 总分数：150分 班级： 姓名： 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知函数，则（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以 2. 如图所示是函数的导数的图像，下列四个结论： ①在区间上是增函数； ②在区间上是减函数，在区间上是增函数： ③是的极大值点； ④是的极小值点. 其中正确的结论是 A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】结合导函数的图象，可判断函数的单调性，从而可判断四个结论是否正确. 【详解】由题意，和 时，；和时，， 故函数在和上单调递减，在和上单调递增， 是的极小值点，是的极大值点， 故②④正确，答案为D. 【点睛】用导数求函数极值的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的根； ④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则在这个根处取得极小值. 3. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲炒饭》、及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法种数为（ ） A. 24 B. 36 C. 64 D. 81 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】三个人任选一部电影观看，共分三步， 第一步，甲从四部电影中任选一部，有4种不同的选法； 第二步，乙从四部电影中任选一部，有4种不同的选法； 第三步，丙从四部电影中任选一部，有4种不同的选法， 根据分步乘法计数原理，不同的选法共有， 4. 若，且，则满足条件的不同的有序自然数对的个数是（ ） A. 15 B. 12 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理，分别考虑时的情况，由此分析出满足的有序自然数对的个数. 【详解】解析： 当时，，有6个不同的有序自然数对； 当时，，有5个不同的有序自然数对； 当时，，有4个不同的有序自然数对； 根据分类加法计数原理可得，共有个不同的有序自然数对， 故选：A. 5. 已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（ ） A. [0，1] B. (－∞，0]∪[1，＋∞) C. [0，2] D. (－∞，0]∪[2，＋∞) 【答案】C 【解析】 【分析】求导得，再解不等式即得解. 【详解】由得， 根据题意得，解得． 故选：C 6. 在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（ ） A. 100 B. 120 C. 300 D. 600 【答案】A 【解析】 【分析】利用间接法和缩倍法求解. 【详解】不考虑限制条件共有种，最先汇报共有种， 如果不能最先汇报，而､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻）有. 故选：A. 7. 若存在实数，使得，则称为函数的“不动点”．函数的不动点个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】将不动点问题转化为方程的解的个数，构造函数， 分析其零点个数，通过求导研究的单调性和极值，结合极限判断零点存在性. 【详解】令，则，易知不是该方程的根， 故设，则. 由或；由. 故在和上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，所以. 又，所以函数仅在上有1个零点，即的不动点个数为1， 故选：D 8. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对求导并分析单调性，再结合偶函数的性质建立关于的不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 设，则， 所以在上是增函数， 所以在上是增函数．由，可知当时，， 即在上是增函数． 又因为， 所以是偶函数， 所以， 所以实数的取值范围是． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据阶乘和排列数的运算公式，进行推理与判断选项中的运算是否正确即可． 【详解】对于A， ，显然，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：BCD. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在三个不同的零点 B. 函数既存在最小值又存在最大值 C. 若时，，则正数t的最大值为2 D. 当时，方程有且只有两个实根 【答案】CD 【解析】 【分析】求得，得到函数的单调区间和极值，以及时，，当时，，作出的图象，结合图象依次判断选项即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，解得或， 当时，；当时，；当时，， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 当，函数取得极小值； 当，函数取得极大值， 当时，，当时，， 又，作出函数的图象，如图所示，结合图象得： 对于A中，函数存在两个不同的零点，所以A不正确； 对于B中，函数仅存在最小值，所以B不正确； 对于C中，当时，，可得，所以t的最大值为，所以C正确； 对于D中，若方程有且只有两个实根， 即与的图象有两个不同的交点，可得，所以D正确． 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，给出如下四个结论，其中正确的是（ ） A. 若，且，则的解集为 B. 若，且，则不等式的解集为 C. 若，则函数在上为减函数 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：设，利用导数可知在上为增函数，结合单调性解不等式；对于B：设，利用导数可知在上为增函数，结合单调性解不等式；对于CD：设，利用导数可知在上为增函数，结合单调性比较大小. 【详解】对于选项A：设， 因为，则， 可知在上为增函数，且， 不等式等价于， 即，可得， 所以的解集为，故A正确； 对于选项B：设，则， 因为，则，可知在上为增函数， 又因为，则， 不等式即为，可得， 所以不等式的解集为，故B正确； 对于选项CD：因为，则， 因为，则， 可知在上为增函数，故C错误； 可得，即， 所以，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的减区间为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导函数为负，可求单调递减区间. 【详解】由已知得，， 令，即，解得， 则的单调递减区间为， 故答案为:. 13. 某圆形舞台的观众席被分为四个区域，如图所示，现共有区、区、区、区6种不同颜色的观众椅供这四个观众区域选择，要求每个观众区域中只使用一种颜色的观众椅，相邻区域的观众椅颜色不能相同，则该舞台观众席四个区域的观众椅的颜色搭配方案共有______种. 【答案】630 【解析】 【分析】由题意可知，最少需要两种颜色，最多需要四种颜色，按照所需颜色数进行分类求解即可. 【详解】若只使用两种颜色，则区和区的观众椅颜色相同，区和区的观众椅颜色相同，有种方案； 若使用3种颜色，则分区和区的观众椅颜色相同与不同两种情况，有种方案； 若使用4种颜色，则有种方案. 故颜色搭配方案共有种. 14. 函数，过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围______. 【答案】 【解析】 【分析】设切点坐标为，表示出切线方程，根据切线过点得关于的一元二次方程，由方程有两个不相等的实根求解即可. 【详解】设切点坐标为，因为， 所以切线的斜率， 所以切线方程是， 因为切线过点， 所以，即， 因为过点可以作曲线的两条切线， 所以方程有两个不同的根， 所以， 解得或. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用基本初等函数导数公式计算求解； （2）先化简原函数，再利用基本初等函数导数公式计算求解； （3）先化简原函数，再利用基本初等函数导数公式计算求解． 【小问1详解】 ， ． 【小问2详解】 ， ． 【小问3详解】 ， ． 16. 已知函数在处取得极小值，． （1）求和的值； （2）对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用导函数，根据极值的定义直接计算可得，经检验满足题意； （2）分别求函数在上的值域与在上的值域，根据题意列不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 由已知， 则， 又函数在处取得极小值， 则， 解得， 所以，， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 即此时满足函数在处取得极小值， 所以，； 【小问2详解】 由（1）得和随的变化情况如下表： 3 极大值 极小值 所以当时，的值域为， 当时，的值域为． 因为对任意，总存在，使得， 所以， 解得，即实数的取值范围是． 17. 某学校组织学科竞赛集训与选拔工作． （1）组委会计划把6个指导教师全部分配到6个参赛小组跟踪指导，每个小组分配1个名额，共有多少种不同的分配方法？ （2）学科竞赛集训与选拔工作结束后，8名工作人员（包含6名指导教师甲、乙、丙、丁、戊、戌）站成一排合影留念，其中甲、乙、丙三人必须相邻，丁、戊、戌三人互不相邻，共有多少种不同的排法？ （3）现有6名指导教师负责命题、监考、阅卷三项工作，要求每项工作至少安排1名指导老师，每名指导老师都只能参加一项工作，共有多少种不同的分配方法？ 【答案】（1） （2） （3）540 【解析】 【分析】（1） 应用分步乘法原理计算求解； （2）应用分步乘法原理结合排列数应用插空法计算; （3） 分组分配再结合排列数计算求解. 【小问1详解】 由分步乘法计数原理可知，分配方法种数为种． 【小问2详解】 将甲、乙、丙三人进行捆绑，与除丁、戊、戌三人以外的另外2人进行全排列，然后 将丁、戊、戌三人进行插空排列， 由分步计数原理得不同的排法种数为 种． 【小问3详解】 将6名指导教师分成3组， 当这3组的人数为1，1，4时，有种； 当这3组的人数为1，2，3时，有 ； 当这3组的人数为2，2，2时，有 ； 故不同的分配方法共有种. 18. 设函数，. （1）讨论函数零点的个数； （2）若对任意的，恒成立，求m的取值范围. 【答案】（1） 当时，函数没有零点； 当或时，函数有且仅有1个零点； 当时，函数有2个零点. （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的图像与性质，进而数形结合即可求出结果； （2）构造，进而可得可得在上单调递减，从而有在上恒成立，参变分离即可求出结果. 【小问1详解】 函数， 令，得， 设， 则， 所以当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以的最大值为， 又，可知： ①当时，函数没有零点， ②当时，函数有且仅有1个零点， ③当时，函数有2个零点， ④当时，函数有且只有1个零点. 综上所述，当时，函数没有零点； 当或时，函数有且仅有1个零点； 当时，函数有2个零点. 【小问2详解】 对任意，恒成立， 等价于恒成立， 设，则， 可得在上单调递减， 所以在上恒成立， 分离m可得恒成立， 所以，所以m的取值范围是. 【点睛】（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题． （2）若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到． 19. 已知函数，． （1）若，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若，且满足，证明：． 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （3）证明: 由题意，记，那么，是的两根， ，可转化为，是的两根， 令，求导得， 令，解得， 若，则；若，则， 在上单调递增，在上单调递减， 不妨设，要证，即证，只需证， 只需证①， 令，求导得： ， 当时，，， 此时，在上单调递增， ，即①式得证，故命题得证． 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数分析函数单调性及极值； （2）求导，利用导数分析函数单调性； （3）转化不等式，构造函数并求导，利用导数分析函数单调性，进而证明结论． 【小问1详解】 的定义域为， 当 时，， 令，解得， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 在时取得极大值为，无极小值． 【小问2详解】 ， 当时，在上恒成立，此时在上单调递增， 当时，若时，，则在上单调递增； 若时，，则在上单调递减； 综上可知：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年数学学科高二年级4月月考试卷 考试时间：120分钟 总分数：150分 班级： 姓名： 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知函数，则（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 2. 如图所示是函数的导数的图像，下列四个结论： ①在区间上是增函数； ②在区间上是减函数，在区间上是增函数： ③是的极大值点； ④是的极小值点. 其中正确的结论是 A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ②④ 3. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲炒饭》、及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法种数为（ ） A. 24 B. 36 C. 64 D. 81 4. 若，且，则满足条件的不同的有序自然数对的个数是（ ） A. 15 B. 12 C. 5 D. 4 5. 已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（ ） A. [0，1] B. (－∞，0]∪[1，＋∞) C. [0，2] D. (－∞，0]∪[2，＋∞) 6. 在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（ ） A. 100 B. 120 C. 300 D. 600 7. 若存在实数，使得，则称为函数的“不动点”．函数的不动点个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在三个不同的零点 B. 函数既存在最小值又存在最大值 C. 若时，，则正数t的最大值为2 D. 当时，方程有且只有两个实根 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，给出如下四个结论，其中正确的是（ ） A. 若，且，则的解集为 B. 若，且，则不等式的解集为 C. 若，则函数在上为减函数 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的减区间为________． 13. 某圆形舞台的观众席被分为四个区域，如图所示，现共有区、区、区、区6种不同颜色的观众椅供这四个观众区域选择，要求每个观众区域中只使用一种颜色的观众椅，相邻区域的观众椅颜色不能相同，则该舞台观众席四个区域的观众椅的颜色搭配方案共有______种. 14. 函数，过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）． 16. 已知函数在处取得极小值，． （1）求和的值； （2）对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 17. 某学校组织学科竞赛集训与选拔工作． （1）组委会计划把6个指导教师全部分配到6个参赛小组跟踪指导，每个小组分配1个名额，共有多少种不同的分配方法？ （2）学科竞赛集训与选拔工作结束后，8名工作人员（包含6名指导教师甲、乙、丙、丁、戊、戌）站成一排合影留念，其中甲、乙、丙三人必须相邻，丁、戊、戌三人互不相邻，共有多少种不同的排法？ （3）现有6名指导教师负责命题、监考、阅卷三项工作，要求每项工作至少安排1名指导老师，每名指导老师都只能参加一项工作，共有多少种不同的分配方法？ 18. 设函数，. （1）讨论函数零点的个数； （2）若对任意的，恒成立，求m的取值范围. 19. 已知函数，． （1）若，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若，且满足，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $