4.8 全等三角形常考模型（学案）2025--2026学年北师大版七年级数学下册

该初中数学导学案聚焦全等三角形证明，以“基本证明—模型分类”为脉络，通过平移型、轴对称型等七个常考模型构建学习支架，每个模型配套解题思路引导，帮助学生衔接三角形性质与全等判定，形成系统知识体系。 资料特色在于模型化整合与素养导向，通过图形特征分类培养学生几何直观（数学眼光），解题思路分步解析强化推理意识（数学思维），经典例题与拓展延伸结合提升模型应用能力（数学语言），助力学生高效掌握全等证明方法，发展数学探究与问题解决能力。

全等三角形常考模型 福洪中福洪中学七年级下期数学 第四章《三角形》导学案 班 组 姓名 等级 1 学科网（北京）股份有限公司 ★全等三角形基本证明 模型一：平移型 解题思路：(1)加(减)CE，得BC＝EF； (2)利用平行线性质找对应角相等 经典例题 1.如图，点E、C在线段BF上，已知BE＝CF，AB＝DE，还需再添加一个条件，使△ABC≌△DEF，不能添加的条件是(　　) A. ∠B＝∠DEF B. AC＝DF C. ∠A＝∠D＝90° D. ∠F＝∠ACB 2.如图，点B、C、E、F在同一直线上，BE＝CF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC＝DF. 求证：AB＝DE. 模型二：轴对称模型 解题思路：(1)找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件得对应角相等； (2)找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件得对应边相等； 经典例题 3.如图，点D在AB上，点E在AC上， AB＝AC，AD＝AE.若BE＝4，OD＝1，则OC＝________． 4.如图，长方形ABCD中，AB＞AD，把长方形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE. 求证：△ADE≌△CED. 模型三：旋转型 解题思路：(1)共顶点：加(减)共顶点的角的共角部分得一组对应角相等； (2)不共顶点：①由BF＝CE→BF＋CF＝CE＋CF→BC＝EF；②利用平行线性质找对应角相等； 经典例题 5.如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，过点A作AF∥BC且AF=BD，连接FD. 求证：E是AC的中点. 6.如图，四边形ABCD中，AD＝BC，BE＝DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F. (1)求证：△ADE≌△CBF； (2)若AC与BD相交于点O，求证：AO＝CO. 模型四：手拉手型 变式： 解题思路：(1)共顶点：加(减)共顶点的公共角∠BAE得一组对应角相等； (2)利用已知两组边相等或者等腰、等边、正方形、菱形等得到两组对应边相等； 结论拓展：①△CAE≌△BAD(SAS)，BD＝CE ②∠BPC＝∠BAC(两条拉手线CE，BD所在直线的夹角与共顶点的两个等腰三角形的顶点相等或互补)； 经典例题 7.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N． 求证：AE=CG； 拓展延伸： 8.如图，C为线段AE上一动点，（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交与点P，BE与CD交于点Q，连接PQ． 求证：（1）AD＝BE；（2）△APC≌△BQC （3）△PCQ是等边三角形；（4）PQ∥AC； 模型五：半角型 解题思路：通过旋转一定角度将另外两个角拼接在一起，构造的三角形与半角所在的三角形全等； 结论： 经典例题 9.如图，已知正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，∠MAN=45°. （1）求证：MN=BM+DN； （2）当AB=6，MN=5时，求△CMN的面积. 模型六：对角互补型 经典例题 10.如图，在等边△ABC中，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，射线DE与线段AB交于点E，射线DF交AC于点F. 求证：DE＝DF. 模型七：一线三垂直型 解题思路：利用三角形外角定理或同角的余角相等转化找等角； 经典例题 11.如图1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD直线m，CEL直线m，垂足分别为点D，E.（1）求证：DE=BD+CE. （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中△ABC，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC.请写出DE，BD，CE三条线段的数量关系，并说明理由. $