精品解析：江苏怀仁中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

江苏省怀仁中学2026春学期期中考试试卷 高一数学 命题：王斌 审核：王志英 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数（是虚数单位，），则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的运算得，即可求解． 【详解】解：， 得， 得， 故选：A 2. 设向量，，，且与平行，则实数的值是（ ） A. 4 B. C. D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量共线的条件即可求得. 【详解】因为，，所以. 又，，且与平行， 所以， 解得：=4. 故选：A. 3. 已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法的知识确定正确答案. 【详解】正三角形的高为， 根据斜二测画法的知识可知， 直观图的面积为. 故选：B 4. 已知的面积为，则边的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式以及余弦定理求解. 【详解】因为，可得， 所以， 故选:D． 5. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若为异面直线，且，，，则l与m，n中至少一条相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合线与线，线与面，以及面与面位置关系的判定与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若，，则直线与，可能相交、平行或异面，所以A错误； 对于B中，若，，则平面与平面可能相交，所以B错误； 对于C中，若，，，则或，所以C错误； 对于D中，若为异面直线，且，，， 假设直线与直线都不相交，则，所以， 这与为异面直线矛盾，所以与中至少一条相交，所以D正确. 故选：D. 6. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示，进而求出向量夹角. 【详解】由，得，则，， 而，则，所以与的夹角为. 故选：B 7. 如图，棱长为2的正方体中，为棱中点，为棱中点，点在侧面上运动（含边界），若平面，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点分别为，连接，则可证平面平面，故的轨迹为线段，故可求其长度. 【详解】取的中点分别为，连接， 在正方形中，因为为中点，故且， 由正方体可得且， 所以，，故四边形为平行四边形， 故，而，故， 同理，故， 而平面，平面，故平面， 同理平面，而平面， 故平面平面，而平面平面， 结合平面，故的轨迹为线段，其长度为， 故选：A. 8. 在中，角的对边分别为，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理及二倍角公式可得，再由余弦定理可得，得，利用平方关系可计算的值，再由三角形面积公式即可求解. 【详解】因为，， 所以 即， ，解得， ， ， ， . 故选：. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若复数为纯虚数，则 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的运算可得A,C,D的正误，根据复数虚部的概念可知B的正误. 【详解】因为，A正确； 复数的虚部为，B不正确； 若，则，，C不正确； 设，所以， ，D正确. 故选：AD. 10. 已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形或直角三角形 D. 若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理判断A、D；利用余弦定理判断B；利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式判断C. 【详解】对于A，由及由正弦定理，得，则，A正确； 对于B，由余弦定理，得为锐角，但无法判断角A和角B是否为锐角， 因此无法判断是否为锐角三角形，B错误； 对于C，由及正弦定理，得，即， 由，得，则或，即或， 因此为等腰三角形或直角三角形，C正确； 对于D，由三角形有两解，得，即，即的取值范围为，D正确. 故选：ACD 11. 如图，在长方体中，，，E是棱上的一点，点F在棱DD1上，若四点共面，则下列结论正确的是（ ） A. 四边形为平行四边形 B. C. 存在点E，使得平面 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用面面平行的性质定理求证；B利用A选项以及勾股定理；C点为线段的中点时可利用线面平行的判定定理求证；D利用等体积求证. 【详解】因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，同理可得，，所以四边形为平行四边形，故A正确； 由A选项可知，，则， 因为，所以，则，故B错误； 当点为线段的中点时，由B选项可知，点为线段的中点， 此时，则四边形为矩形，有， 因为平面，平面，所以平面，故C正确； ，故D正确. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知平面向量，是单位向量，与夹角为，则向量在向量上的投影向量为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义计算可得答案. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 13. 如图，小明为了测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，则塔高_______． 【答案】 【解析】 【分析】设塔高，由题设可得，，再结合余弦定理求解即可. 【详解】设塔高，由， 则，， 在中，由余弦定理得， 则，解得或（舍去）. 故答案为：. 14. 在中，角所对的边分别为是的角平分线，若，则的最小值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】利用张角定理得到，再利用不等式中的妙用来求解最值. 【详解】是的角平分线， ， 由张角定理得:， 即， ， ， （当且仅当，即时取“=”）. 故答案为：. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算过程.） 15. 已知复数在复平面内对应的点位于第一象限，且满足 （1）求a； （2）若z是关于x的方程的一个复数根，求pq的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据列出方程，结合点所在象限可得答案； （2）根据根与系数的关系可求答案. 【小问1详解】 由题意知复数z在复平面内对应的点为， 因为点Z在第一象限，所以， 由，得， 即 则 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 由是关于x的方程 的一个复数根，可知是 的另一个复数根， 因此，解得. 所以 16. 中，角的对边长分别为，满足. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理可得：，代入余弦定理，即可得解； （2）根据内角和为，求出角，解得为直角三角形，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 所以， 所以. （2）因为，，所以， 所以，可得. 【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，考查了边化角以及三角形的性质，计算量不大，属于简单题. 17. 在中，P为AB边上一点，且，，，且，的夹角为． （1）用，表示，； （2）求的值； （3）当与垂直时，求实数t的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量运算法则计算即可得到答案； （2）结合（1），利用平面向量的运算法则及数量积公式计算即可求解； （3）根据与垂直，可得，进而结合（2）即可求出实数t的值． 【小问1详解】 由，则， 所以， 依题意可得． 【小问2详解】 结合（1）有，， 所以 ． 【小问3详解】 由与垂直，且结合（2）有， 则 ， 解得． 18. 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，点分别是线段的中点． （1）求证：平面； （2）若是线段的中点，证明：平面平面． 【答案】（1） 由四边形为正方形可知， 连接必与相交于中点，故， 面平面， 面． （2） 由点分别为中点可得：， 面平面平面， 又由（1）可知，平面， 且，平面, 故平面平面． 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明； （2）利用面面平行的判定定理证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 在锐角中，角所对的边分别为，记，，满足． （1）求角； （2）若，且满足，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先应用向量垂直的坐标公式计算，再利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）分析可得，，，求出角的取值范围，由正弦定理可得出，结合正切函数的基本性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 由，则，即， 结合正弦定理可得： ，则， 因为、，则，所以， 可得，故； 【小问2详解】 因为，所以， 是锐角三角形，则， 又，故，    在中，，， 由正弦定理可得， 所以， ， 因为，则，所以， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省怀仁中学2026春学期期中考试试卷 高一数学 命题：王斌 审核：王志英 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数（是虚数单位，），则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 设向量，，，且与平行，则实数的值是（ ） A. 4 B. C. D. 不存在 3. 已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知的面积为，则边的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若为异面直线，且，，，则l与m，n中至少一条相交 6. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，棱长为2的正方体中，为棱中点，为棱中点，点在侧面上运动（含边界），若平面，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. 2 D. 1 8. 在中，角的对边分别为，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若复数为纯虚数，则 D. 10. 已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形或直角三角形 D. 若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 11. 如图，在长方体中，，，E是棱上的一点，点F在棱DD1上，若四点共面，则下列结论正确的是（ ） A. 四边形为平行四边形 B. C. 存在点E，使得平面 D. 三棱锥的体积为定值 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知平面向量，是单位向量，与夹角为，则向量在向量上的投影向量为___________. 13. 如图，小明为了测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，则塔高_______． 14. 在中，角所对的边分别为是的角平分线，若，则的最小值为_______ 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算过程.） 15. 已知复数在复平面内对应的点位于第一象限，且满足 （1）求a； （2）若z是关于x的方程的一个复数根，求pq的值. 16. 中，角的对边长分别为，满足. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 17. 在中，P为AB边上一点，且，，，且，的夹角为． （1）用，表示，； （2）求的值； （3）当与垂直时，求实数t的值． 18. 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，点分别是线段的中点． （1）求证：平面； （2）若是线段的中点，证明：平面平面． 19. 在锐角中，角所对的边分别为，记，，满足． （1）求角； （2）若，且满足，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $