微专题 图形的变换重难点与典型题型（60题）2025-2026学年七年级数学下学期期中复习专项训练（苏科版）

微专题 图形的变换重难点与典型题型（10大题型60题） 题型1 平移性质与线段、角度计算题 1．如图，将沿射线方向平移得到，点位于点和点之间． (1)如果，，求移动的距离的长． (2)与是否平行？并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）根据平移的性质可得，再由边长的关系求解即可． （2）根据平移的性质判断即可． 【详解】（1）解：∵将沿方向平移得到， ， ， 即， 又，， ， ． （2）解：，理由如下： 是将沿方向平移得到的， ． 2．如图，将向右平移，得到． (1)若，，求的度数； (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由平移的性质可得，则由平行线的性质可得，据此求解即可； （2）由平移的性质可得，则由平行线的性质可得，，据此可得． 【详解】（1）解：由平移的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，证明如下： 由平移的性质可得， ∴，， ∴． 3．如图，将沿射线的方向平移个单位到的位置，点，，的对应点分别为点，，． (1)若，求的长度． (2)若等于，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平移的性质得出的长，再根据求解即可； （2）利用平移的性质得出，， 根据平行线的性质依次求出，的度数． 【详解】（1）解：，将沿射线的方向平移个单位到的位置， ， ； （2）解：由平移的性质得：，， ，， ． 4．如图，在中，，将向左平移得到，交于点D，． (1)_______； (2)与之间的关系是______________； (3)计算图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）根据平移的性质求解即可； （3）根据平移的性质得出，进而得出 ，然后根据梯形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由平移的性质可得，； （2）解：由平移的性质可得； （3）解：∵平移， ∴，， ∴ 即． 5．如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接． (1)依题意在图中补全图形，并证明：； (2)过点作直线．在直线上取点，使． ①当时，画出图形，并用等式表示与之间的数量关系； ②在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是______（用含的式子表示）． 【答案】(1)图见解析；证明见解析 (2)①或 ② 【分析】（）作，根据平行线的性质证明即可； （）①分两种情况，画出图形后，利用平行线的性质求解即可；②利用平移性质得到平行四边形，确定面积为定值，再通过三角形面积公式推出点到直线的距离与长度成反比，结合垂线段最短得出时距离最大，最后在直角三角形中利用平行线性质算出． 【详解】（1）证明：补全图形如图所示， 由平移的性质得：， 过点作，交于点， 则， ∴，， ∴； （2）①分两种情况： 第一种情况：点在直线的上方时，如图所示： 由平移的性质得：， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 整理，得； 第二种情况：点在直线的下方时，如图所示： ， ， 整理，得； ②由平移性质得四边形是平行四边形，，面积为定值， ∵，点到的距离等于平行线与PD的距离， 由（为距离） 得：距离， ∴当最短时最大， 定点到直线上点的距离，垂线段最短，即时最短，最大，如图所示： 此时中，， ∴， ∴． 6．如图，将三角形沿方向平移至三角形． (1)若，则的度数为_____； (2)若是的中点，，，，连接． 求三角形的面积； 已知，请直接写出点到的距离．（用含的代数式表示） 【答案】(1)； (2)；． 【分析】（）根据平移的性质进行求解即可； （）根据平移的性质，结合三角形面积公式求出结果即可； 过点作于点，根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：根据平移性质可得，， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，，， ∴ ∵是的中点， ∴， ∴， ∴； 如图，过点作于点， 由等面积法可求得， 即点到的距离为． 题型2 平移作图题 7．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，将三角形向上平移5个单位长度，再向右平移3个单位长度，平移后得到三角形，其中直线l上的点是点A的对应点． (1)画出平移后得到的三角形； (2)三角形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出B，C的对应点，即可； （2）利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求； （2）解：三角形的面积． 8．如图，点，，，都在网格图的格点上，按要求画图． (1)连接，将线段先向右平移格，再向下平移格，记两次平移后得到的线段为线段，在图中画出线段． (2)如图2，连结，记线段与的夹角为，请在图中画一个三角形，使得三角形中的一个角等于，且点在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平移的性质，先分别确定点、向右平移格，再向下平移格后的对应点、的位置，再顺次连接即可． （2）取格点、，连接、，根据格线特征可得，从而得，进而得，即有，画出即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：如图，为所求． 9．如图，三角形的三个顶点都在小正方形的格点上，点A的坐标为，点的坐标为，点C的坐标为． (1)画出三角形先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的三角形； (2)分别写出平移后的三角形三个顶点、的坐标； (3)直接写出三角形的面积． 【答案】(1)作图见详解 (2)，， (3) 【分析】（1）利用坐标平移规律“左减右加，上加下减”得出平移后的点坐标，并依次连接即可得出； （2）由（1）可得出点坐标； （3）结合网格图特征，利用割补法即可求得的面积． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：，，． （3）解：． 10．把放在直角坐标系中如图所示，现将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度就得到． (1)在图中画出； (2)写出的坐标； (3)求在平移过程中扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题考查平移，平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握平移的性质，平面直角坐标系的应用，进行解答，即可． （1）根据平移，画出图形，即可； （2）根据平面直角坐标系，即可得到； （3）根据平移可得，在平移过程中扫过的面积为：，即可． 【详解】（1）解：即为所求． （2）解：如图可知：，，． （3）解：在平移过程中扫过的面积为： ． 11．如图，在由小正方形组成的的网格中，，，均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图． (1)若线段是由线段平移得到的，且点的对应点为点，在图1中作出线段． (2)若三角形是由三角形平移得到的，且点的对应点为点，在图中作出三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平移的性质，结合网格特征画出线段即可； （2）根据平移的性质找出点、的对应点、，顺次连接、、即可． 【详解】（1）解：如图1，线段即所求． （2）解：如图，三角形即所求． 12．如图，网格图中小方格都是边长为1个单位长度的小正方形． (1)请画出将三角形向右平移5个单位长度后的图形．连接各对对应点，并指出相等的线段． (2)请指出图中（包括新画出的）所有互相平行的线段． (3)请指出三角形和其平移后的图形中相等的角． 【答案】(1)画图见解析，和，和，和，、和 (2)和，和，和，、和 (3)和，和，和 【分析】本题考查了平移作图，平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，解题的关键是： （1）先找出A、B、C向右平移5个单位长度后的对应点D、E、F，如何顺次连接即可，再根据平移的性质求解即可； （2）根据平移的性质求解即可； （3）根据平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 相等的线段有：和，和，和，、和； （2）解：互相平行的线段：和，和，和，、和； （3）解：三角形和其平移后的图形中相等的角有：和，和，和． 题型3 利用平移性质解决实际问题 13．有一个长方形花圃，为方便行人观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图）．花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（   ）平方米 A．1440 B．1400 C．1344 D．1200 【答案】C 【分析】利用平移的思想，把人行道路靠边集中放置，计算处理后图形的长与宽，然后可得面积． 【详解】解：将人行道路横向和纵向分别平移到长方形花圃的边上， 可得种花部分为长米，宽米的长方形， 所以种花的面积是平方米． 14．如图，是一块长方形场地，米，米，，两个入口处的小路的宽都为1米，两小路汇合处的路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为（　　）平方米 A．40 B．160 C．38 D．158 【答案】B 【分析】本题考查生活中的平移现象．将三块图形平移组合成一个完整的长方形是解决问题的关键． 从图中可以看出剩余部分的草坪正好可以拼成一个长方形，然后根据题意求出长和宽，最后求出面积即可． 【详解】解：由图片可看出，剩余部分的草坪经过平移，正好可以拼成一个长方形，且 这个长方形的长为（米）， 这个长方形的宽为（米）， 所以草坪面积（平方米）， 故选：B 15．如图是一个5级台阶侧面示意图，在台阶上铺地毯至少需（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移在实际问题中的应用，解题的关键是理解台阶上铺地毯的长度与台阶水平方向总长度和垂直方向总长度的关系． 明确台阶的水平部分总长度等于底边的长度，垂直部分总长度等于高的长度；地毯的长度为水平部分总长度与垂直部分总长度之和，代入数值计算即可． 【详解】由题意可知，台阶的水平底边即所有台阶水平部分的总长度为台阶高即所有台阶垂直部分的总长度为． 在台阶上铺地毯，地毯的长度至少需要覆盖所有水平部分和垂直部分，因此地毯长度水平部分总长度垂直部分总长度． 故选：C． 16．如图，雪湖公园有一块长为，宽为的长方形草坪，计划在草坪中间修两条宽度均为的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是），剩余阴影区域种植鲜花，则种植鲜花的面积为（　　）． A．24 B．36 C．56 D．48 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质． 用总面积减去石子路面积即可． 【详解】解：种植鲜花的面积为 故选：D 17．某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），已知这种地毯的价格为每平方米20元，升旗台的台阶宽为2米，其侧面如图所示，则该学校买地毯至少需要花多少元？ 【答案】304元 【分析】此题考查了学生对线段平移的应用，掌握平移线段的性质是解题的关键． 利用线段平移的性质结合地毯面积的计算公式求解． 【详解】解：根据题意得：元， 即该学校买地毯至少需要花304元． 18．【教材溯源】 如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线．求这块草地青草覆盖的面积．（本题无需解答） (1)【初步解决】 数学老师布置了一个任务：在一块长为，宽为的长方形空地上，设计一条宽为的小路，剩余部分作为草坪，画出设计图并求出草坪的面积．图①是小明同学的设计图，以下是他的计算过程，请将该内容补充完整． 小明：我利用平移的性质，将图①中左边的草坪向右平移得到了如图②所示的图形，图②中空白部分的面积就是草坪的面积，所以草坪的面积为_______． (2)【类比应用】 若设计两条宽均为的小路呢？如图③，此时草坪的面积为_______． (3)【方法迁移】 某小区物业准备在一块长为，宽为的长方形空地上铺设一条如图④所示的宽度处处相等的小路，剩余部分栽种花草，要求栽种花草的面积为，求小路的宽度， (4)【拓展延伸】 一个长为，宽为街心花园的设计图，如图⑤所示，空白部分为花坛，阴影部分是宽为的小路，花坛的总面积可以表示为__________．（用含a，b的代数式表示） (5)【深入探究】 某劳动公园一块长为，宽为的空地的设计方案如图⑥所示，空白部分为草地，阴影部分是宽为的小路．小丽沿着小路的中间从入口B处走到出口C处，求草地的面积和她所走路线（即图中虚线）的长． 【答案】(1)560 (2)504 (3)2米 (4) (5)68米 【分析】（1）根据长方形的面积公式求解即可； （2）同理根据小明的方法利用平移的性质求解即可； （3）设小路宽为，根据题意列出关于x的方程求解即可； （4）根据花坛的总面积等于长方形的面积减去阴影部分的小路面积列出代数式化简即可； （5）把横向和纵向的小路长度分别分析，横向长度是长方形的长，纵向长度通过计算得出，再求和． 【详解】（1）解：草坪的面积为：； （2）解：草坪的面积为：； （3）解：设小路宽为 根据题意得 解得： 则小路的宽为2米； （4）解：花坛的总面积为： ； （5）解：横向路线长度为长方形的长；纵向路线长度，把纵向部分平移后，相当于个 ． 路线总长 ∴所走的路线（图中虚线）长为 题型4 轴对称性质的应用 19．如图，内一点P，点，分别是点P关于，的对称点，交于点M，交于点N，若，则的周长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【详解】解：由点，分别是点P关于，的对称点，可知：， ∴的周长为． 20．如图，P是外一点，D，E分别是上的点，连接，点M，N在直线上，与关于对称，与关于对称．若，则线段的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5.5 D．6 【答案】D 【分析】本题需利用轴对称的性质，将所求线段转化为已知线段的和差形式，通过已知的、、长度来计算的长．关键是理解“关于某直线对称的两条线段相等”这一性质，进而推导各线段间的数量关系． 【详解】解：与关于对称， ； 同理，与关于对称， ． ∵，， ，． 点在直线上，且，， ． 点在直线上，且， ． 21．木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、角的和与差，根据轴对称可知，，因为，，，即可求出的度数． 【详解】解：由轴对称可知，， ，，， ， ． 故选：D． 22．如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（ ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线，的交点不一定在上 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质解答即可，解题的关键是掌握轴对称的性质． 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任意一点， ∴，垂直平分，与的面积相等，故B、C选项正确； ∴是等腰三角形，故A选项正确； 直线，关于直线对称，因此交点一定在上，故D选项错误； 故选：D． 23．如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 【详解】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ∴ ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为． 24．【探究活动】已知：，是平面内一点． 知识建构：如图，点在内部，分别作点关于边的对称点，连接与相交于点，则此时的周长最小，且连接后，得到的是等腰直角三角形．理由如下： ∵点关于边的对称点分别为， ∴． ∴， 根据“两点之间线段最短”，得到周长的最小值为线段的长度． ∵， ∴． ∴是等腰直角三角形． 学以致用： (1)如图，若点在外部，分别作点关于边的对称点，顺次连接，试判断的形状，并说明理由． 继续探究： (2)如图：点分别在两边上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，点在直线上运动时，则的面积最小值为________． 拓展提升： (3)如图，把由旋转成，连接，得到直角．若边，且分别是边上的动点．小明研究发现：对于点在线段上的每一个不同的位置，存在一个与之相应的最小值．当点从运动到点时，请直接写出的变化范围________． 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析 (2) (3) 【分析】（）利用轴对称性质，证得的两边相等且夹角为，判定其为等腰直角三角形； （）结合等腰直角三角形面积公式与垂线段最短，通过的面积求出到的距离，进而算出的最小面积； （）通过作点关于、的对称点、，利用轴对称性质将转化为(两点之间线段最短)，结合推出；再求出在上运动时OP的最值(最小值为斜边上的高，最大值为)，从而得到的范围为． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形， 理由如下： 由轴对称的性质得：，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）解：由（）知，是等腰直角三角形， ∴面积， 根据垂线段最短，的最小值是点到直线的距离， ∵，，， ∴，即， ∴面积最小值为； （3）解：作点关于、的对称点、，则，， ∴，即最小值， ∵， ∴，且， ∴、、共线，，即， 在上运动： 的最小值为斜边上的高：， ∴， 的最大值出现在端点：在点时最大， ， 故的变化范围为． 题型5 轴对称作图题 25．尺规作图： (1)作边的垂直平分线交于点，连接； (2)作边的垂直平分线交于点，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可； （2）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可． 【详解】（1）解：如图，点，即为所求； （2）解：如图，点，即为所求． 26．如图，内有一点P． (1)作图： ①过点P作交于点D； ②过点O作交于点C； (2)在（1）的条件下，连接，若平分，，求的度数． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①过点P作直线，交于点Q，以点P为顶点以为一边作角等于，即可； ②延长，并截取，作的中垂线即可； （2）根据角平分线的定义得出，再根据平行线的性质得出，进而求解即可． 【详解】（1）解：①如图，即为所求； ②如图，即为所求； （2）解：如图， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 27．已知等腰三角形，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线分别交、于点、． (2)尺规作图：作的角平分线交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图： （1）分别以点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线分别交、于点、，直线即为线段的垂直平分线； （2）在上分别截取，使得，分别以为圆心，大于长画弧，两弧交于一点，过点与交点作射线即是角平分线，角平分线与的交点即为点． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求． （2）解：如图所示：即为所求． 28．如图，四边形和四边形关于直线成轴对称． (1)请你在图中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如果你只有一把无刻度的直尺，请你在图中画出对称轴．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，作出的垂直平分线即为所求作直线； （2）利用无刻度的直尺，通过连接对应点，依据对应点连线被对称轴垂直平分来确定对称轴．连接、交于点，延长、交于点，连接，所在直线即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 29．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点），请按下列要求作图，并标出相应的字母． (1)在图中，画出线段关于直线对称的线段，点A对应的点为，点B对应的点为．连接，线段和直线的位置关系为________； (2)在图中，将线段向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，点A对应的点为，点B对应的点为，画出线段，连接、，线段和线段的数量关系和位置关系分别为________． 【答案】(1)直线垂直平分线段 (2) 【分析】（1）根据轴对称图形的性质即可得出结果； （2）根据图形的平移作图，然后由平移的性质即可求解； 【详解】（1）解：如图，线段即为所求的线段． 直线垂直平分线段； （2）解：如图，线段即为所求的线段．． 30．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)画出，使与关于直线成轴对称； (2)画出，使是绕点逆时针旋转得到； (3)画出，使与关于点成中心对称． 【答案】(1)图形见解析 (2)图形见解析 (3)图形见解析 【分析】（1）由轴对称的性质作图，即可求解； （2）按要求旋转作图，即可求解； （3）按中心对称的性质作图，即可求解． 【详解】（1）解：即为所求． （2）解：即为所求． （3）解：即为所求． 题型6 折叠（轴对称）综合题 31．如图，将一张长方形纸条沿着折叠，点的对应点是，点的对应点是.若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据平角定义求出的度数，再根据折叠性质求出的度数，进而求出的度数，最后利用平行线的性质可得的度数． 【详解】解：长方形纸条中，且， ，， 根据折叠可知：， ， ∵， 折叠后， ． 32．如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠得出，，推出与之间的关系，再结合列式计算即可． 【详解】解：由折叠可知，， ． 由折叠可知，， ． ， ， 解得． 33．如图，在一次数学实践活动课中某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，，若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质以及平角的定义.首先根据折叠性质和平角定义求出的度数，然后利用平行线的性质求出的度数，最后结合折叠性质和平角定义求出的度数． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， 由折叠性质可得，， ∴， ∴即， ∵， ∴， ∴， 由折叠性质可得，， 又∵， ， ． 34．如图，，将沿翻折得到，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的性质可得，再由折叠的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质得：． 35．已知，分别是长方形纸条边，上两点（其中且），如图所示沿，所在直线进行第一次折叠，点、的对应点分别为点、，交于点． (1)若，求的度数． (2)如图，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． 若，则的度数__________． 若，请求出的度数． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）利用翻折变换的性质和平行线的性质即可求得答案； （2）根据平行线性质可得，由平角定义可得，再利用翻折变换的性质、平行线的性质即可求得答案；由平行线性质可得，由翻折得，推出，根据翻折得出，结合已知，联立求得，再由平行线性质即可求得答案． 【详解】（1）解：由翻折的性质得：， ， 四边形是矩形， ， ； （2）解：，， ， ， 由翻折的性质得：， ， ， 继续沿进行第二次折叠， ， ； ， ， 由翻折得， ， ， 继续沿进行第二次折叠， ， ， ， ， ， ， ， ． 36．综合实践 折纸中的数学 问题背景 折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何学原理运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何学． 折垂直平分线 折角平分线       提出问题   如图，能折出过点且与边平行的折痕吗？ 问题解决 折平行线的方法步骤   说明：第一次过点折叠使点落在边上的点，折痕为，第二次过点折叠使点落在射线上的点，展开压平得到折痕，则．    (1)结合图至图的操作，说明：； 迁移探究：再次折叠得到， (2)如图，将沿过点的某直线折叠得到，与边交于． ①若将沿过点的某直线折叠后的对应边所在直线垂直于，如图，请你在图中用直尺和圆规作出直线（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，，，直接写出当的某一边与平行时的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)①图见解析；②的度数为或或 【分析】（）由第一次折叠得，第二次折叠得，根据平行线的判定证明即可； （）①作的角平分线即可；以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点、，分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，射线即为所求； ②分三种情况，结合折叠性质与平行线性质，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据折叠性质： 第一次折叠后，， ∴； 第二次折叠后，， ∴； ∴， ∴； （2）解：①如图： ②由题意得，当时， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，且， ∴ ； 当时， 同理可得，， ∵， ∴， ∵平分，且， ∴； 由题意得，当时，如图： 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或或． 题型7 旋转三要素与性质判断题 37．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，其旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接、，根据网格的特点分别作、的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图所示，连接，，分别作、的垂直平分线， 故点B为其旋转中心． 38．如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．根据旋转的性质可得． 【详解】解:∵绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．， ∴． 39．如图，在中，，将绕点C旋转，得到，若点A的对应点D恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（   ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，平角的定义，正确理解图形旋转的定义是解题的关键．根据图形旋转的定义及平角的定义，即得答案． 【详解】解：将绕点旋转，得到， ， 当旋转方向为顺时针时，旋转角度为； 当旋转方向为逆时针时，旋转角度为． 故选：A． 40．如图，是由绕着某点旋转得到的，则这点（旋转中心）的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查坐标与图形的旋转变换，熟练掌握图形旋转的性质，利用线段的垂直平分线找旋转中心是解题的关键．连接，分别作、的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心，即可得出答案． 【详解】解：如图， 连接， 分别作、的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心， 所以这点（旋转中心）的坐标是． 故选：C． 41．如图，将绕着旋转中心P旋转得到，则旋转中心P的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，图形的旋转变换及其性质，熟练掌握点的坐标，图形的旋转变换及其性质是解决问题的关键．由旋转性质得旋转中心到对应点的距离相等，则，设点，通过列方程即可得出点P的坐标． 【详解】解：根据旋转性质得：旋转中心到对应点的距离相等， ， 设点P的坐标为 点，点，点，点， ， ①，②， 由①解得：， 将代入②解得：， 点P的坐标为, 故选：． 42．如图，现要将左边的阴影四边形正好通过n次旋转得到右边的阴影四边形，每次旋转都以图中的A，B，C，D，E，F中不同的点为旋转中心，旋转角度为（k为整数），则下列关于n的选项正确的是（    ） A．n可能为1，不可能为2，3 B．n可能为2，不可能为1，3 C．n可能为1，2，不可能为3 D．n可能为1，2，3 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握图形绕某点进行旋转的方法是解题的关键． 根据旋转的性质及题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： 当左边的阴影部分绕点E顺时针旋转可得右边的阴影部分，此时； 当左边的阴影四边形绕点A逆时针旋转，再将得到的四边形绕点C顺时针旋转可得右边的阴影四边形，此时； 当把左边的阴影四边形绕点B顺时针旋转，再将得到的四边形绕点E顺时针旋转，将得到的四边形绕点C逆时针旋转可得右边的阴影四边形，此时； 故选：D． 题型8 轴对称与中心对称图形识别题 43．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项图形进行判断即可．轴对称图形是指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指绕一个点旋转后能与自身重合的图形 【详解】解：A、选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B、选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 44．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断． 轴对称图形是指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指绕一个点旋转后能与自身重合的图形． 【详解】解：A选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 45．下列安全图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．注意安全 B．禁止攀爬 C．水深危险 D．急救中心 【答案】D 【详解】解：A：是轴对称图形，但旋转 后感叹号方向相反，无法与原图重合，不是中心对称图形； B：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形（内部图案旋转后方向改变，无法重合）； C：是轴对称图形，但旋转 后图案方向相反，无法与原图重合，不是中心对称图形； D：既是轴对称图形（横竖两条对称轴），又是中心对称图形（绕中心旋转 后与原图完全重合），符合题目要求． 46．以下是历届冬奥会会标中的部分图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C选项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 47．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 48．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．据此逐一判断即可． 【详解】解：A．是中心对称图形，故该选项符合题意， B．不是中心对称图形，故该选项不符合题意， C．不是中心对称图形，故该选项不符合题意， D．不是中心对称图形，故该选项不符合题意． 题型9 旋转作图题 49．按要求在方格纸上画图．    (1)画出图形按缩小后的图形． (2)画出图形绕点逆时针旋转后的图形． (3)画出图形向右平移6格得到的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据图形边长之比作图即可； （2）根据图形旋转作图即可； （3）根据图形平移作图即可． 【详解】（1）解：图形按缩小后的图形如图所示：    （2）解：图形绕点逆时针旋转后的图形如图所示：    （3）解：图形向右平移6格得到的图形如图所示：    50．如图，的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上． (1)将向左平移4格，画出平移后的对应； (2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的对应的； (3)第（1）问中平移过程中边“扫过”的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）将三个顶点向左平移4格得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）将点B，C绕点A顺时针旋转得到点，，再首尾顺次连接即可． （3）连接，由题意得平移过程中边“扫过”的面积为四边形的面积，根据平移的性质可得，，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图，连接， 由题意得平移过程中边“扫过”的面积为四边形的面积， 由平移的性质可得，， ∵四边形的高为， ∴平移过程中边“扫过”的面积为． 51．如图，网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F，P均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图． (1)将绕点P逆时针旋转得到，请画出； (2)将绕点旋转得到，请画出点和； (3)将格点线段平移至格点线段（点E，F的对应点分别为M，N），使得平分四边形的面积，请画出线段MN； 【答案】(1)见解析． (2)见解析． (3)见解析． 【分析】（）根据旋转的性质：连接，，，分别将各线段绕点P逆时针旋转得到，，，顺次连接，，，即可得到． （）线段的中点为，作关于的对称点，连接，即可． （）平移使其经过即可． 【详解】（1）解： ∴即为所作图形． （2）解： ∴点和如图所作； （3）解： ∴线段如图所作． 52．如图，在平面直角坐标系中，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上． (1)将向左平移5个单位长度得到，画出，此时点的坐标为_________； (2)将绕点A顺时针旋转180°得到，画出，此时点的坐标为_________． 【答案】(1)画图见解析， (2)画图见解析， 【分析】（1）根据平移的性质找到的对应点，顺次连接即可求解, 根据坐标系写出的坐标，即可． （2）根据旋转的性质，找到的对应点，然后顺次连接即可求解，根据坐标系写出的坐标，即可． 【详解】（1）解： 点的坐标为． （2）解： 点的坐标为． 53．如图正方形网格，小正方形边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中，画关于点C对称的： (2)在图②中，画出关于直线m的轴对称图形； (3)在图②的直线m上找一点P，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）连接交直线m于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图①，即为所求． （2）解：如图②，即为所求． （3）解：如图②，连接交直线m于点P，连接， 此时，为最小值， 则点P即为所求． 54．如图，的顶点坐标分别为，，． (1)将向右平移个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的； (4)在、、中： ___________与___________成轴对称； ___________与___________成中心对称，且对称中心的坐标为___________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)，；，， 【分析】本题考查平移作图，轴对称作图，旋转作图，轴对称图形和中心对称图形的辨认，掌握好相应的作图技巧是关键． （1）描出平移后的点、、，连接成三角形即可； （2）关于轴对称的点。横坐标相等，纵坐标互为相反数，描出点、、，连接成三角形即可； （3）绕原点旋转的点，横纵坐标都互为相反数，描出点、、，连接成三角形即可； （4）结合图形进行判断即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：如图所示： （4）解：由图可知，与成轴对称，与成中心对称，对称中心为． 故答案为：，；，，． 题型10 旋转综合题 55．在中，，，点P在边上． (1)如图①，当点P是的中点时，用直尺和圆规作出关于点P成中心对称的图形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图②，作出点P关于的对称点，，连接，在图②中画出示意图（不要求尺规作图），并求出当时点与点之间的距离； (3)如图③，已知，将绕着点P按每秒的速度逆时针旋转一周．同时，射线绕着点P按每秒的速度顺时针旋转（随旋转停止而停止），旋转过程中射线的位置不变．设旋转时间为t秒，当t为 秒时，射线与中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；6 (3)或或或 【分析】（1）以点P为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接（其中点与点C重合，点与点B重合），则即为所求； （2）由轴对称的性质可得垂直平分，垂直平分，据此结合垂线的作图方法作图即可；由轴对称的性质可得，再证明三点共线即可得到答案； （3）分图④，图⑤，图⑥和图⑦这四种情况，根据角平分线的定义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点，即为所求； 由轴对称的性质可得，， ∵， ∴， ∴ ， ∴三点共线， ∴； （3）解：如图④所示，当平分时，则， 由题意得，此时， ∴， 解得； 如图⑤所示，当平分时，则， 由题意得，此时， ∴， 解得； 如图⑥所示，当平分时，则， 由题意得，此时， ∴， 解得； 如图⑦所示，当平分时，则， 由题意得，此时， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或或或． 56．下面是某数学小组一份研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“轴对称”的研究报告 研究目的 探究图形关于直线对称的性质 研究方法 观察（测量、实验）——猜想——推理、验证 研究内容 【I】探究图形关于直线一次对称 （1）操作与观察：如图1，和直线，点C在直线上．求作，使与关于直线对称，其中点D与A为对称点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）探究与发现：观察（1）中图形，得到以下结论： ①线段，被直线垂直平分； ②； ③边上的高与边上的高相等； ④若线段，所在的直线相交，则交点在直线上． 其中正确的是_____；（写出所有正确结论的序号） （3）推理与验证：…… 【Ⅱ】探究图形关于直线两次对称 （1）操作与观察：如图2，和直线，，且其距离为n．先作关于直线对称，再作关于直线对称． 如图3，和直线，，，相交于点且其所夹锐角为．先作关于直线对称，再作关于直线对称． （2）探究与发现：图2中由沿与直线垂直的方向平移得到，平移的距离为___▲___，故如果两条对称轴平行，那么两次轴对称相当于一次平移；图3中由绕点___●___顺时针旋转得到，旋转角为___■____，故如果两条对称轴相交，那么两次轴对称相当于一次旋转． （3）推理与验证：…… 任务： (1)完成“研究内容”【I】中的第（1）题； (2)完成“研究内容”【I】中的第（2）题； (3)写出“研究内容”【Ⅱ】中“▲”处空缺的内容：_______，“●”处空缺的内容：______，“■”处空缺的内容：_________． 【答案】(1)图见详解 (2)①③④ (3)，， 【分析】本题主要考查轴对称的性质、旋转的性质及平移的性质，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质及平移的性质是解题的关键； （1）分别作点A、B关于直线l的对称点，然后问题可求解； （2）根据（1）中作图及轴对称的性质可进行求解； （3）根据轴对称的性质及旋转的性质可进行求解． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）解：如图， 由作图可知：直线l垂直平分，故①正确； ∴， 由题干可得与并未互补，所以不一定成立，故②错误； ∴， ∴，根据等积法可知：边上的高与边上的高相等，故③正确； 若线段，所在的直线相交，根据线段垂直平分线的判定定理可知：线段，所在的直线的交点在直线上，故④正确； 综上所述：正确的有①③④； 故答案为①③④； （3）解：如图2， 由轴对称的性质可知：， ∵， ∴， ∴图2中由沿与直线垂直的方向平移得到，平移的距离为，故如果两条对称轴平行，那么两次轴对称相当于一次平移； 如图3， 由轴对称的性质可知：，， ∵， ∴， ∴图3中由绕点顺时针旋转得到，旋转角为，故如果两条对称轴相交，那么两次轴对称相当于一次旋转； 故答案为，，． 57．【新考向】已知直角三角板中，，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时，如图1，求和的大小． (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的，并直接写出的大小； (3)当时， ①若，求的度数； ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点为上一点，始终满足．在旋转过程中，若与始终满足为定值，直接写出常数的值． 【答案】(1)， (2)画图见解析， (3)①或；② 【分析】本题考查了旋转，角的和差，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，，，进而根据角的和差关系即可求解； （2）根据题意画出图形即可； （3）①分逆时针方向旋转和顺时针方向旋转两种情况，分别画出图形解答即可求解；②由旋转的性质得，即得，进而可得，，即得到，即可得，求出的值即可求解． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，，， ∴， ； （2）解：如图，即为所求； 根据旋转的性质可得， ∴ （3）解：①如图，当旋转方向为逆时针方向时，， ∵， ∴， 解得； 如图，当旋转方向为顺时针方向时，， ， ∴， 解得； 综上，的度数为或； ②由旋转性质可得，， ∵，， ∴， ， ∴， ∵与始终满足为定值， ∴， 解得． 58．青岛灯光秀，尤其是浮山湾灯光秀，是青岛城市夜景的核心品牌，被官方和媒体广泛认可为集科技、文化与生态于一体的高水平城市光影工程．青岛利用浮山湾180度扇面地理优势，以53栋连续高层建筑为舞台，打造世界最长的滨海曲面灯光影视屏幕，通过水墨崂山、“五月的风”雕塑、胶东机场、青岛港、海洋生物等元素，展现青岛的开放、宜居与海洋文化．灯光秀中，灯带作为建筑立面亮化的基础单元，与投影、激光等技术融合，共同构成“以城为景、以天为幕”的巨型视觉叙事载体，展现青岛历史、科技与生态等多元主题．如图1，灯A位于灯带上，灯B位于灯带上．灯A射线自逆时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒．假定两侧的灯带是平行的，即，且． (1)当时，灯A射线经过多少秒，第一次照射到灯B； (2)若，，且两灯同时转动．设两灯转动的时间为秒，若满足两灯的射线光束互相平行，求此时对应的t； (3)两灯以（2）中的速度同时转动，在灯B射线到达之前，若灯A射出的光束与灯B射出的光束交于点C． ①用含t的代数式表示； ②若D是上一点，且，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)灯A射线经过20秒，第一次照射到灯B (2) (3)①或；②或 【分析】（1）根据平行线的性质求出，据此可得答案； （2）设和为灯A和灯B发出的射线，再根据平行线的性质求解即可； （3）①分当时，当时，当时三种情况进行讨论求解即可；②根据①所求，分当时，当时，两种情况分别求出与即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 灯A转动的速度是秒， 灯A射线经过秒，第一次照射到灯B； （2）解：如图所示，设和为灯A和灯B发出的射线，则， ，， ，， ， 解得； （3）解：①如图所示，当时，过点C作，则， ，， ； 当时，两条射线的交点C不在两灯带之间，不符合题意，舍去； 如图所示，当时， 同理可得 ； 综上所述，或； ②如图所示，当时， 由（3）①得，． ， ， ； 如图所示，当时， 由（3）①得， ， ， ； 综上所述，或． 【点睛】本题的关键是利用平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补），结合光线的动态转动，分情况讨论角度变化，通过构造辅助线和用含t的代数式表示角度，再消元求解数量关系． 59．如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边、在直线上，其中．      (1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，求旋转角？ (2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线、重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在与第二次相遇前，当时，求出旋转时间t的值． 【答案】(1) (2)当在外部时，，当在内部时，，理由见解析 (3)或或60或70秒 【分析】（1）先根据平分，得到，即可求出； （2）先根据题意可得，，然后作差即可； （3）先求出旋转前与的夹角，然后再求出与第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t，再分在的左侧和在的右侧两种情况解答即可． 【详解】（1）平分， ， 三角板旋转的角：， （2）当在外部时，，理由如下： ，， ，， ； 当在内部时，，理由如下： ，， ； （3）射线平分，射线平分， ，， 选择前与的夹角为， 与第一次相遇的时间为秒，此时旋转的角度为， 此时OC与OE的夹角为， 与第二次相遇的时间为（秒）， 设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t， ①，解得，； ②，解得，； ③，解得，， ； ④，解得，， ， 在与第二次相遇前，当时，旋转时间t为或或60或70 【点睛】本题考查了角的运算，角的旋转，角的平分线，余角和补角等知识，掌握角的平分线、余角、补角等概念合理运用“等量代换”及旋转时会出现多种情况运用，清楚“旋转前后的图形是完全相等的，各边旋转角度相同，”是解题关键． 60．如图1，点是直线上一点，，直角三角尺的直角顶点与重合，两条直角边分别与射线重合． (1)如图2，直角三角尺绕点逆时针旋转，同时射线也绕点逆时针旋转至，且平分． ①若，则 ； ②若，则 ； (2)如图3，若直角三角尺绕点逆时针旋转，使得，在（1）的条件下，则与的关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请举反例． (3)在（1）的条件下，若直角三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转一周后停止旋转，同时射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，当直角三角形停止旋转时射线也停止旋转．当时，请直接写出射线旋转的时间t的值． 【答案】(1)①；② (2)，成立，理由见详解 (3)当时，射线旋转的时间t的值为或 【分析】本题主要考查角的变换计算与角的和差运算，角平分线的性质，解一元一次方程的综合，掌握角平分线的性质与角的和差运算，射线运动与角度数量关系是解题的关键． （1）根据题意，，①根据图示得，由此即可求解；②根据图示得，由此即可求解； （2）解析方法与②的类似； （3）根据题意，分类讨论，①如图所示，射线旋转后得射线，射线未追上射线；②如图所示，射线追上射线；运用角平分线的性质，图形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∵直角三角尺， ∴， ∵平分， ∴， ①若， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②根据上述的证明可得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，成立，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵直角三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转一周后停止， ∴旋转一周的时间为：（秒）， ∵射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，当直角三角形停止旋转时射线也停止旋转， ∴当停止时，射线旋转的度数为：， 根据题意，设运动时间为，射线的运动速度比的速度快， ①如图所示，射线旋转后得射线，射线未追上射线， ∴，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴， 解得，，即当时，射线旋转的时间t的值为； ②如图所示，射线追上射线， 根据①中证明，当时，，即当时，射线与射线重合， ∴当时，， 根据题意，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 解得，，即当时，射线旋转的时间t的值为； 综上所示，当时，射线旋转的时间t的值为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 图形的变换重难点与典型题型（10大题型60题） 题型1 平移性质与线段、角度计算题 1．如图，将沿射线方向平移得到，点位于点和点之间． (1)如果，，求移动的距离的长． (2)与是否平行？并说明理由． 2．如图，将向右平移，得到． (1)若，，求的度数； (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 3．如图，将沿射线的方向平移个单位到的位置，点，，的对应点分别为点，，． (1)若，求的长度． (2)若等于，求的度数． 4．如图，在中，，将向左平移得到，交于点D，． (1)_______； (2)与之间的关系是______________； (3)计算图中阴影部分的面积． 5．如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接． (1)依题意在图中补全图形，并证明：； (2)过点作直线．在直线上取点，使． ①当时，画出图形，并用等式表示与之间的数量关系； ②在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是______（用含的式子表示）． 6．如图，将三角形沿方向平移至三角形． (1)若，则的度数为_____； (2)若是的中点，，，，连接． 求三角形的面积； 已知，请直接写出点到的距离．（用含的代数式表示） 题型2 平移作图题 7．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，将三角形向上平移5个单位长度，再向右平移3个单位长度，平移后得到三角形，其中直线l上的点是点A的对应点． (1)画出平移后得到的三角形； (2)三角形的面积为______． 8．如图，点，，，都在网格图的格点上，按要求画图． (1)连接，将线段先向右平移格，再向下平移格，记两次平移后得到的线段为线段，在图中画出线段． (2)如图2，连结，记线段与的夹角为，请在图中画一个三角形，使得三角形中的一个角等于，且点在格点上． 9．如图，三角形的三个顶点都在小正方形的格点上，点A的坐标为，点的坐标为，点C的坐标为． (1)画出三角形先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的三角形； (2)分别写出平移后的三角形三个顶点、的坐标； (3)直接写出三角形的面积． 10．把放在直角坐标系中如图所示，现将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度就得到． (1)在图中画出； (2)写出的坐标； (3)求在平移过程中扫过的面积． 11．如图，在由小正方形组成的的网格中，，，均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图． (1)若线段是由线段平移得到的，且点的对应点为点，在图1中作出线段． (2)若三角形是由三角形平移得到的，且点的对应点为点，在图中作出三角形． 12．如图，网格图中小方格都是边长为1个单位长度的小正方形． (1)请画出将三角形向右平移5个单位长度后的图形．连接各对对应点，并指出相等的线段． (2)请指出图中（包括新画出的）所有互相平行的线段． (3)请指出三角形和其平移后的图形中相等的角． 题型3 利用平移性质解决实际问题 13．有一个长方形花圃，为方便行人观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图）．花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（   ）平方米 A．1440 B．1400 C．1344 D．1200 14．如图，是一块长方形场地，米，米，，两个入口处的小路的宽都为1米，两小路汇合处的路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为（　　）平方米 A．40 B．160 C．38 D．158 15．如图是一个5级台阶侧面示意图，在台阶上铺地毯至少需（　） A． B． C． D． 16．如图，雪湖公园有一块长为，宽为的长方形草坪，计划在草坪中间修两条宽度均为的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是），剩余阴影区域种植鲜花，则种植鲜花的面积为（　　）． A．24 B．36 C．56 D．48 17．某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），已知这种地毯的价格为每平方米20元，升旗台的台阶宽为2米，其侧面如图所示，则该学校买地毯至少需要花多少元？ 18．【教材溯源】 如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线．求这块草地青草覆盖的面积．（本题无需解答） (1)【初步解决】 数学老师布置了一个任务：在一块长为，宽为的长方形空地上，设计一条宽为的小路，剩余部分作为草坪，画出设计图并求出草坪的面积．图①是小明同学的设计图，以下是他的计算过程，请将该内容补充完整． 小明：我利用平移的性质，将图①中左边的草坪向右平移得到了如图②所示的图形，图②中空白部分的面积就是草坪的面积，所以草坪的面积为_______． (2)【类比应用】 若设计两条宽均为的小路呢？如图③，此时草坪的面积为_______． (3)【方法迁移】 某小区物业准备在一块长为，宽为的长方形空地上铺设一条如图④所示的宽度处处相等的小路，剩余部分栽种花草，要求栽种花草的面积为，求小路的宽度， (4)【拓展延伸】 一个长为，宽为街心花园的设计图，如图⑤所示，空白部分为花坛，阴影部分是宽为的小路，花坛的总面积可以表示为__________．（用含a，b的代数式表示） (5)【深入探究】 某劳动公园一块长为，宽为的空地的设计方案如图⑥所示，空白部分为草地，阴影部分是宽为的小路．小丽沿着小路的中间从入口B处走到出口C处，求草地的面积和她所走路线（即图中虚线）的长． 题型4 轴对称性质的应用 19．如图，内一点P，点，分别是点P关于，的对称点，交于点M，交于点N，若，则的周长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 20．如图，P是外一点，D，E分别是上的点，连接，点M，N在直线上，与关于对称，与关于对称．若，则线段的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5.5 D．6 21．木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 22．如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（ ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线，的交点不一定在上 23．如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为________． 24．【探究活动】已知：，是平面内一点． 知识建构：如图，点在内部，分别作点关于边的对称点，连接与相交于点，则此时的周长最小，且连接后，得到的是等腰直角三角形．理由如下： ∵点关于边的对称点分别为， ∴． ∴， 根据“两点之间线段最短”，得到周长的最小值为线段的长度． ∵， ∴． ∴是等腰直角三角形． 学以致用： (1)如图，若点在外部，分别作点关于边的对称点，顺次连接，试判断的形状，并说明理由． 继续探究： (2)如图：点分别在两边上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，点在直线上运动时，则的面积最小值为________． 拓展提升： (3)如图，把由旋转成，连接，得到直角．若边，且分别是边上的动点．小明研究发现：对于点在线段上的每一个不同的位置，存在一个与之相应的最小值．当点从运动到点时，请直接写出的变化范围________． 题型5 轴对称作图题 25．尺规作图： (1)作边的垂直平分线交于点，连接； (2)作边的垂直平分线交于点，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法） 26．如图，内有一点P． (1)作图： ①过点P作交于点D； ②过点O作交于点C； (2)在（1）的条件下，连接，若平分，，求的度数． 27．已知等腰三角形，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线分别交、于点、． (2)尺规作图：作的角平分线交于点． 28．如图，四边形和四边形关于直线成轴对称． (1)请你在图中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如果你只有一把无刻度的直尺，请你在图中画出对称轴．（保留作图痕迹，不写作法） 29．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点），请按下列要求作图，并标出相应的字母． (1)在图中，画出线段关于直线对称的线段，点A对应的点为，点B对应的点为．连接，线段和直线的位置关系为________； (2)在图中，将线段向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，点A对应的点为，点B对应的点为，画出线段，连接、，线段和线段的数量关系和位置关系分别为________． 30．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)画出，使与关于直线成轴对称； (2)画出，使是绕点逆时针旋转得到； (3)画出，使与关于点成中心对称． 题型6 折叠（轴对称）综合题 31．如图，将一张长方形纸条沿着折叠，点的对应点是，点的对应点是.若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 32．如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 33．如图，在一次数学实践活动课中某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，，若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 34．如图，，将沿翻折得到，则的度数是（    ） A． B． C． D． 35．已知，分别是长方形纸条边，上两点（其中且），如图所示沿，所在直线进行第一次折叠，点、的对应点分别为点、，交于点． (1)若，求的度数． (2)如图，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． 若，则的度数__________． 若，请求出的度数． 36．综合实践 折纸中的数学 问题背景 折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何学原理运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何学． 折垂直平分线 折角平分线       提出问题   如图，能折出过点且与边平行的折痕吗？ 问题解决 折平行线的方法步骤   说明：第一次过点折叠使点落在边上的点，折痕为，第二次过点折叠使点落在射线上的点，展开压平得到折痕，则．    (1)结合图至图的操作，说明：； 迁移探究：再次折叠得到， (2)如图，将沿过点的某直线折叠得到，与边交于． ①若将沿过点的某直线折叠后的对应边所在直线垂直于，如图，请你在图中用直尺和圆规作出直线（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，，，直接写出当的某一边与平行时的大小． 题型7 旋转三要素与性质判断题 37．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，其旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 38．如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（     ）    A． B． C． D． 39．如图，在中，，将绕点C旋转，得到，若点A的对应点D恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（   ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 40．如图，是由绕着某点旋转得到的，则这点（旋转中心）的坐标是（　　） A． B． C． D． 41．如图，将绕着旋转中心P旋转得到，则旋转中心P的坐标为（    ）    A． B． C． D． 42．如图，现要将左边的阴影四边形正好通过n次旋转得到右边的阴影四边形，每次旋转都以图中的A，B，C，D，E，F中不同的点为旋转中心，旋转角度为（k为整数），则下列关于n的选项正确的是（    ） A．n可能为1，不可能为2，3 B．n可能为2，不可能为1，3 C．n可能为1，2，不可能为3 D．n可能为1，2，3 题型8 轴对称与中心对称图形识别题 43．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 44．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 45．下列安全图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．注意安全 B．禁止攀爬 C．水深危险 D．急救中心 46．以下是历届冬奥会会标中的部分图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 47．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 48．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 题型9 旋转作图题 49．按要求在方格纸上画图．    (1)画出图形按缩小后的图形． (2)画出图形绕点逆时针旋转后的图形． (3)画出图形向右平移6格得到的图形． 50．如图，的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上． (1)将向左平移4格，画出平移后的对应； (2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的对应的； (3)第（1）问中平移过程中边“扫过”的面积为________． 51．如图，网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F，P均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图． (1)将绕点P逆时针旋转得到，请画出； (2)将绕点旋转得到，请画出点和； (3)将格点线段平移至格点线段（点E，F的对应点分别为M，N），使得平分四边形的面积，请画出线段MN； 52．如图，在平面直角坐标系中，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上． (1)将向左平移5个单位长度得到，画出，此时点的坐标为_________； (2)将绕点A顺时针旋转180°得到，画出，此时点的坐标为_________． 53．如图正方形网格，小正方形边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中，画关于点C对称的： (2)在图②中，画出关于直线m的轴对称图形； (3)在图②的直线m上找一点P，使的值最小． 54．如图，的顶点坐标分别为，，． (1)将向右平移个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的； (4)在、、中： ___________与___________成轴对称； ___________与___________成中心对称，且对称中心的坐标为___________． 题型10 旋转综合题 55．在中，，，点P在边上． (1)如图①，当点P是的中点时，用直尺和圆规作出关于点P成中心对称的图形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图②，作出点P关于的对称点，，连接，在图②中画出示意图（不要求尺规作图），并求出当时点与点之间的距离； (3)如图③，已知，将绕着点P按每秒的速度逆时针旋转一周．同时，射线绕着点P按每秒的速度顺时针旋转（随旋转停止而停止），旋转过程中射线的位置不变．设旋转时间为t秒，当t为 秒时，射线与中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线． 56．下面是某数学小组一份研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“轴对称”的研究报告 研究目的 探究图形关于直线对称的性质 研究方法 观察（测量、实验）——猜想——推理、验证 研究内容 【I】探究图形关于直线一次对称 （1）操作与观察：如图1，和直线，点C在直线上．求作，使与关于直线对称，其中点D与A为对称点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）探究与发现：观察（1）中图形，得到以下结论： ①线段，被直线垂直平分； ②； ③边上的高与边上的高相等； ④若线段，所在的直线相交，则交点在直线上． 其中正确的是_____；（写出所有正确结论的序号） （3）推理与验证：…… 【Ⅱ】探究图形关于直线两次对称 （1）操作与观察：如图2，和直线，，且其距离为n．先作关于直线对称，再作关于直线对称． 如图3，和直线，，，相交于点且其所夹锐角为．先作关于直线对称，再作关于直线对称． （2）探究与发现：图2中由沿与直线垂直的方向平移得到，平移的距离为___▲___，故如果两条对称轴平行，那么两次轴对称相当于一次平移；图3中由绕点___●___顺时针旋转得到，旋转角为___■____，故如果两条对称轴相交，那么两次轴对称相当于一次旋转． （3）推理与验证：…… 任务： (1)完成“研究内容”【I】中的第（1）题； (2)完成“研究内容”【I】中的第（2）题； (3)写出“研究内容”【Ⅱ】中“▲”处空缺的内容：_______，“●”处空缺的内容：______，“■”处空缺的内容：_________． 57．【新考向】已知直角三角板中，，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时，如图1，求和的大小． (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的，并直接写出的大小； (3)当时， ①若，求的度数； ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点为上一点，始终满足．在旋转过程中，若与始终满足为定值，直接写出常数的值． 58．青岛灯光秀，尤其是浮山湾灯光秀，是青岛城市夜景的核心品牌，被官方和媒体广泛认可为集科技、文化与生态于一体的高水平城市光影工程．青岛利用浮山湾180度扇面地理优势，以53栋连续高层建筑为舞台，打造世界最长的滨海曲面灯光影视屏幕，通过水墨崂山、“五月的风”雕塑、胶东机场、青岛港、海洋生物等元素，展现青岛的开放、宜居与海洋文化．灯光秀中，灯带作为建筑立面亮化的基础单元，与投影、激光等技术融合，共同构成“以城为景、以天为幕”的巨型视觉叙事载体，展现青岛历史、科技与生态等多元主题．如图1，灯A位于灯带上，灯B位于灯带上．灯A射线自逆时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒．假定两侧的灯带是平行的，即，且． (1)当时，灯A射线经过多少秒，第一次照射到灯B； (2)若，，且两灯同时转动．设两灯转动的时间为秒，若满足两灯的射线光束互相平行，求此时对应的t； (3)两灯以（2）中的速度同时转动，在灯B射线到达之前，若灯A射出的光束与灯B射出的光束交于点C． ①用含t的代数式表示； ②若D是上一点，且，请直接写出与的数量关系． 59．如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边、在直线上，其中．      (1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，求旋转角？ (2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线、重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在与第二次相遇前，当时，求出旋转时间t的值． 60．如图1，点是直线上一点，，直角三角尺的直角顶点与重合，两条直角边分别与射线重合． (1)如图2，直角三角尺绕点逆时针旋转，同时射线也绕点逆时针旋转至，且平分． ①若，则 ； ②若，则 ； (2)如图3，若直角三角尺绕点逆时针旋转，使得，在（1）的条件下，则与的关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请举反例． (3)在（1）的条件下，若直角三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转一周后停止旋转，同时射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，当直角三角形停止旋转时射线也停止旋转．当时，请直接写出射线旋转的时间t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $